5. Klausur

Name:
Punkte:
Kernfach Physik
Abzüge für
Note:
Darstellung:
Ø:
Rundung:
1. Klausur in K2
am 12.10. 2011
Achte auf die Darstellung und vergiss nicht Geg., Ges., Formeln, Einheiten, Rundung . . .!
Angaben: Schallgeschwindigkeit in Luft: 340 m/s
Tipp: Bei Rechnungen im Bogenmaß musst du den Taschenrechner auf „Bogenmaß“ stellen.
Aufgabe 1) (6 Punkte)
a) Beschreibe, was der Physiker unter einer Welle versteht.
b) Ein Wellenträger bestehe aus Kugeln der Masse m und Federn der Federkonstante D. Das linke
Ende des Wellenträgers wird mit der Frequenz f harmonisch erregt. Welche Änderungen könnte
man vornehmen, um die Wellenlänge der entstehenden Welle zu verkleinern? (kurz begründen!)
c) Leite die Formel für den Zusammenhang zwischen λ und f her.
y
Aufgabe 2) (15 Punkte)
20 mm
Das linke Ende des eingezeichneten Gummibandes begann zum Zeitpunkt t0=0s mit 2,5 Hz
zu schwingen. Die Abbildung zeigt die Welle
zum Zeitpunkt t1 = 300 ms.
1,0 m
2,0 m
a) Berechne die Phasengeschwindigkeit c und
zeichne an den Orten x0 = 0 m und x1 = 0,5 m die Richtung der momentane Schnelle v in die Skizze.
b) Gib für t > 0 s die Formel für die Bewegung des Punktes x0 = 0 m an.
c) Stelle die Wellengleichung auf und berechne die Auslenkung und die Schnelle des Punktes
x2 = 2,0 m zu den Zeitpunkten t2 = 350 ms und t3 = 420 ms?
d) Skizziere mit Begründung das Momentbild des gesamten Wellenträgers zum Zeitpunkt t4 = 1,0 s.
Aufgabe 3) (10 Punkte)
Ein 50 cm langes Stahlband ist am oberen Ende mit der Drehachse eines Motors verbunden,
das untere Ende ist frei beweglich. Wenn man den Motor mit einer Wechselspannungsquelle
verbindet, kann man bei bestimmten Erregerfrequenzen Resonanz beobachten.
Motor
a) Die Abbildung zeigt das System bei einer Erregerfrequenz von 45 Hz. Die wievielte Eigenschwingung ist das und welche Frequenz hat die nächst höhere Eigenschwingung? Begründe
b) Leite die allgemeine Formel für die Frequenz der n-ten Eigenschwingung her und berechne
die Phasengeschwindigkeit der Welle.
Der Sender sendet Ultraschall mit 40 kHz aus und
das Mikrofon befindet sich zunächst an einem Ort
minimaler Lautstärke.
Brett
Aufgabe 4) (11 Punkte)
Sender
Mikrofon
a) Wie weit muss man das Brett auf das Mikro zu bewegen, damit dieses während der Bewegung 28
Mal große Lautstärke und am Ende wieder minimale Lautstärke registriert? (Gedankengang begründen
und Phänomen erläutern!)
b) Mit welcher Geschwindigkeit wurde das Brett bewegt, wenn die Lautstärke in Versuch a) mit einer
Frequenz von 140 Hz schwankte?
c) Was registriert das Mikro, wenn es sich direkt am Brett befindet? (Kurze Begründung!)
Viel Erfolg!!
Lösungen
Aufgabe 1) ( 6 Punkte)
a) Beschreibe, was der Physiker unter einer Welle versteht.
Eine Welle ist eine sich auf einem Wellenträger ausbreitende Störung des
Zustandes des Wellenträgers.
1
Beispiele: Höhe der Wasseroberfläche bei Wasserwellen, Auslenkung eines
Gummibandes aus der Gleichgewichtslage, Druck bei Schallwellen u.s.w.
b) Ein Wellenträger bestehe aus Kugeln der Masse m und Federn der Federkonstante D. Das linke
Ende des Wellenträgers wird mit der Frequenz f harmonisch erregt. Welche Änderungen könnte
man vornehmen, um die Wellenlänge der entstehenden Welle zu verkleinern? (kurz begründen!)
Es gilt c = λ — f =>
λ=c/f
Um λ zu verkleinern kann man also
1. Die Frequenz erhöhen.
D.h. mit zunehmender Frequenz wird λ kleiner.
2. die Phasengeschwindigkeit verringern.
Die Phasengeschwindigkeit hängt nur vom Wellenträger ab, und zwar im
Massepunkt-Feder-Modell von der Masse der Teilchen und der Federhärte
der Federn, die die Teilchen verbinden.
3
=> Masse vergrößern, da bei zunehmender Masse wegen der größeren
Trägheit c kleiner wird, wodurch auch λ kleiner wird.
=> Oder die Federkonstante verringern, da c mit abnehmendem D geringer
wird => λ nimmt ab.
Typische fehler:
"Größere Masse führt dazu, dass die Masse langsamer ausgelenkt wird
und daher die Phasengeschwindigkeit sinkt" oder "kleineres d => kleinere
Kraft => Die Masse bewegt sich weniger weshalb c wird kleiner wird."
Erläuterung:
Sowohl die max. Schnelle der einzelnen Teilchen, als auch deren Auslenkung hängen nur von der Frequenz und Amplitude der Erregerschwingung
ab. Beide haben nichts mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit zu tun!
c) Leite die Formel für den Zusammenhang zwischen λ und f her.
λ und f hängen über die Phasengeschwindigkeit miteinander zusammen.
Die Phasengeschwindigkeit c gibt an, wie schnell eine bestimmte Phasenlage
( z.B. neg. Nulldurchgang ) auf dem Wellenträger wandert.
Also gilt: c = s / t
Während einer Periodendauer T wandert die Welle um eine Wellenlänge λ
=> c = s / t = λ / T = λ — f
=> λ = c / f
2
Aufgabe 2) (17 Punkte)
Das linke Ende des eingezeichneten
Gummibandes begann zum
Zeitpunkt t0=0s mit 2,5 Hz zu
schwingen. Die Abbildung zeigt die
Welle zum Zeitpunkt t1 = 300 ms.
y
20 mm
1,0 m
2,0 m
a) Berechne die Phasengeschwindigkeit c und zeichne an den Orten x0 = 0 m und
x1 = 0,5 m die Richtung der momentanen Schnelle v in die Skizze ein
Geg.:
s = 1,5 m, t1 = 0,30 s, f = 5, Hz
Ges.:
c; Schnelle einzeichnen
Lsg.:
c = s / t = 1,5 m / 0,3 s = 5,0 m/s
c = 5,0 m/s
2
3
y
20 mm
v = 0 m/s erster Punkt ruht gerade
v
1,0 m
v
1
2,0 m
b) Gib für t > 0 s die Formel für die Bewegung des Punktes x0 = 0 m an.
Zum Zeitpunkt t0 beginnt der Erreger gerade zu schwingen und macht einen
negativen Nulldurchgang.
=> y(t) = - ŷ — sin ( ω — t )
mit
3
ω = 2—π— f = 32,4 1/s und ŷ = 20 mm
c) Stelle die Wellengleichung auf und berechne die Auslenkung und die Schnelle des
Punktes x2 = 2,0 m zu den Zeitpunkten t2 = 350 ms und t3 = 420 ms?
Die Wellengleichung lautet:
y(x,t) = - ŷ — sin ( ω — t - k — x )
mit
ω = 2 — π / T = 2 — π — f = 2—π—2,5 1/s = 5π
π /s
und
k = 2—π/λ
2
= 3,14..1/m
Auslenkung des Punktes x2 :
Da die Welle den Punkt erst nach der Zeit t = s / v = 0,4 s erreicht,
ist die Auslenkung zum Zeitpunkt t3 = 350 ms noch 0 mm !
1
Zum Zeitpunkt t3 = 420 ms hat die Welle den Punkt x2 erricht und man
kann die Werte einfach in die Wellengleichung einsetzen.
y(x2,t3) = - ŷ — sin ( ω — t3 - k — x2 )
y(x,t)
= - 20 mm — sin ( ω — 0,42 s - k — 2 m ) = - 11,755.. mm
y(x,t) = - 6,2 mm ????????
2
Berechnung der Schnelle:
Für t2 ist die schnelle noch 0 m/s.
2
Für t3 gilt:
v(x2,t3) = y(t) = - ŷ — ω — cos ( ω — t3 - k — x2 ) = -0,298..m/s
v(x2,t3) = -0,30 m/s
d) Skizziere mit Begründung das Momentbild des gesamten Wellenträgers zum
Zeitpunkt t4 = 1,0 s.
Zum Zeitpunkt t4 hat der erste Punkt des Wellenträgers den Weg
s = c — t = 5 m/s — 1 s = 5 m zurückgelegt.
1
=> Die Welle wurde bereits am festen Ende Reflektiert und der reflektierte Teil
hat bereits 1 m nach links zurück gelegt. Bei der Reflexion am festen Ende
wurde das einlaufende erste Wellental als Wellenberg reflektiert.
2
Überlagerung
y
c
20 mm
1,0 m
c
reflektierte
Welle
5,0 m
2,0 m
einlaufende
Welle
Gesamte Welle
y
20 mm
2
1,0 m
2,0 m
4
Aufgabe 3) (10 Punkte)
Motor
Ein 50 cm langes Stahlband ist am oberen Ende mit der Drehachse eines
Motors verbunden, das untere Ende ist frei beweglich. Wenn man den Motor
mit einer Wechselspannungsquelle verbindet, kann man bei bestimmten
Erregerfrequenzen Resonanz beobachten.
a) Die Abbildung zeigt das System bei einer Erregerfrequenz von 45 Hz. Die
wievielte Eigenschwingung ist das und welche Frequenz hat die nächst
höhere Eigenschwingung? Begründe!
Es liegt eine stehende Welle mit einem losen und einem festen
Ende vor.
Die erste Eigenschwingung hätte nur einen Knoten am Motor und unten
einen Bauch. Die 2. Eigenschwingung hat 2 Knoten und die n. Eigenschw.
n Knoten
Daher handelt es sich um die 3. Eigenschwingung
1
Bei Wellenträgern mit einem losen und einem festen Ende gilt die Formel:
fn = (2—n – 1) — f1
mit n = 1,2,3 . . .
1
Wichtig!
Aus den Angaben n = 3 und f3 = 45 Hz kann man f1 berechnen.
4
f1 = fn / (2—n – 1) = 45 Hz / (2—3 –1) = 45 Hz / 5 = 9 Hz
1
f1 = 9 Hz
=>
f4 = 9 Hz — (2—4 - 1) = 9 Hz — 7 = 63 Hz
1
f4 = 63 Hz
b) Leite die allgemeine Formel für die Frequenz der n-ten Eigenschwingung her und
berechne die Phasengeschwindigkeit der Welle.
Für n = 1 ist l = 1 — λ1/4
Für n = 2 ist l = 3 — λ2/4
Für n
ist l ein ungeradzahliges Vielfaches von λn/ 4
l = (2n-1) — λn/4
=>
2
λn = 4—l / (2n-1)
Mit c = λ n — f n =>
f n = c / λn
folgt: fn = (2n-1) — c / 4l
6
2
mit n = 1,2,3O
nicht vergessen!
Berechnung von c:
In der Aufgabe ist n = 3 und l = 0,5 m und f3 = 45 Hz.
Aus der Formel für fn folgt:
c = 2 — l — fn / (2n-1)
c = 18m/s
2
Aufgabe 4) (11 Punkte) Der Sender sendet
Ultraschall mit 40 kHz aus und das Mikrofon
befindet sich zunächst an einem Ort
minimaler Lautstärke.
Brett
=>
Sender
Mikrofon
a) Wie weit muss man das Brett auf das Mikro zu bewegen, damit dieses während der
Bewegung 28 Mal große Lautstärke und am Ende wieder minimale Lautstärke
registriert? (Gedankengang begründen und Phänomen erläutern!)
Geg.:
f = 40 kHz, 30 Maxima
Ges.:
Verschiebung ∆x
Ansatz: Am Brett werden die Schallwellen reflektiert. Einlaufende und
reflektierte Wellen bilden stehende Wellen, die sich mit dem Brett auf
1
das Mikrofon zu bewegen.
Wenn man das Brett um λ/4 verschiebt, registriert das Mikro maximale
Lautstärke, nach λ/2 wieder minimale Lautstärke.
=> Um 28 Maxima und danach wieder ein Minimum zu registrieren,
muss das Brett um ∆ x = 28 — λ/2 verschoben werden.
1
4
Berechnung von λ:
c=λ—f
=>
λ = c / f = 340 m/s / 40 000 1/s = 8,5 mm
1
λ = 8,5 mm
∆x = 28 — λ/2 = 14 — 8,5 mm = 119 mm
1
∆x = 12 cm
b) Mit welcher Geschwindigkeit wurde das Brett bewegt, wenn die Lautstärke in
Versuch a) mit einer Frequenz von 140 Hz schwankte?
Geg.:
Frequenz d. Schwankung fs = 140 Hz, λ = 8,5 mm
Ges.:
v
Lsg.:
v = s/t
mit
s = n — λ/2
folgt: v =
n — λ/2
t
3
= fs — λ/2 = 140 Hz — 0,0085m / 2 = 0,595 m/s
v = 60 cm/s
c) Was registriert das Mikro, wenn es sich direkt am Brett befindet? (Kurze Begründung)
Da das Brett bezüglich des Druckes ein loses Ende darstellt, wird ein
einlaufender Druckberg als Berg reflektier, d. h. am Brett ist ein Wellenbauch.
=> Das Mikro registriert dort maximale Lautstärke.
2