¨Ubung 2

Übung 2
Vollständige Induktion
Induktion über natürliche Zahlen
Zu beweisen: F (n) gilt für alle n ≥ n0
Induktion über n:
I.A.: Beweis von F (n0 )
I.V.: F (n) sei korrekt für ein n
I.S.: Beweis von F (n + 1) mittels F (n) (Anwendung von I.V.)
Induktion über Struktur von Bäumen
Zu beweisen: Ein Prädikat gelte für alle Bäume
Induktion über die Anzahl der Knoten n:
I.A.: Beweis des Prädikats für n0 = 1; Wurzel ist ein Blatt
I.V.: Prädikat sei korrekt für alle Bäume mit maximal n Knoten
I.S.: Beweis der Aussage für beliebigen Baum mit n+1 Knoten durch Zerlegung
des Baumes in Wurzel und die Teilbäume (≤ n Knoten) unterhalb der
Wurzel
(∀k ≤ n : F (k)) ⇒ F (n + 1)
Lukas-Zahlen
Die Lukas-Zahlen sind definiert durch die rekursive Gleichung
L(n) = L(n − 1) + L(n − 2)
sowie die Startwerte L(0) = 2, L(1) = 1.
Explizite Formel für die Lukas-Zahlen
Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass gilt:
L(n) = φn + φ̂n
Dabei ist φ =
√
1+ 5
2
und φ̂ =
√
1− 5
2 .
Hilfestellung: Es gilt φ2 = φ + 1 und φ̂2 = φ̂ + 1.
1
Rekurrenz
C-Rekurrenz
Eine C-Rekurrenz ist definiert durch:
f (n) = a1 f (n − 1) + a2 f (n − 2) · · · + ak f (n − k)
Mit k Startwerten ist eine C-Rekursion eindeutig definiert.
Bestimmen des asymptotischen Verhaltens einer C-Rekurrenz:
1. Bestimmung des charakteristischen Polynoms χ
2. Bestimmung der Nullstellen von χ
3. Bestimmung der expliziten Formel für die C-Rekurrenz durch Lösen eines
linearen Gleichungssystems
C-Rekurrenz: Beispiel
f (n) = 2f (n − 1) + 3f (n − 2)
• Bestimmung des charakteristischen Polynoms χ(z)
f (n)
z2
χ(z)
=
=
=
2f (n − 1)
2z 1
z 2 − 2z − 3
+ 3f (n − 2)
+ 3z 0
• Bestimmung der Nullstellen:
χ(z) = z 2 − 2z − 3 = (z + 1)(z − 3)
Nullstellen −1 und 3
• Explizite Formel:
f (n) = α1 3n + α2 (−1)n
Nach Einsetzen der Startwerte erhält man durch Lösen des LGS α1 und
α2 .
Lukas-Zahlen
Explizite Formel für die Lukas-Zahlen
Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der Lukas-Zahlen, gegeben durch
L(n) = L(n − 1) + L(n − 2)
und den Startwerten L(0) = 2, L(1) = 1.
2
Divide & Conquer-Rekurrenzen
Rekurrenzen der Form:
T (n) = a · T
n
b
+ c · nd
Dabei gilt a, c, d > 0, 0 < b ∈ N
Umformung in eine C-Rekurrenz durch Substitution:
n := bk , k = logb n, f (k) := T (n)
f (k) = a · f (k − 1) + c · bdk
bd · f (k − 1) = bd · a · f (k − 2) + c · bd(k−1) · bd | · bd
f (k) − bd · f (k − 1) = a · f (k − 1) − a · bd · f (k − 2)
f (k) = (a + bd ) · f (k − 1) − a · bd · f (k − 2)
Divide & Conquer-Rekurrenzen
• Lösen der C-Rekurrenz (charakteristisches Polynom)
• Explizite Lösung für f (k)
• Lösung für T (n) durch Resubstitution: k = logb n
• Master Theorem (siehe Vorlesung)
Divide & Conquer-Rekurrenzen
Beispiel
Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten der Rekurrenz:
n
T (n) = 5 · T
+2·n
3
3