Staatsexamensklausur für das Lehramt L 1 (Wahlfach)/L 2/L 5

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Algebraunterricht in den Klassen 5 bis 10
Positive und negative Zahlen
Profke,L.: Vorlesung Didaktik der
Mathematik II
Klausur WS 2003/04 Aufgabe 2
Die hessischen Lehrpläne Mathematik aller Schularten für die Jahrgangsstufen 5 bis 10 verlangen für einen erfolgreichen Abschluss der Jahrgangstufe 10 erworbene Qualifikationen und
Kenntnisse zu den Grundrechenarten mit rationalen (im Gymnasium auch mit reellen) Zahlen.
Damit stellt sich die Frage: Welche (Grund-) Vorstellungen soll der Schüler zu positiven und
negativen Zahlen erwerben?
a) Was sollen im Mathematikunterricht Grundvorstellungen und didaktische Modelle zu einem
mathematischen Konzept leisten?
b) Beschreiben Sie stichwortartig didaktische Modelle zum Einführen
− positiver und negativer Zahlen,
− des Größenvergleichs positiver und negativer Zahlen,
− des Addierens und Subtrahierens positiver und negativer Zahlen.
Welche dieser didaktischen Modelle eignen sich für Grundvorstellungen?
c) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Multiplizierens und Dividierens positiver
und negativer Zahlen.
d) Wie kann man dem Schüler klar machen, dass die Setzungen
Plus · Minus
= Minus
Minus · Plus
= Minus
Minus · Minus
= Plus
vernünftig sind?
Lösungshinweise
Profke,L.: Vorlesung Didaktik der
Mathematik II
a) Grundvorstellungen zu einem mathematischen Konzept
Abschnitt 7.1.1, Folie 7
− erfassen den mathematischen Kern des Konzepts,
Abschnitt 7.1.2, Folien 20 - 21
− sind in der Lebenswelt verankert,
− sollten „allgemeinverbindlich“ sein,
… wegen der gegenseitigen Verständigung im Unterricht
− veranschaulichen das mathematische Konzept:
… durch Übertragen in einen vertrauten Bereich
… durch Herauslösen aus vertrauten Verwendungssituationen
Didaktische Modelle eines mathematischen Konzepts dienen dem
− Herauslösen mathematischer Konzepte aus Verwendungssituationen
− Veranschaulichen mathematischer Konzepte
b) Didaktisches Modell für positive und negative Zahlen und zum Größenvergleich
– (Symmetrisches) Erweitern der Zahlengeraden: Positive und negative Zahlen beschreiben Zustände über bzw. unter der Null:
Profke,L.: a.a.O.
… Rückwärtszählen
Vorlesung
… Temperaturen
Abschnitt 7.3.1, Folien 79 - 82
… Kontenstände
…
– Bewegen längs einer waagerechten und nach rechts orientierter oder einer lotrechten
noch oben orientierter Zahlengeraden:
… Nach rechts (oben) werden die Zahlen größer, nach links (unten) kleiner,
… wie bei Temperaturen an einem Thermometer.
Didaktisches Modell zum Addieren positiver und negativer Zahlen
– Zustandsänderungen:
… Temperatur ändert sich von 5°C um +12° (um - 8°)
Profke,L.: a.a.O.
… Gut- und Lastschriften bei einem Girokonto
Vorlesung
… Pegel des Rheins bei Koblenz fällt um 23 cm.
Abschnitt 7.3.1, Folien 83 - 84
– Zusammenfassen mehrerer Zustandsänderungen
1
… Erst Gutschrift 328 €, dann Lastschrift 412 €
… Pegel der Lahn stieg gestern um 45 cm und fiel in der Nacht um 12 cm.
Didaktisches Modell zum Subtrahieren positiver und negativer Zahlen
– Schulden tilgen
Profke,L.: a.a.O.
… 3287 € Soll – (503 € Soll) = -3287 € + 503 €
Vorlesung
– Subtrahieren = Umkehren des Addierens
Abschnitt 7.3.1, Folien 85 - 88
– Subtrahieren einer Zahl = Addieren ihrer Gegenzahl
c) Einführen des Multiplizierens positiver und negativer Zahlen
(1) Vervielfachen mit einer natürlichen Zahl n aufgefasst (definiert) als n-faches Addieren
desselben Summanden
(2) Umdeuten des Vervielfachens: Dasselbe leistet die zentrische Streckung der Zahlengeraden von Null aus mit n als Streckfaktor
(3) Verallgemeinern:
… Multiplizieren mit einer positiven reellen Zahl r aufgefasst (definiert) als zentrisches
Strecken der Zahlengeraden von Null aus mit r als Streckfaktor
… Regel: Minus • Plus = Minus
(4) Multiplizieren mit -1
Profke,L.: a.a.O.
… definiert als Übergang zur additiven Gegenzahl
Vorlesung
… gedeutet als Spiegeln der Zahlengeraden an Null
Abschnitt 7.3.1, Folien 89 - 92
(5) Multiplizieren mit einer negativen reellen Zahl r
… Forderung: Beim Multiplizieren sollen immer das Kommutativ- und das Assoziativgesetz gelten.
… Folgerungen:
− Multiplizieren einer Zahl mit -1 liefert die additiven Gegenzahl der Zahl, gedeutet
als Spiegeln der Zahlengeraden an Null.
− Multiplikation mit r lässt sich auffassen als zentrisches Strecken der Zahlengeraden von Null aus mit ⎜r⎥ als Streckfaktor und anschließendem Spiegeln der
Zahlengeraden an der Null
− Regeln: Plus • Minus = Minus Minus • Minus = Plus
Bei jedem Schritt festhalten, wie Betrag und Vorzeichen des Produkts mit den Beträgen
und Vorzeichen der Faktoren zusammenhängen.
Einführen des Dividierens positiver und negativer Zahlen
– Dividieren als Umkehren des Multiplizierens
d) Durch Permanenzforderungen: Gewohnte ältere Regeln sollen weiterhin gelten:
– Der Multiplikator ·r mit r < 0 wirkt auf die gesamte Zahlengerade wie eine Streckspiegelung (Verkettung einer Streckung mit der Punktspiegelung am Streckzentrum) von
der Null aus mit ⎜r⎥ als Streckfaktor (vgl. c)).
– Fortsetzen von Gleichungsketten
… 3·1 = 3
3 · 0,5 = 1,5
3·0 =0
3 · (-0,5) = -1,5
… 1 · (-4) = -4
0,5 · (-4) = -2
0 · (-4) = 0
(-0,5) · (-4)
= +2
– Algebraische Überlegung
… Das Multiplizieren soll immer kommutativ sein:
Regel: Minus • Plus = Minus
… Darf man außerdem setzen: Minus • Minus = Minus?
Dann wäre (-23,5) • (+8,1) = - (8,1 • 23,5) = (-23,5) • (-8,1),
also folgendes Gesetz nicht mehr gültig:
wenn a • b = a • c und a ≠ 0, dann b = c
Profke,L.: a.a.O.
… Einzig mögliche Regel: Minus • Minus = Plus
Vorlesung
Abschnitt 7.3.1, Folien 89 - 92
Abschnitt 7.3.3, Folien 105 - 108
Profke,L.: a.a.O.
Übung 53
Klausur WS 2005/06 Aufgabe21