T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung

T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 1
Fortgeschrittene Fehlerrechnung
11‐P‐FR2 Fortgeschrittene Fehlerrechnung und computergestütztes Arbeiten
Vorlesung
Übung
Diese Modul ist Pflicht für alle Studierenden mit Studienziel:
Physik (BP),
Nanostrukturtechnik (BN),
Mathematische Physik (BMP).
Es ist vorgesehen für das vierte Semester und dient der Vorbereitung der höheren Praktikumsmodule.
(Bachelor C‐Modul, Master F‐Praktikum)
Die Inhalte des Moduls 11‐P‐FR2 werden für die C‐Praktikumsmodule als beherrscht vorausgesetzt.
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26.04.2017
Vorlesung 1- 2
Ankündigung Termine
Zieldatum
Thema
Worum geht es?
26.04.2017
Verteilungsfunktionen
Poissonverteilung, Chi‐Quadrat‐Verteilung
03.05.2017
Hypothesentest
Signifikanztests allgemein, Chi‐Quadrat‐Test
10.05.2017
Korrelationen
Kovarianz, linearer Korrelationskoeffizient
17.05.2017
Regression I
Anpassung mit Polynomen
24.05.2017
Regression II
Anpassung an nicht‐gaussverteilte Daten
31.05.2017
Regression III
Nichtlineare Anpassung
07.06.2017
Modellentwicklung
Modellentwicklung am Beispiel des Bierschaumzerfalls
14.06.2017
Linienformanpassung
Anpassung an Lorentz‐/Gausskurven mit Untergrund
28.06.2017
Graphische Darstellungen
Computergestützte graphische Auswertung
05.07.2017
Weiterführende Fragestellungen
Einige Überlegungen zur Metrologie
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Vorlesung 1- 3
Übungsaufgaben - Organisatorisches
Die Ausgabe der neuen Übungsblätter ist:
Freitag, 10:45 – 12:15 Uhr
Studentenbüro
Der Abgabetermin der bearbeiteten Übungsblätter ist:
Folgender Freitag, 13:00 Uhr im Fehlerrechnungsbriefkasten
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Vorlesung 1- 4
Literatur
Die Veranstaltung basiert wesentlich auf folgenden Lehrbüchern
J. Hartung: „Statistik: Lehr‐ und Handbuch der angewandten Statistik", 2009
P. Bevington: "Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences", 2003
Folien: https://www.physik.uni-wuerzburg.de/studium/
studienganguebergreifende_infos_zum_studium/grundpraktikum/
fortgeschrittene_fehlerrechnung/
Sorry, das ist offenkundig wenig komfortabel und nur übergangsweise
Das „Handout“ ist lediglich ein grobes Gerüst. Es ersetzt weder den Besuch der Vorlesung noch die intensive Beschäftigung mit dem Stoff.
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Vorlesung 1- 5
Zentrale Fragestellungen
Wir führen eine Messung durch und erhalten folgende Werte
75,0
Yi
0,20
52,4
1,17
54,6
1,96
57,7
2,98
59,5
4,05
62,7
5,12
65,6
5,93
67,0
7,01
69,0
8,24
72,8
Testmessung zur
linearen Regression
70,0
65,0
Y
Xi
60,0
55,0
50,0
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
X
1.) Wie können wir objektiv beurteilen, inwieweit die Daten unsere Annahme
erfüllen und wirklich einer bestimmten Funktion (hier einer Gerade) folgen?
2.) Angenommen die Beziehung zwischen x und y ist linear, welche Gerade passt
am besten zu den Messwerten?
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Vorlesung 1- 6
Vorüberlegungen
y  a  bx.
Für jedes Xi gibt es eine Wahrscheinlichkeit Pi den Messwert Yi zu erhalten.
Normalverteilung der Messwerte:
P
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i

2


y
y
x




1
 1 i
i
exp  
 
2

 i 2
i

 

26.04.2017
Vorlesung 1- 7
Vorüberlegungen
P
i

2

1
 1  yi  y  xi   
exp  
 
2

 i 2
i

 

Die Wahrscheinlichkeit unseren Datensatz bei N Messpunkten genau so zu
beobachten ist dann gegeben durch:

2 

y
y
x





1
1


i
exp   i
P (a0 , b0 )   Pi   
 

2

2
i 1
i 1   i
i

  



N
N

 1 
 1
  
 exp 
2 
i 1   i
 2
N
 yi  y  xi  




i 1 
i

N
2



Die beste Gerade liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Das
ist der Fall, wenn der Exponent
2 N
2
y

y
x






y

a

bx
i
i
i
2  i
 

i

1

i 1 
i
i



N
minimal wird.
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Vorlesung 1- 8
Vorüberlegungen
Das gesamte weitere Vorgehen beruht also auf der Annahme, dass unsere
Datenpunkte verteilt sind nach:
P
i

2

1
 1  yi  y  xi   
exp  
 
2

 i 2
i

 

Wie können wir objektiv beurteilen, inwieweit die Daten unsere Annahme erfüllen
und wirklich einer Normalverteilung folgen?
Ist es möglich unsere bisherigen Überlegungen zur Anwendung zu bringen, wenn
die Daten einer anderen bekannten Verteilung folgen?
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Vorlesung 1- 9
Verteilungsfunktionen III:
Wiederholung
Poissonverteilung
Chi-Quadrat-Verteilung
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Vorlesung 1- 10
Was bisher geschah…
1.) Die Binomialverteilung
n
nm
W m      p m  1 p 
 m
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Beschreibt Anzahl der Erfolge bei Serie gleichartiger und unabhängiger Versuche mit
nur zwei möglichen Ergebnissen (Bernoulli - Experiment)
W(m) beschreibt, für gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Wahrscheinlichkeit bei n
Versuchen genau m Erfolge zu erzielen.
Normiert, d. h. Summe über alle W(m) ist eins.
Erwartungswert M = n·p
Varianz: 2 = n·p (1-p) = M (1-p)
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Vorlesung 1- 11
Was bisher geschah…
 x  M 2 
1
exp
G ( x) 

2
2

 2


2.) Die Normalverteilung
Kontinuierliche Verteilung
Symmetrisch um den Erwartungswert M, geht schnell gegen null wen (x - M)2 groß wird
Standardabweichung gegeben durch , Wendepunkt der Verteilungsfunktion

Normiert, d. h.


1
 2
e

 x  M 2
22
Fehlerfunktion P innerhalb 1  
dx  1
1
2

1
1
e

z2
2
dz
Im Grenzfall n   konvergiert Binomialverteilung gegen Normalverteilung
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Vorlesung 1- 12
Von der Binomial- zur Normalverteilung
Wir machen eine Messung
Bernoulli- Verteilung
diskret
Parameter: n=1, p
Die Messwerte xm setzen sich aus einer großen Zahl
Binomial-Verteilung
von kleinen Elementarfehlern  zusammen,
diskret
Parameter: n, p
die um den wahren Wert (Mittelwert) verteilt sind.
Bi (x)
Gauss-Verteilung
n  
p  const.
Normal-Verteilung
kontinuierlich
Parameter: , 
Die Elementarfehler treten n mal auf,
m mal positiv und n-m mal negativ.
G (x)
Der Fehler fm setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2):
fm = m  - (n-m)  = 2 m  - n 
[m = n/2 + fm/ 2 ]
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Vorlesung 1- 13
Von der Binomial- zur Normalverteilung
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und
n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung
gegeben:
Pm
n
n1
n!
nm
   n 
Pm    p m 1  p 
m!n  m !2n
 m
 m 2
Pm+1
Pm+2
Pm+3
Die Verteilung ist treppenförmig
Pm+4
Lassen wir  immer kleiner werden und n immer
größer,
dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die
Kurve immer "glatter".
Versuch, eine Funktion zu finden,
die den Verlauf beschreibt.
fm
fm+1
fm+2
fm+3
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fm+4
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Vorlesung 1- 14
Von der Binomial- zur Normalverteilung
fm = m  - (n-m)  = 2 m  - n 
Pm  Pm 1
P

f
f m  f m 1
n 1
Pm    n
 m 2
Pm1 
nm
Pm
m 1
sowie
und
 n  1
 n
Pm1  
m
1

2

f m  f m1   2 
P
n  2m 1 Pm


m  1 2
f
Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler,
die klein sind gegen den maximalen Fehler, also
fm << n 
und
m >> 1.
[m = n/2 + fm/ 2 ]
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Vorlesung 1- 15
Von der Binomial- zur Normalverteilung
P
n  2m 1 Pm


f
m  1 2
[m = n/2 + fm / 2 ]
n - 2 m – 1  n - 2 m = - fm/ 
und der Nenner
m + 1  m = n/2 + fm/2   n/2
P
P f
Pf
dP
  m 2m   2 
f
n
n
df
dP
Pf
  2
df

dP
1
  2  f  df
P

P  d e
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Abkürzung : n  2 = 2
lnP  
x2

2 2
d 
26.04.2017
1
2 2
x 2  const
1
2  2
Vorlesung 1- 16
Was fehlt ?
Wann ist n   in der Praxis gut erfüllt?
FAUSTREGEL: n·p > 9
d. h.
n hinreichend groß und p nicht zu klein.
je asymmetrischer die Binomialverteilung, desto größer muss n
sein um gut durch Normalverteilung genähert zu sein.
Was passiert, wenn p sehr klein ist?
Betrachten wir den Fall n   und p  0,
mit der Nebenbedingung n·p =  konstant.
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Vorlesung 1- 17
Poissonverteilung
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Vorlesung 1- 18
Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
Binomialverteilung W m  
Gesucht:
lim W  m 
n 
n m
nm
   p  1 p 
 m
W(m) für n   und p = /n
m
nm

n!
 
 
    1  
lim
n  ( n  m)! m !
n 
n 

  m   n(n  1)(n  2)  (n  m  1)  
  
 




lim 
1
1

 
 

m
n  m !
n
n
n









 m 
  
 
 n n 1 n  2 n  m 1  







lim
1
1

 n 
 
 

n
m
!
n
n
n
n
n












n
m
n
1

 m 
 


lim
1




n 
 m !  n 
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m
1
n
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Vorlesung 1- 19
Von der Binomial- zur Poisson-Verteilung
lim W  m 
n 
Kurze Erinnerung:

 m 
 


lim
1

 n 

m
!
n




n
Euler‘sche Zahl und Näherungsformel Exponentialfunktion
ex
 x
 lim 1  
n 
 n
lim W  m 
Damit:
n 

n
  m  

e
 m! 
Dies wird als Poisson`scher Grenzwertsatz oder
als Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.
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Vorlesung 1- 20
Poisson-Verteilung
Die Verteilung:
Px  
 x e 
x!
,
wobei x  0,1, 2, 3,.....
heißt Poissonverteilung oder Verteilung seltener Ereignisse.
x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem
bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert  solcher Ereignisse
erwartet werden kann.
Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein.
Die Verteilung ist diskret und asymmetrisch.
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Vorlesung 1- 21
Poisson-Verteilung
Konsistenz: Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?
x 


 x P x  

x 0
x
x 0
x
x!
e 
Der erste Term der Summe ist Null.
Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden.
x   e
 x 1

 x  1!
 
x1



1  
2
2!

3
3!
 .... e 
Das heißt der Parameter  , der die Poisson-Verteilung charakterisiert,
ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird,
wenn wir das Zählexperiment viele Male wiederholen.
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Vorlesung 1- 22
Poisson-Verteilung
Wie groß ist die Standardabweichung ?
Zunächst Berechnung der Varianz
2 

2


 x   
2
 x e
x0

 x

2
x0
 x e
x0
x!
2
x

 x e

 2 x 
x!
0
x

2 2
x!
 2 x   2


 x e
x!

 x e

x!
x0

 2
2
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Vorlesung 1- 23
Poisson-Verteilung
σ
2


 x
 

 x e 
 x e 
2
x!
x0

Verschiebungssatz:
x
2
x0
 2
x!
ersetzen von x2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu
2 

x x  1  x   x e  
x0
x!

x  x  1  x e  
 

x!
x0


 2
2



x0
x x e  
 2

x!
x0

 
x  x  1  x e  
   2
x!

2

x 2
 x2 e 
(x  2 )!
   2
Ersetzen von x-2 durch , summieren von = 0
ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird:
 2  2    2  
 
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
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Vorlesung 1- 24
Poisson-Verteilung
 

Die Standardabweichung ist somit gleich der
Wurzel aus dem Mittelwert.
Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch:
 

n
wobei n die Anzahl der Messungen ist, die wir verwendet haben, um den
Mittelwert zu bestimmen.
Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit:
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26.04.2017


n


n
1
n
Vorlesung 1- 25
Poisson-Verteilung
Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:
Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma
eintreffen.
Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit.
Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung.
Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.
Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne.
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Vorlesung 1- 26
Poisson-Verteilung
Beispiel:
An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt.
Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung
mit
 = 2 beschrieben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ?
Px  
 x e
x!
20 e 2
P0  
 e 2  0.135335
0!
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26.04.2017
Vorlesung 1- 27
Poisson-Verteilung
Beispiel:
An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt.
Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit
 = 2 beschrieben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ?
P( 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335
P0  
P1 
P2 
P3 
40 e 4
0!
41e 4
1!
4 2 e 4
2!
43 e  4
3!
Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden
 0.018316
 0.073264
pro Tag in einem Krankenhaus geboren ?
(Jahreszeitliche Schwankungen) !!.
Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ?
 0.146528
 0.195367
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Qualitativer graphischer Vergleich
Quantitativ mittels 2-Test
26.04.2017
Vorlesung 1- 28
Poisson-Verteilung
Poisson-Wahrscheinlichkeit
für erwartete zwei Unfälle pro Woche
Unfallwahrscheinlichkeit
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Anzahl der Unfälle
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 29
Poisson-Verteilung
Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:
Poissonverteilt?
Anzahl Unfälle
Häufigkeit
Relative Häufigkeit
0
7
0,13462
1
14
0,26923
2
16
0,30769
3
9
0,17308
4
4
0,07692
5
1
0,01923
6
0
0
7
1
0,01923
8
0
0
Wie groß ist der Mittelwert?
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 30
Poisson-Verteilung
Anzahl Unfälle
Häufigkeit
Relative Häufigkeit
0
7
0,13462
1
14
0,26923
2
16
0,30769
3
9
0,17308
4
4
0,07692
5
1
0,01923
6
0
0
7
1
0,01923
8
0
0
  (0  7  1 14  2 16  3  9  4  4  5 1  6  0  7 1  8  0) / 52 1,94
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 31
Poisson-Verteilung
Betrachte die Anzahl der Unfälle an der Kreuzung über ein Jahr:
Poissonverteilt?
Anzahl Unfälle
Häufigkeit
Relative Häufigkeit
Poissonwahr.
0
7
0,13462
0,144
1
14
0,26923
0,279
2
16
0,30769
0,270
3
9
0,17308
0,175
4
4
0,07692
0,085
5
1
0,01923
0,033
6
0
0
0,011
7
1
0,01923
0,003
8
0
0
0,001
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 32
Poisson-Verteilung
Relative Häufigkeit
Anzahl Unfälle
Poissonwahrscheinlichkeit
für erwartete 1,92 Unfälle
0,30
Unfallwahrscheinlichkeit
0,25
0,20
0,15
Übereinstimmung gut?
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Anzahl der Unfälle
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 33
Zusammenhang der Poisson- und Normalverteilung
PoissonVerteilung
diskret
Parameter  = 2
P(x)
Gauss-Verteilung
Normal-Verteilung
  
kontinuierlich
Parameter: , 
 = np
G (x)
29.09.2003
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 5
44
Vorlesung 1- 34
Zusammenhang der Verteilungen
Bernoulli ‐ Verteilung
Poisson ‐ Verteilung
diskret
Parameter: n=1, p
n  
diskret
p  0 Parameter  = 2
Binomial‐Verteilung
diskret
Parameter: n, p
Bi (x)
P(x)
Gauß ‐ Verteilung
n  
p  const. Normal ‐ Verteilung
  
kontinuierlich
 = n p
Parameter: , 
G (x)
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 35
Zusammenhang der Verteilungen
Ist die Population endlich ?
NEIN
JA
Ist n groß ?
JA
Ist n·p > 9 ?
JA
Hypergeometrisch
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
Gauß
NEIN
NEIN
Poisson
26.04.2017
Binomial
Vorlesung 1- 36
Chi-Quadrat-Verteilung
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 37
Chi-Quadrat in der deskriptiven Statistik
Allgemeine Definition :
2 
n

k 1
Ek
 Tk 
Tk
2
Ek ist die experimentelle Häufigkeit
Tk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit
Wir wiederholen eine Messung viele (N) Male,
fassen die Messwerte in n-Klassen zusammen
und ermitteln die Anzahl der Beobachtungen Ek, die in die Klasse k fallen.
Beispiel: Siehe Übungsaufgabe zur Poisson-Verteilung
Unter der Voraussetzung,
dass die Messwerte der erwarteten Verteilung folgen, berechnen wir die
theoretisch erwartete Zahl von Messwerten in der k-ten Klasse.
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 38
Chi-Quadrat in der deskriptiven Statistik
Allgemeine Definition :
2 
n

k 1
Ek
 Tk 
Tk
2
Ek ist die experimentelle Häufigkeit
Tk ist die theoretisch erwartete Häufigkeit
Bei 2 = 0 ist die Übereinstimmung vollkommen.
Dies ist praktisch nie der Fall, also wird 2 > 0 sein.
Wir müssen daher wissen, welche Streuung hier erwartbar ist.
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 39
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
Annahme:
Wir betrachten Zufallsvariablen Z1,Z2,…..,Zn deren
Wahrscheinlichkeitsdichte fi (i = 1,2,…n) gegeben ist durch
2

1
 1  x  i  
exp  
fi ( x ) 


 i 2
 2   i  
Weiterhin:
 n2  Z12  Z 22  ...  Z n2
Wie sieht die Verteilung / Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallsgröße aus?
Für die weiteren Überlegungen nur Zufallsvariablen Zi mit i = 0 und i = 1.
Das bezeichnet man als N(0,1)-verteilte Zufallsgröße.
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 40
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
Für N(0,1)-verteilte Zufallsgrößen vereinfacht sich die Dichte zu:
f i ( x) 
 x2
1
exp ;
2
 2 
Erinnerung: Die zugehörige Verteilungsfunktion ist die bekannte Fehlerfunktion:
x  
1
2
x
e

z2
2
dz

Sei nun 2 = Z12,dann ergibt sich für die Verteilungsfunktion F12 ( x) :


F 2 ( x)  P ( Z1  x)  P ( x  Z1  x )   ( x )  1   ( x )  2 ( x )  1
2
1
und für die zugehörige Dichte:
d
F 2 ( x)  2
f  2 ( x) 
1
dx 1
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
 
1 2
 x

x
x exp 
2 x
2
 2
1
1
26.04.2017
Vorlesung 1- 41
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
1 2
 x
f  2 ( x) 
x exp 
1
2
 2
1
Betrachten wir als nächstes 2 = Z12+Z22 :
x
f  2 ( x)   f  2 ( y )  f  2 ( x  y )dy
2
1
1
0
x

0


1
 y 1
 x y
2
( x  y ) 2 exp
y exp  
dy
2
2

2
2
 


1
1
x
1
 x

exp 
2
 2 0
x

0

1
dy
y( x  y)
2
Substitution: y  x(1  u )
1
 2 xu
2
1
dy  
du  
du  2 arcsinu 0  
y( x  y)
x 2u 2 (1  u 2 )
(1  u 2 )
0
1
1
0
1
 x
exp ;
2
 2
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 42
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
1 2
 x
f  2 ( x) 
x exp 
1
2
 2
1
Betrachten wir weiter 2 = Z12+Z22 + Z32:
f  2 ( x) 
x
2
f  2 ( x)   f  2 ( y )  f  2 ( x  y )dy
3
1
1
 x
exp 
2
 2
2
0
x

0

1
 y 1
 x  y
y 2 exp   exp
dy
2
2
2
2
 


1
x
1
 x  2

exp  y  dy
2 2
 2 0

1
2
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
1
 x
x exp 
 2
26.04.2017
Vorlesung 1- 43
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
1 2
 x
f  2 ( x) 
x exp 
1
2
 2
1
Und noch weiter 2 = Z12+Z22 + Z32+Z42:
f  2 ( x) 
x
2
f  2 ( x)   f  2 ( y )  f  2 ( x  y )dy
4
2
2
f2 
0
3
x
1
 y 1
 x  y
  exp   exp
dy
2
2
2
2
 


0

1
2
1
 x
exp 
2
 2
 x
x exp 
 2
1
 x
x exp 
4
 2
Kleine Erinnerung:
 1
  ! 
 2
Damit erhält man schließlich für die Dichte nach n Schritten:
n
1
1
 x
2
f  2 ( x)  n
x exp ,
n
 2
n 
2 2   1!
2 
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
x0
Vorlesung 1- 44
Zentrale Chi-Quadrat-Verteilung
n
1
1
 x
f  2 ( x)  n
x 2 exp ,
n
 2
n 
2 2   1!
2 
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
x0
Vorlesung 1- 45
T. Kießling: Fortgeschrittene Fehlerrechnung- Verteilungsfunktionen
26.04.2017
Vorlesung 1- 46