Wichtige Ungleichungen
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Wichtige Ungleichungen
Die Dreiecksungleichung: |z| − |w| ≤ |z − w| ≤ |z| + |w|
für alle z, w ∈ C.
n
n
X
X
xk ≤
|xk |.
Ferner hat man die für n komplexe Summanden x1 , . . . , xn gültige Dreiecksungleichung k=1
k=1
n
Die Bernoullische Ungleichung: Für alle reellen Zahlen x ≥ −1 und n = 1, 2, . . . gilt: 1 + x ≥ 1 + nx.
Die binomische Ungleichung: |ab| ≤
1 2
a + b2
2
für alle a, b ∈ R.
Die Ungleichung für Mittelwerte: Für alle positiven reellen Zahlen c und d gilt:
1
c
2
+
1
d
≤
√
c+d
cd ≤
≤
2
r
c2 + d2
.
2
Die auftretenden Mittelwerte heißen von links nach rechts: harmonisches Mittel, geometrisches Mittel, arithmetisches Mittel und quadratisches Mittel. Alle Mittelwerte liegen zwischen min {c, d} und max {c, d}, das
rechtfertigt die Bezeichnung Mittelwerte.
Ungleichung für allgemeine Mittelwerte: Für positive reelle Zahlen x1 , . . . , xn gilt:
min {x1 , . . . , xn } ≤ h ≤ g ≤ m ≤ s max {x1 , . . . , xn }.
Dabei setzen wir
n
m :=
x1 + x2 + · · · + xn
1X
=
xk
n
n
g := (x1 x2 . . . xn )n =
n
Y
(arithmetisches Mittel oder Mittelwert)
k=1
!1
n
(geometrisches Mittel)
xk
k=1
h :=
1
x1
r
s :=
n
+ ··· +
1
xn
= Pn
n
(harmonisches Mittel)
1
k=1 xk
1 2
x1 + · · · + x2n =
n
n
1X 2
xk
n
Die Youngsche Ungleichung: Es gilt |ab| ≤
!1
2
(quadratisches Mittel)
k=1
|a|p |b|q
+
für alle a, b ∈ C und für alle reellen Exponenten
p
q
p und q mit p, q > 1 und p1 + 1q = 1.
Im Spezialfall p = q = 2 geht die Youngsche Ungleichung in die binomische Ungleichung über.
n
n
Y
X
|xk |pk
Ist n = 2, 3, . . . , dann gilt die allgemeine Youngsche Ungleichung xk ≤
für alle xk ∈ C und
pk
k=1
k=1
P
alle reellen Exponenten pk > 1 mit nk=1 p1k = 1.
n
n
n
X
X
1
1 X
2 2
2 2
Die Schwarzsche Ungleichung: yk xk ≤
|xk |
|yk |
für alle xk , yk ∈ C.
k=1
k=1
k=1
