Einf¨uhrung in die Astronomie – ¨Ubungen

Einführung in die Astronomie – Übungen
Lösungsvorschläge zur 11. Übungsserie
2017-01-20
Aufgabe 11.1
Aus der Masse-Leuchtkraft-Beziehung,
L ∝ M 3,9 ,
(1)
und der Radius-Leuchtkraft-Beziehung,
L ∝ R5,2 ,
(2)
erhält man den Zusammenhang zwischen Masse und Radius:
R5,2 ∝ M 3,9 ,
(3)
3
4
R ∝ M .
(4)
Aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz,
F = σ T 4,
(5)
L = AF = 4πR2 F = 4πR2 σ T 4
(6)
sowie
erhält man schließlich
M 3,9 ∝ R2 T 4
(7)
bzw.
R ∝ M 1,95 T −2
oder:
R
=
R
M
M
1,95 T
T
−2
(8)
Ein Faktor 15 an Masse und ein Faktor 30 000/5800 = 5,2 an Temperatur führt zu einem Faktor 151,95 /5,22 = 7,3
an Radius.
Die mittlere Dichte ergibt sich dann zu
ρ=
3M
M
=
.
V
4πR3
(9)
Nimmt man die Dichte der Sonne als Bezugspunkt, dann ergibt sich die Dichte aus
ρ
M
=
ρ M
R
R
−3
=
M
M
− 54
(10)
zu
ρ
= 15−1,25 = 0,034.
ρ
(11)
Aus ihrem Radius und ihrer Masse folgt die Dichte der Sonne nun zu 1,4 g cm−3 (siehe auch Universum in
”
Zahlen“). Der B0V-Stern hat somit
ρ = 0,034ρ ≈ 0,047 g cm−3 .
(12)
1
Die Lebensdauer ergibt sich aus dem Verhältnis von zur Verfügung stehender Energie und Rate, mit der die
Energie verbraucht wird, also Leuchtkraft:
P∝
M
.
L
(13)
Mit der Masse-Leuchtkraft-Beziehung folgt dann
P∝
M
∝ M −2,8 .
M 3,8
(14)
Somit hat man
M −2,8
P
=
.
P
M
(15)
Einer 15-fachen Masse entspricht damit einer Lebensdauer, die auf 15−2,8 ≈ 5 · 10−4 des solaren Wertes reduziert
ist, also etwa 5 Mio. Jahre.
Aufgabe 11.2
Grob lässt sich die Temperatur am besten über das Wien’sche Verschiebungsgesetz bestimmen:
T λmax = T λmax, = const = 2,9 mm K = 5800 K · 500 nm.
(16)
Für Stern (b) kann man λmax ≈ 500 nm ablesen, was bedeutet, dass es sich um einen sonnenähnlichen Stern
mit auch etwa einer Temperatur T ≈ 5800 K handelt. Für Stern (c) findet man λmax ≈ 1300 nm und somit
T ≈ 2200 K.
Beim Stern (a) ist das effektive λmax durch den Einbruch bei etwa 400 nm etwas schwieriger zu identifizeren.
Man kann aber versuchen, etwa die geometrische
Mitte zwischen diesem Maximum und dem bei knapp 200 nm
√
zu nehmen, käme dann also auf λmax ≈ 200 nm · 400 nm ≈ 280 nm und T ≈ 10 000 K. Tatsächlich handelt es
sich bei den drei Sternen um: (a) einen des Typs A2V (T ≈ 9000 K), (b) einen des Typs G2V (T = 5800 K) und
(c) einen des Typs M5V (T = 3200 K).
Übergänge vom i-ten auf das j-te Energieniveau im neutralen Wasserstoff finden bei Wellenlängen
λi→ j = λ1→∞
i2 j 2
|i2 − j2 |
(17)
statt, wobei λ1→∞ ≈ 91,2 Å. Man konnte nun (z. B. durch Probieren oder durch Vergleich mit entsprechenden
Tabellen) folgende Übergänge finden:
λ2→4 = 486 nm,
λ2→5 = 434 nm,
λ2→6 = 410 nm,
λ2→7 = 397 nm.
(18)
Diese Linien sind Teile der Balmer-Serie, deren Kontinuumsgrenze bei λ2→∞ = 365 nm liegt (gestrichelte Linie).
Zusatzaufgabe 11.3
Opa bäckt am Freitag gern Kuchen mit luftigem Teig.
Orangen brennen auf frisch geöffneten Kratzern meist lange tierisch.
Okapis brauchen als Futter grüne Knospen manch leckerer Triebe.
...
2