Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Um auch Wurzeln aus negativen Zahlen bilden zu können, führt man eine
imaginäre Einheit i als eine der Lösungen von
i2 = −1
ein und bezeichnet
C = {z = x + iy : x, y ∈ R} ,
als Menge der komplexen Zahlen. Dabei werden x und y Real- bzw.
Imaginärteil genannt:
x = Re z, y = Im z ,
insbesondere ist R = {z ∈ C : Im(z) = 0}.
Komplexe Zahlen
1-1
Die komplexen Zahlen bilden einen Körper. Definiert man Addition und
Multiplikation gemäß
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 )
z1 · z2 = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ) ,
so gelten die üblichen Rechenregeln.
Komplexe Zahlen
1-2
Beispiel
(i) Addition:
(2 + 3i) + (4 − 5i) = 6 − 2i
Komplexe Zahlen
2-1
Beispiel
(i) Addition:
(2 + 3i) + (4 − 5i) = 6 − 2i
(ii) Multiplikation:
(2 + 3i) · (4 − 5i) = 8 − 10i + 12i − |{z}
15i2
=−15
= 23 + 2i
(i2 = −1)
Komplexe Zahlen
2-2
Komplexe Konjugation
Für eine komplexe Zahl z = x + iy definiert man die konjugiert komplexe
Zahl
z̄ = x − iy .
Geometrisch bedeutet die komplexe Konjugation eine Spiegelung an der
x-Achse: (x, y ) → (x, −y ).
Komplexe Zahlen
3-1
Komplexe Konjugation
Für eine komplexe Zahl z = x + iy definiert man die konjugiert komplexe
Zahl
z̄ = x − iy .
Geometrisch bedeutet die komplexe Konjugation eine Spiegelung an der
x-Achse: (x, y ) → (x, −y ).
Die komplexe Konjugation ist mit den arithmetischen Operationen
verträglich:
z1 ◦ z2 = z̄1 ◦ z̄2
für ◦ = +, −, ∗, /.
Komplexe Zahlen
3-2
Beispiel
z = 2 − i, w = 1 + 3i
Komplexe Zahlen
4-1
Beispiel
z = 2 − i, w = 1 + 3i
(i) Addition:
Komplexe Zahlen
4-2
Beispiel
z = 2 − i, w = 1 + 3i
(i) Addition:
z +w
= (2 + i) + (1 − 3i) = 3 − 2i
z +w
= (2 − i) + (1 + 3i) = 3 + 2i
Übereinstimmung
Komplexe Zahlen
4-3
Beispiel
z = 2 − i, w = 1 + 3i
(i) Addition:
z +w
= (2 + i) + (1 − 3i) = 3 − 2i
z +w
= (2 − i) + (1 + 3i) = 3 + 2i
Übereinstimmung
(ii) Multiplikation:
Komplexe Zahlen
4-4
Beispiel
z = 2 − i, w = 1 + 3i
(i) Addition:
z +w
= (2 + i) + (1 − 3i) = 3 − 2i
z +w
= (2 − i) + (1 + 3i) = 3 + 2i
Übereinstimmung
(ii) Multiplikation:
zw
= (2 + i)(1 − 3i) =
(2 + 3) + (1 − 6)i
= 5 − 5i
zw
= (2 − i)(1 + 3i) = (2 + 3) + (−1 + 6)i = 5 + 5i
gleiches Resultat 5 − 5i
Komplexe Zahlen
4-5
Betrag komplexer Zahlen
Der Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist als
p
√
|z| = x 2 + y 2 = z z̄
definiert.
Komplexe Zahlen
5-1
Betrag komplexer Zahlen
Der Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist als
p
√
|z| = x 2 + y 2 = z z̄
definiert.
Für z ∈ R ist diese Definition konsistent mit der Definition der
Betragsfunktion für reelle Zahlen und besitzt analoge Eigenschaften.
Positivität:
|z| ≥ 0,
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
Multiplikativität:
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |, z2 6= 0
Dreiecksungleichung:
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Komplexe Zahlen
5-2
Beweis:
(i) Positivität
X
Komplexe Zahlen
6-1
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Komplexe Zahlen
6-2
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Komplexe Zahlen
6-3
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Produkt:
Komplexe Zahlen
6-4
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Produkt:
|z1 z2 |2 = |(x1 + iy1 )(x2 + iy2 )|2 = |(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )|2
= x12 x22 + y12 y22 + x12 y22 + x22 y12
Terme ±2x1 x2 y1 y2 heben sich auf
2
2
|z1 | |z2 | =
(x12
Übereinstimmung mit
+
y12 )(x22
+ y22 )
Komplexe Zahlen
6-5
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Produkt:
|z1 z2 |2 = |(x1 + iy1 )(x2 + iy2 )|2 = |(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )|2
= x12 x22 + y12 y22 + x12 y22 + x22 y12
Terme ±2x1 x2 y1 y2 heben sich auf
2
2
|z1 | |z2 | =
(x12
Übereinstimmung mit
+
y12 )(x22
+ y22 )
Quotient:
Komplexe Zahlen
6-6
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Produkt:
|z1 z2 |2 = |(x1 + iy1 )(x2 + iy2 )|2 = |(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )|2
= x12 x22 + y12 y22 + x12 y22 + x22 y12
Terme ±2x1 x2 y1 y2 heben sich auf
2
2
|z1 | |z2 | =
(x12
Übereinstimmung mit
+
y12 )(x22
+ y22 )
Quotient:
Anwendung der bewiesenen Identität für das Produkt von Beträgen
|(z1 /z2 )||z2 | = | (z1 /z2 )z2 |
| {z }
⇔
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |
z1
Komplexe Zahlen
6-7
(iii) Dreiecksungleichung:
Komplexe Zahlen
6-8
(iii) Dreiecksungleichung:
Quadrieren der Ungleichungskette und Subtraktion von |z1 |2 + |z2 |2
−2|z1 ||z2 | ≤ z1 z̄2 + z̄1 z2 ≤ 2|z1 ||z2 |
Komplexe Zahlen
6-9
(iii) Dreiecksungleichung:
Quadrieren der Ungleichungskette und Subtraktion von |z1 |2 + |z2 |2
−2|z1 ||z2 | ≤ z1 z̄2 + z̄1 z2 ≤ 2|z1 ||z2 |
äquivalente Ungleichung
|Re(z1 z̄2 )| ≤ |z1 ||z2 |
bzw.
|x1 x2 + y1 y2 | ≤
q
q
x12 + y12 x22 + y22
Komplexe Zahlen
6-10
(iii) Dreiecksungleichung:
Quadrieren der Ungleichungskette und Subtraktion von |z1 |2 + |z2 |2
−2|z1 ||z2 | ≤ z1 z̄2 + z̄1 z2 ≤ 2|z1 ||z2 |
äquivalente Ungleichung
|Re(z1 z̄2 )| ≤ |z1 ||z2 |
bzw.
|x1 x2 + y1 y2 | ≤
q
q
x12 + y12 x22 + y22
erneutes Quadrieren und Subtraktion von x12 x22 , y12 y22
2x1 x2 y1 y2 ≤ x12 y22 + x22 y12
Komplexe Zahlen
6-11
(iii) Dreiecksungleichung:
Quadrieren der Ungleichungskette und Subtraktion von |z1 |2 + |z2 |2
−2|z1 ||z2 | ≤ z1 z̄2 + z̄1 z2 ≤ 2|z1 ||z2 |
äquivalente Ungleichung
|Re(z1 z̄2 )| ≤ |z1 ||z2 |
bzw.
|x1 x2 + y1 y2 | ≤
q
q
x12 + y12 x22 + y22
erneutes Quadrieren und Subtraktion von x12 x22 , y12 y22
2x1 x2 y1 y2 ≤ x12 y22 + x22 y12
X, da (x1 y2 − x2 y1 )2 ≥ 0
Komplexe Zahlen
6-12
Beispiel:
z = 3 − 4i
Komplexe Zahlen
7-1
Beispiel:
z = 3 − 4i
Betrag
|z| =
p
32 + 4 2 = 5
Komplexe Zahlen
7-2
Beispiel:
z = 3 − 4i
Betrag
|z| =
p
32 + 4 2 = 5
binomische Formel
z z̄
= (3 − 4i)(3 + 4i)
= 9 − 16i2 = 9 + 16 = 25
= |z|2
Komplexe Zahlen
7-3