Zusammenfassung Mathematik Biologie 1./2. Semester ETH Zürich

Zusammenfassung Mathematik Biologie 1./2.
Semester ETH Zürich
Anic Ostertag
18. Februar 2009
Zusammenfassung
Das vorliegende Dokument ist eine Zusammenfassung des Stoffes der Mathematik Vorlesungen des ersten und zweiten Semesters Biologie an der ETH
Zürich. Als Basis diente Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1-3 von Lothar Papula.
Satz: TEX Live LATEX2e
Graphiken: XFig, Openoffice.org Draw
Graphen: Gnuplot
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionen
1.1 Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) . . . . . . .
1.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Beziehungen zwischen Trigonometrischenfunktionen .
1.5 Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Eigenschaften der Logarithmusfunktionen . . . . . .
1.8 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Differentialrechnung
2.1 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . .
2.2 L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ableitungen elementarer Funktionen . .
2.4 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . .
2.5 Tangente und Normale . . . . . . . . . .
2.6 Linearisierung einer Funktion . . . . . .
2.7 Geometrische Deutung der 1. Ableitung
2.8 Geometrische Deutung der 2. Ableitung
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3 Kurvendiskussion
4 Integralrechnungen
4.1 Grund- oder Stammintegrale . . . . . . . . . . . .
4.2 Integrale berechnen mit Stammfunktion . . . . . .
4.3 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Integration durch Substitution . . . . . . .
4.4.2 Integralsubstitutionen . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . .
4.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Anwendung der Integralrechnung . . . . . . . . . .
4.6.1 Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse
4.6.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven . . . .
4.6.3 Rotationsvolumne . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
2
5 Potenzreihenentwicklung
28
5.1 Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen . . . . . . . . 29
5.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3.1 Geometrische Deutung des Konvergenzbereiches und
-radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Komplexe Zahlen
6.1 Darstellungsformen komplexer Zahlen . . . . .
6.2 Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . . . .
6.2.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . .
6.2.2 Multiplikation und Division . . . . . . .
6.2.3 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Radizieren . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Eigenschaften der Menge der komplexen Zahlen
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35
35
36
7 Matrizen
36
7.1 Rechenoperationen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2.1 Determinante 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2.2 Determinanten 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2.3 Determinanten höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . 41
7.2.4 Elementare Umformungen einer Determinanten . . . . 42
7.2.5 Praktische Berechnung einer n-reihigen Determinante
(n > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3.1 Elementare Umformungen einer Matrix . . . . . . . . 44
8 Lineare Gleichungssysteme
8.1 Lösungsmenge eines linearen (m, n)-Systems . .
8.2 Lösen eines linearen Gleichungssystem mit dem
Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren . . . . .
8.3.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . .
44
. . . . . . . . 45
Gauss’schen
. . . . . . . . 45
. . . . . . . . 46
. . . . . . . . 47
9 Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen Matrix
47
10 Differential und Integral mit mehreren
10.1 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . .
10.1.1 1. Ordnung . . . . . . . . . . .
10.1.2 Höhere Ordnung . . . . . . . .
10.1.3 Kettenregel . . . . . . . . . . .
48
49
49
50
51
11 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Variablen
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53
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
3
12 Doppelintegrale (Flächenintegrale)
57
13 Dreifachintegrale (Volumenintegrale)
59
14 Vektoralgebra
14.1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . .
14.2 Vektorrechnung in der Ebene (2D) . . . .
14.2.1 Darstellung der Vektoroperationen
14.3 Vektorrechnung im 3D-Raum . . . . . . .
14.3.1 Darstellung der Vektoroperationen
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5
7
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9
11
12
13
14
15
17
31
32
33
33
35
39
41
45
46
49
50
61
62
62
Eigenschaften von Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . .
8
9
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Graph einer Polynomfunktion . . . . . . .
Rechtwinkliges Dreieck und Einheitskreis .
Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graph von Sinus und Cosinus . . . . . . .
Graph von Tangens und Cotangens . . . .
Graph von Arcsin und Arccos Funktionen
Graph von Arctan . . . . . . . . . . . . .
Graph einer Exponentialfunktion . . . . .
Graph der e-Funktion . . . . . . . . . . .
Graph von Logarithmusfunktionen . . . .
Graph der Hyperbelfunktionen . . . . . .
Konvergenzkreis . . . . . . . . . . . . . . .
Die Gaussche Zahlenebene . . . . . . . . .
Konjugiert komplexe Zahl . . . . . . . . .
Trigonometrische Form komplexer Zahlen
Addition komplexer Zahlen . . . . . . . .
Schematische Darstellung des Falkschema
Berechnung nach Sarrus . . . . . . . . . .
Lösungsmenge (m, n)-Systeme . . . . . . .
Lösungsmenge (n, n)-Systeme . . . . . . .
Funktionen mit mehreren Variablen . . . .
Partielle Ableitung höherer Ordnung . . .
Vektor Addition . . . . . . . . . . . . . . .
Vektor Subtraktion . . . . . . . . . . . . .
Komponentendarstellung von Vektoren . .
Tabellenverzeichnis
1
2
TABELLENVERZEICHNIS
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Eigenschaften von Arcsin und Arccos . . . . . . . .
Eigenschaften von Arctan und Arccot . . . . . . .
Eigenschaften von Exponentialfunktionen . . . . .
Eigenschaften der Logarithmusfunktion . . . . . . .
Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion
Eigenschaften von Hyperbelfunktionen . . . . . . .
Eigenschaften von Areafunktionen . . . . . . . . .
Ableitungen elementarer Funktionen . . . . . . . .
Integralsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema zur Bestimmung des Vorzeichens . . . . . .
4
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11
12
13
16
16
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18
19
26
42
1 FUNKTIONEN
1
1.1
5
Funktionen
Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen)
y = mx + b,
x y
+ =1
a
b
m = tan α
(siehe Abbildung 1)
y
f(x)
b
a
Abbildung 1: Graph einer trivialen Polynomfunktion
Produktform einer Parabel
y = ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
x1 , x2 = Scheitelpunkt mit x-Achse (reelle Nullstellen)
Abspaltung eines Linearfaktors
Nullstelle
z }| {
f (x) = (x − x1 ) ·f1 (x)
Nullstellen Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.
Zerlegung in Linearfaktoren
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
= an (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn )
x
1 FUNKTIONEN
6
Nullstellen-Berechnung mittels Hornerschema
a3
x0
a3 %
|{z}
b2
a2
a3 x0
a2 + a3 x0 %
| {z }
b1
a1
(a2 + a3 x0 )x0
a1 + a2 x0 + a3 x20 %
|
{z
}
b0
a0
(a1 + a2 x0 + a3 x20 )x0
a0 + a1 x0 + a2 x20 + a3 x30 · · ·
|
{z
}
f (x0 )
Beispiel: y = 3x3 + 18x2 + 9x − 30; Nullstelle x1 = −5
3
18
-15
3
x1 = −5
3
1.2
9
-15
-6
f1 (x) = 3x2 + 3x − 6
N S1,2 = 1, −2
y = 3(x + 5)(x − 1)(x + 2)
30
30
0
Gebrochenrationale Funktionen
y=
Nullstelle x0
Polstelle x0
g(x)
h(x)
g(x0 ) = 0 ∧ h(x0 ) 6= 0
h(x0 ) = 0 ∧ g(x0 ) 6= 0
Bestimmung von Nullstelle und Pol:
1. Zerlegung von g und h in Linearfaktoren (kürzen)
2. Linearfaktoren Zähler = Nullstelle; Linearfaktoren Nenner = Pole
Asymptote
1. unechtgebrochenrationale Funktion
Polynomdivision f (x) =
ganzrational
z}|{
p(x)
+
r(x)
|{z}
echt gebrochenrational
2. für x → ±∞
1.3
r(x) → 0
p(x) = Asymptote im Unendlichen
Potenz- und Wurzelfunktionen
Potenzfunktionen
y = f (x) = xn
D∈R
√
f −1 (x) = n x
(n ∈ N∗ );
f (−x)
f (x) n = gerade
−f (x) n = ungerade
1 FUNKTIONEN
7
Wurzelfunktion
√
m
y = f (x) = x n = n xm
a
y = xa = eln x = ea ln x
1.4
(x > 0, m ∈ Z, n ∈ N∗ )
Trigonometrische Funktionen
v
P
1
sin α
c
α
cos α
u
a
α
b
(a) Rechtwinkliges Dreieck
(b) Einheitskreis
Abbildung 2: Rechtwinkliges Dreieck und Einheitskreis
a : Gegenkathete
b : Ankathete
c : Hypothenuse
a
c
b
cos α =
c
a
tan α = =
b
sin α =
bezüglich α
cot α =
b
=
a
Bogenlänge
Bogenmass x
v
r
α
Bogenlänge
b
u
Abbildung 3: Bogenlänge
x = rb
x
2π
α = 360◦ =
π
180◦
Umrechnung
x=
α=
π
180◦◦ α
180
π x
a
c
b
c
b
c
a
c
=
sin α
cos α
=
cos α
sin α
1 FUNKTIONEN
1.4.1
8
Sinus und Cosinus
1
sin(x)
cos(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-6
-4
-2
0
2
4
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
Abbildung 4: Graph von Sinus und Cosinus
k∈Z
D
W
Periode
Symmetrie
Nullstelle
rel. Maxima
rel. Minima
y = sin x
−∞ < x < ∞ (R)
−1 ≤ y ≤ 1 ([−1, 1])
2π
ungerade
xk = kπ
xk = π2 + k2π
xk = 23 π + k2π
y = cos x
−∞ < x < ∞ (R)
−1 ≤ y ≤ 1 ([−1, 1])
2π
gerade
xk = π2 + kπ
xk = k2π
xk = π + k2π
Tabelle 1: Eigenschaften von Sinus und Cosinus
6
1 FUNKTIONEN
1.4.2
9
Tangens und Cotangens
tan(x)
cot(x)
4
2
0
-6
-4
-2
0
2
4
-2
-4
Abbildung 5: Graph von Tangens und Cotangens
k∈Z
D
W
Periode
Symmetrie
Nullstellen
Pole
Senkrechte Asymptoten
y = tan x
R \ {x|x = (2k + 1) π2 }
−∞ < y < ∞ (R)
π
ungerade
xk = kπ
xk = π2 + kπ
x = π2 + kπ
y = cot x
R \ {x|x = kπ}
−∞ < y < ∞ (R)
π
ungerade
xk = π2 + kπ
xk = kπ
x = kπ
Tabelle 2: Eigenschaften von Tangens und Cotangens
1.4.3
Beziehungen zwischen Trigonometrischenfunktionen
cos x = sin x + π2 tan x · cot x = 1 cos12 x = 1 + tan2 x
1
sin x = cos x − π2
cot x = tan1 x
= 1 + cot2 x
sin2 x
(sin x)2 + (cos x)2 = sin2 x + cos2 x = 1 Pythagoras
6
1 FUNKTIONEN
10
Additionstheoreme
sin(x1 ± x2 )
= sin x1 · cos x2 ± cos x1 · sin x2
cos(x1 ± x2 )
= cos x1 · cos x2 ± sin x1 · sin x2
tan x1 ± tan x2
=
1 ± tan x1 · tan x2
=2 sin x · cos x
tan(x1 ± x2 )
sin(2x)
cos x
= cos2 x − sin2 x
1
= [1 − cos(2x)]
2
1
= [1 + cos(2x)]
2
α+β
α−β
=2 sin
cos
2
2
α+β
α−β
=2 cos
sin
2
2
α+β
α−β
=2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
= − 2 sin
sin
2
2
1
= [cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
= [cos(α − β) + cos(α + β)]
2
1
= [sin(α − β) + sin(α + β)]
2
p
= 1 − sin2 x
cos2 x
=1 − sin2 x
cos(2x)
sin2 x
cos2 x
sin α + sin β
sin α − sin β
cos α + cos β
cos α − cos β
sin α sin β
cos α cos β
sin α cos β
1 FUNKTIONEN
1.5
11
Arcusfunktionen
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
3.5
asin(x)
acos(x)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
-0.5
-1
-1.5
-2
Abbildung 6: Graph von Arcsin und Arccos Funktionen
D
W
Nullstellen
Symmetrie
x=
D
W
Nullstellen
x=
y = sin x
− π2 ≤ x ≤ π2
−1 ≤ x ≤ 1
x0 = 0
ungerade
arcsin(sin x), |x| ≤ π2
y = cos x
0≤x≤π
−1 ≤ x ≤ 1
x0 = π2
arccos(cos x), x ∈ [0, π]
y = arcsin x
−1 ≤ x ≤ 1
− π2 ≤ x ≤ π2
x0 = 0
ungerade
sin(arcsin x), |x| ≤ 1
y = arccos x
−1 ≤ x ≤ 1
0≤x≤π
x0 = 1
cos(arccos x), x ∈ [−1, 1]
Tabelle 3: Eigenschaften von Arcsin und Arccos
1
1 FUNKTIONEN
12
3
atan(x)
2
1
0
-4
-2
0
2
4
-1
-2
-3
Abbildung 7: Graph von Arctan
D
W
Nullstellen
Symmetrie
Asymptoten
x=
D
W
Nullstellen
Asymptoten
x=
y = tan x
− π2 ≤ x ≤ π2
−∞ < x < ∞
x0 = 0
ungerade
x = ± π2
arctan(tan x), |x| < π2
y = cot x
0<x<π
−∞ < y < ∞
x0 = π2
x = 0, x = π
arccot (cot x), 0 < x < π
y = arctan x
−∞ < x < ∞
− π2 ≤ x ≤ π2
x0 = 0
ungerade
y = ± π2
tan(arctan x), x ∈ R
y = arccot x
−∞ < x < ∞
0<y<π
keine
y = 0, y = π
cot(arccot x), x ∈ R
Tabelle 4: Eigenschaften von Arctan und Arccot
1 FUNKTIONEN
1.6
13
Exponentialfunktionen
Rechenregeln für Potenzen
am · an = am+n
am
= am−n
an
(am )n = am·n
aan = an+1
1
a−n = n
a
a0 = 1
an bn = (ab)n
an a n
=
bn
b
n
1 =1
a1 = a
0n = 0, n > 0
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
y = ax , a > 0 ∧ a 6= 1
y
ax (0<a<1)
ax (a>0)
x
Abbildung 8: Graph einer Exponentialfunktion
D
W
Asymptote
Nullstellen
Extrema
y = ax , 0 < a < 1
−∞ < x < ∞
0<y<∞
y = 0 (x → ∞)
keine
keine
y = ax , a > 1
−∞ < x < ∞
0<y<∞
y = 0 (x → −∞)
keine
keine
Tabelle 5: Eigenschaften von Exponentialfunktionen
1 FUNKTIONEN
14
x
1
y=e ; y=
= e−x
e
x
5
exp(-x)
exp(x)
4
3
2
1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
Abbildung 9: Graph der e-Funktion
1.7
Logarithmusfunktionen
y = ax
x = f −1 (y) = loga y (a > 0 ∧ a 6= 1)
Grundbegriffe
r = ax (r > 0, a > 0 ∧ a 6= 1)
x = loga r
Rechenregeln
loga (u · v) = loga u + loga v
u
= loga u − loga v
loga
v
loga (un ) = n · loga u
2
3
4
1 FUNKTIONEN
15
1
= − loga v
loga
v
Basiswechselsatz:
loga r
1
logb r =
· loga r
=
loga b
loga b
lg r
lg r
ln r =
=
= 2.3026 · lg r
lg e
0.4343
ln r
ln r
=
= 0.4343 · ln r
lg r =
ln 10
2.3026
Spezielle
loge r ≡ ln r
log10 r ≡ lg r
1.7.1
Eigenschaften der Logarithmusfunktionen
ln(x)
log0.5(x)
4
2
0
0
0.5
1
1.5
-2
-4
Abbildung 10: Graph von Logarithmusfunktionen
Eigenschaften siehe Tabellen 6 und 7 auf der nächsten Seite.
1.8
Hyperbel- und Areafunktionen
Hyperbelfunktionen
y = sinh x =
1 x
e − e−x
2
2
1 FUNKTIONEN
16
D
W
Nullstellen
Asymptoten
x=
y = ax
R
R+
keine
y=0
loga ax , x ∈ R
y = loga x
R+
R
x0 = 1
x=0
log
x , x ∈ R+
a
a
Tabelle 6: Eigenschaften der Logarithmusfunktion
D
W
x=
y = ex
R
R+
ln exp x, x ∈ R
y = ln x
R+
R
exp ln x, x ∈ R+
Tabelle 7: Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion
1 x
e + e−x
2
ex − e−x
y = tanh x = x
e + e−x
ex + e−x
y = coth x = x
e − e−x
y = cosh x =
Areafunktionen
p
y = arsinh x = ln x + x2 + 1 ,
p
y = arcosh x = ln x + x2 − 1 ,
1
1+x
y = artanh x = ln
,
2
1−x
x+1
1
y = arcoth x = ln
,
2
x−1
x∈R
x≥1
|x| < 1
|x| > 1
Wichtige Beziehungen zwischen hyperbolischen Funktionen
sinh x
cosh x
cosh x
1
coth x =
=
sinh x
tanh x
tanh x =
Additionstheoreme
sinh(x1 ± x2 ) = sinh x1 · cosh x2 ± cosh x1 · sinh x2
cosh(x1 ± x2 ) = cosh x1 · cosh x2 ± sinh x1 · sinh x2
tanh x1 ± tanh x2
tanh(x1 ± x2 ) =
1 ± tanh x1 · tanh x2
1 FUNKTIONEN
17
sinh(x)
cosh(x)
tanh(x)
coth(x)
2
1
0
-2
-1
0
1
-1
-2
Abbildung 11: Graph der Hyperbelfunktionen
cosh2 x − sinh2 x = 1
sinh(2x) = 2 sinh x · cosh x
cosh(2x) = sinh2 x + cosh2 x
ex = cosh x + sinh x
e−x = cosh x − sinh x
2
1 FUNKTIONEN
D
W
Symmetrie
Nullstellen
Extrema
Asymptoten
D
W
Nullstellen
Symmetrie
Pole
Asymptoten
18
y = sinh x
R
R
ungerade
x0 = 0
keine
y = 12 ex (x → ∞)
y = tanh x
R
] − 1, 1[
x0 = 0
ungerade
keine
y = 1 (x → ∞)
y = −1 (x → −∞)
y = cosh x
R
R
gerade
keine
x0 = 0 (Min.)
y = 12 ex (x → ∞)
y = coth x
R \ {0}
{x||x| > 1}
keine
ungerade
x0 = 0
x = 0 (Polgerade)
y = 1 (x → ∞)
y = −1 (x → −∞)
Tabelle 8: Eigenschaften von Hyperbelfunktionen
D
W
Nullstelle
Symmetrie
D
W
Nullstellen
Symmetrie
Pole
Asymptoten
y = arsinh x
R
R
x0 = 0
ungerade
y = artanh x
] − 1, 1[
R
x0 = 0
ungerade
x1,2 = ±1
x = ±1 (Polgeraden)
y = arcosh x
[1, ∞[
[0, ∞[
x0 = 1
keine
y = arcoth x
{x||x| > 1}
R \ {0}
keine
ungerade
x1,2 = ±1
x = ±1 Polgeraden
y = 0 (x → ±∞)
Tabelle 9: Eigenschaften von Areafunktionen
2 DIFFERENTIALRECHNUNG
2
19
Differentialrechnung
2.1
Differenzierbarkeit
∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= lim
= tan α = m
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
lim
(Linkseitiger Grenzwert = rechtseitiger Grenzwert ⇒ ∃ Grenzwert)
2.2
L’Hospital
∞ 0
0
Für unbestimmte Ausdrücke der Form 00 , ∞
∞ , 0 · ∞, ∞ − ∞, 1 , 0 , ∞ . Beispiel:
0 ∞
0, ∞:
f (x)
f 0 (x)
= x→x
lim 0
0 g(x)
0 g (x)
x→±∞
x→±∞
lim
x→x
Muss zum Teil mehrmals angewendet werden.
2.3
Ableitungen elementarer Funktionen
f (x)
f 0 (x)
c = const
0
n
n−1
x ,n ∈ R
n·x
(Pot.regel)
√
1
√
x
2 x
sin x
cos x
cos x
− sin x
− sin x
− cos x
− cos x
sin x
1
tan x
= 1 + tan2 x
cos2 x
1
cot x
− sin2 x = −(1 + cot2 x)
√ 1
arcsin x
1−x2
1
arccos x
− √1−x
2
1
arctan x
2
1+x
1
arccot x
− 1+x
2
√ 1
arsinh x
x2 +1
1
artanh x
1−x2
f (x)
f 0 (x)
ex
ex
ax
(ln a) · ax
1
ln x
x
1
loga x
(ln a)x
ecx
cecx
x
e−x
− ee2x
sin(2x)
(sin u)0 = (cos u) · 2 = 2 cos(2x)
sin2 x − cos2 x
4 sin x cos x
sinh x
cosh x
tanh x
coth x
arcosh x
arcoth x
cosh x
sinh x
1
= 1 − tanh2 x
cosh2 x
1
− sinh2 x = 1 − coth2 x
Tabelle 10: Ableitungen elementarer Funktionen
√ 1
x2 −1
1
1−x2
2 DIFFERENTIALRECHNUNG
2.4
20
Ableitungsregeln
Faktorregel
y 0 = c · f 0 (x) (c: const.)
y = c · f (x)
Summenregel
y 0 = f 0 (x) + g 0 (x) + h0 (x) + · · ·
y = f (x) + g(x) + h(x) + · · ·
Produktregel
y 0 = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
y = u(x) · v(x)
y 0 = u0 (x)v(x)w(x) + u(x)v 0 (x)w(x)
y = u(x) · v(x) · w(x)
+ u(x)v(x)w0 (x)
Quotientenregel
y=
u(x)
v(x)
y0 =
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
v 2 (x)
Kettenregel
y 0 = v 0 (u) · u0 (x) = f 0 (x)
y = v(u(x)) = f (x)
u(x): innere Funktion. v(u): äussere Funktion.
Log. Ableitung
v(x)
y = f (x) = [u(x)]
, u(x) > 0
y
0
1. beide Seiten logarithmieren
2. Kettenregel anwenden
Potenz- und Kettenregel
y = [f (x)]n
y 0 = n[f (x)]n−1 · f 0 (x)
Umkehrfunktion ableiten
y = f (x), x = g(y) = f −1 (x)
g 0 (y) =
1
f 0 (x)
, f 0 (x) 6= 0
1. in f 0 (x) x durch g(y) ersetzen
2. x und y miteinander vertauschen
2.5
Tangente und Normale
P (x0 , y0 ) y = f (x)
T =
y − y0
y − y0
1
= f 0 (x0 ), N =
=− 0
x − x0
x − x0
f (x0 )
3 KURVENDISKUSSION
2.6
21
Linearisierung einer Funktion
In der Umgebung des Kurvenpunkts P (x0 , y0 ) kann die nicht-lineare Funktion y = f (x) näherungsweise durch die lineare Funktion (Kurventangente)
y − y0 = f 0 (x0 ) · (x − x0 ) oder ∆y = f 0 (x0 ) · ∆x ersetzt werden.
2.7
Geometrische Deutung der 1. Ableitung
y 0 = f 0 (x)
Steigung der Kurventangente
Monotonieverhalten:
f 0 (x0 ) > 0 streng monoton wachsend
f 0 (x0 ) < 0 streng monoton fallend
2.8
Geometrische Deutung der 2. Ableitung
y 00 = f 00 (x) = (f 0 (x))0
Monotonieverhalten von f 0 (x)
halten der Funktionskurve:
Krümmungsver-
f 00 (x0 ) > 0 Linkskrümmung
f 00 (x0 ) < 0 Rechtskrümmung
3
Kurvendiskussion
• D (Definitionsbereich), W (Wertebereich)
• Definitionslücken: Nenner = 0
• Symmetrie:
f (−x) = f (x) ⇒ gerade (y-Achse=Spiegelachse)
f (−x) = −f (x) ⇒ ungerade (punktsymmetrisch)
• Nullstellen: Zähler = 0, Nenner 6= 0
Hornerschema: Beispiel y = 2x4 + 12x3 − 44x + 30. x0 raten
2 12 0 −44
30
x1 = 1
2 14
14 −30
3
2
2 14 14 −30
0 ⇒ 2x + 14x + 14x + 30
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
bis x2 + · · ·
Quadratische Gleichungen
D = b2 − 4ac
3 KURVENDISKUSSION
22
√
−b + D
D > 0 : x1 =
2a√
−b − D
x2 =
2a
−b
D = 0 : x1 = x2 =
2a√
−b + i −D
D < 0 : x1 =
,
√ 2a
−b − i −D
2a
• Pole, senkrechte Asymptoten (Polgeraden): Nenner = 0, Zähler 6= 0
• Ableitungen: in der Regel f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x) (siehe Abschnitt 2 auf
Seite 19)
• relative Extrema:
relatives Minimum
f (x0 ) < f (x) (Tiefpunkt)
relatives Maximum
f (x0 ) > f (x) (Hochpunkt) x0 6= x
y = f (x) besitzt an der Stelle x0 ein relatives Extrema, wenn
00
f (x0 ) > 0 ⇒ rel. Min.
0
00
f (x0 ) = 0 ∧ f (x0 ) 6= 0
f 00 (x0 ) < 0 ⇒ rel. Max.
• Wendepunkte: y = f (x0 ) besitzt an der Stelle x0 Wendepunkt, wenn
f 00 (x0 ) = 0 ∧ f 000 (x0 ) 6= 0
Sattel- oder Terassenpunkt, wenn
f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) = 0 ∧ f 000 (x0 ) 6= 0
• Verhalten der Funktion für x → ±∞, Asymptoten:
m<n
lim f (x) = yas = 0
x→∞
m=n
g(x)/xm
= yas
x→∞ h(x)/xn
lim
m>n
Polynomdivision
• Zeichnung
4 INTEGRALRECHNUNGEN
4
23
Integralrechnungen
f (x)
Integration
−→
mit F 0 (x) = f (x)
F (x) + C
F (x) Stammfunktion zu f (x) wenn F 0 (x) = f (x) gilt.
lim
n→∞
n
X
Z
b
f (x) dx = A
f (xk )∆xk =
a
k=1
vorhanden, wenn f (x) in a ≤ x ≤ b stetig ist. Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung
Z x
I(x) =
f (x) dx = F (x) + C1
a
Z
4.1
f 0 (x) dx = f (x) + C
Grund- oder Stammintegrale
Z
Z
1
xn+1 + C (n 6= 1)
n+1
xn dx
=
ex dx
= ex + C
sin x dx
= − cos x + C
Z
Z
1
dx
cos2 x
Z
1
√
dx
1 − x2
Z
sinh x dx
Z
1
2 dx
cosh
x
Z
1
√
dx
2+1
x
Z
1
√
dx
2
x −1
Z
1
dx
1 − x2
Z
1
dx
x
Z
ax dx
= tan x + C
arcsin x + C1
=
− arccos x + C2
= cosh x + C
= tanh +C
p
= arsinh x + C = ln x + x2 + 1 + C
p
= arcosh |x| + C = ln x + x2 − 1 + C (|x| > 1)

 artanh x + C1 = 1 ln 1+x + C1 , |x| < 1
2
1−x
=
 arcoth x + C2 = 1 ln x+1 + C2 , |x| > 1
2
x−1
= ln |x| + C
=
ax
+C
ln a
4 INTEGRALRECHNUNGEN
24
Z
cos x dx
= sin x + C
Z
1
dx
sin2 x
Z
1
dx
1 + x2
Z
cosh x dx
Z
1
2 dx
Z sinh x
1
dx
ax + b
Z
ecx dx
Z
acx dx
4.2
= sinh x + C
= − coth x + C
1
ln |ax + b|
a
1
= ecx
c
1 cx
a
=
c ln a
=
Integrale berechnen mit Stammfunktion
b
Z
a
4.3
= − cot x + C
arctan x + C1
=
−arccot x + C2
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)(= F (x)|ba )
Integrationsregeln
Faktorregel
Z
b
Z
C · f (x) dx = C ·
b
f (x) dx (C : Konstante)
a
a
Summenregel
Z b
Z b
[f1 (x) + · · · + fn (x)] dx =
f1 (x) dx + · · · +
fn (x) dx
a
a
a
Z
Z
Z
[f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx
Z
b
Endliche Summen dürfen gliedweise integriert werden.
Vertauschregel
Z
a
Z
f (x) dx = −
b
b
f (x) dx
a
Vertauschen der Integrationsgrenzen bringt einen Vorzeichenwechsel
mit sich.
4 INTEGRALRECHNUNGEN
25
a=b
Z
b
f (x) dx = 0
a
Zerlegung des Integrationsintervalls in Teilintervalle
b
Z
c
Z
f (x) dx
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
a
b
Z
Monotonie
Z
f (x) ≥ g(x) in [a, b]
b
⇒
Z
a
Z
f (x) ≥ 0 in [a, b]
b
f (x) dx ≥
⇒
g(x) dx (a ≤ c ≤ b)
a
b
(f x) dx ≥ 0
a
4.4
4.4.1
Integrationsmethoden
Integration durch Substitution
1.
u = g(x),
du
du
= g 0 (x), dx = 0
dx
g (x)
oder
dx
= h0 (u), dx = h0 (u) du
du
Integrationsgrenzen durch u ausdrücken.
x = h(u),
2.
Z
Z
f (x) dx =
3.
4.
Z
Z
ϕ(u) du
ϕ(u) du = Φ(u), (Φ0 (u) = ϕ(u))
f (x) dx = Φ(u) = Φ(g(x)) = F (x), (F 0 (x) = f (x))
4 INTEGRALRECHNUNGEN
4.4.2
26
Integralsubstitutionen
Typ
R
f (ax + b) dx
Substition
u = ax + b
dx = du
a
u = f (x)
dx = f 0du
(x)
u = f (x)
dx = f 0du
(x)
R
f (x) · f 0 (x) dx
R
f 0 (x)
f (x)
R
√
f (x; a2 − x2 ) dx
R
√
f (x; x2 + a2 ) dx
R
√
f (x; x2 − a2 ) dx
dx
x = a · sin u
dx = a · cos u du
√
a2 − x2 = a · cos u
x = a · sinh u
dx = a · cosh u du
√
x2 + a2 = a · cosh u
x = a · cosh u
dx = a · sinh u du
√
x2 − a2 = a · sinh u
Beispiel
—
R
x · cos x dx (u = sin x)
R sin
ln x
(u = ln x)
x dx
R 2x−3
dx
R x2e−3x+1
x
ex +5 dx
R√
2
2
r − x dx (x = r · sin u)
R √
2
2
x
R xr − x dx (x = r · sin u)
√
dx (x = 2 · sin u)
4−x2
R√
2
R xdx + 1 dx (x = sinh)
√
(x = 2 · sinh u)
x2 +4
R√
2
R xx − 9 dx (x = 3 · cosh u)
√
dx (x = 5 · cosh u)
x2 −25
Tabelle 11: Integralsubstitutionen
4.4.3
Partielle Integration
Z
Z
f (x) dx =
Z
Z
b
Z
f (x) dx =
a
0
u(x) · v (x) dx = u(x) · v(x) −
f (x) dx =
oder
Z
u(x) · v 0 (x) dx
b
Z
u0 (x) · v(x) dx
u(x) · v 0 (x) dx = [u(x) · v(x)]ba −
a
Z
b
u0 (x) · v(x) dx
a
Manchmal mehrmals anwenden oder mit anderen Methoden kombinieren
(z.B. Substitution). Voraussetzungen:
• von v 0 (x) ohne Probleme v(x) bestimmbar.
R
• u0 (x) · v(x) dx ist elementar lösbar. Idealfall: Stammintegral
4.4.4
Partialbruchzerlegung
Unechtgebrochene rationale Funktion zuerst durch Polynomdivision in ganzZ(x)
rationalen Teil p(x) und echtgebrochenen Teil r(x) = N
(x) = f (x) zerlegen.
4 INTEGRALRECHNUNGEN
27
1. Nullstellen bestimmen
2. x1 : Einfache Nullstelle
x1 : Doppelte Nullstelle
..
.
x1 : r-fache Nullstelle
3. f (x) =
Z(x)
N (x)
=
P
A
x−x1
A1
x−x1
A1
x−x1
+
+
A2
(x−x1 )2
A2
(x−x1 )2
+ ··· +
aller Partialbrüche (=
4. gemeinsamer Nenner finden
lösen.
P
Ar
(x−x1 )r
aller Nullstellen)
1 Bruch. Lineares Gleichungssystem
5. Integration der einzelnen Partialbrüche
4.5
Uneigentliche Integrale
∞
Z
f (x) dx
a
Berechnung:
Rλ
1. I(λ) = a f (x) dx
Rλ
R∞
2. a f (x) dx = limλ→∞ I(λ) = limλ→∞ a f (x) dx
Wenn ein Grenzwert ∈ Rvorhanden ist, ist das uneigentliche Integral konvergent, sonst divergent.
Z
b
f (x) dx
−∞
Berechnung
Rb
1. f (x) dx
Rb
2. lim→−∞ f (x) dx
Z
∞
f (x) dx
−∞
Berechnung
Rλ
1. f (x) dx
Rλ
2. lim λ→∞ f (x) dx
→−∞
5 POTENZREIHENENTWICKLUNG
4.6
28
Anwendung der Integralrechnung
4.6.1
Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse
Z b
Z b
f (x) dx
|f (x) dx = A=
a
a
Eventuell mit Hilfe der Nullstellen Teilflächen bilden.
4.6.2
Flächeninhalt zwischen zwei Kurven
Z b
Z b
[fo (x) − fu (x)] dx
A=
(yo − yu ) dx =
a
a
yo = fo (x) Gleichung der oberen Randkurve. yu = fu (x) Gleichung der
unteren Randkurve. Voraussetzung: fo (x) ≥ fu (x) im Intervall a ≤ x ≤ b.
Wenn die Kurven sich schneiden: A = A1 + A2 .
4.6.3
Rotationsvolumne
y = f (x), a ≤ x ≤ b, Rotation um die x-Achse
b
Z
Vx = π
b
Z
2
f 2 (x) dx
y dx = π
a
a
x = g(y), c ≤ y ≤ d, Rotation um die y-Achse
Z
Vy = π
d
x2 dy = π
c
Z
d
g 2 (y) dy
c
Falls f (x) existiert und g(y) gebraucht wird, nach x auflösen
4.6.4
Bogenlänge einer ebenen Kurve
y = f (x), a ≤ x ≤ b ⇒
Z bp
Z bp
0
2
s=
1 + (y ) dx =
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
5
a
Potenzreihenentwicklung
Unendliche Reihe
Sn =
∞
X
n=1
an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·
x = g(y).
5 POTENZREIHENENTWICKLUNG
29
Harmonische Reihe
∞
X
1
1 1
1
= 1 + + + ··· + + ···
n
2
3
n
n
(divergent)
Geometrische Reihe
∞
X
aq n−1 = a + aq + aq 2 + · · · + aq n−1 + · · ·
n=1
(konvergent)
5.1
Konvergenz und Divergenz unendlicher Reihen
P∞
n=1 an
ist konvergent wenn Sn =
Pn
k=1 ak
lim Sn = lim
n→∞
sonst ist
5.2
P∞
n=1 an
n→∞
n
X
einen Grenzwert s besitzt:
ak = s
k=1
divergent.
Konvergenzkriterien
Quotientenkriterium
an+1
=q<1
n→∞ an
an+1
lim
=q>1
n→∞ an
an+1
lim
=q=1
n→∞ an
lim
⇒
X
an konvergent
⇒
X
an divergent
⇒anderes Kriterium suchen
Kriterium von Leibniz
P
n+1 · a = a − a + a − · · ·
1. ak alternierend: ∞
(an > 0)
n
1
2
3
n=1 (−1)
P
2. a1 > a2 > a3 > . . . > an > an+1 > . . . ⇒ an konvergent
P
3. limn→∞ an = 0 ⇒
an konvergent
Wurzelkriterium
X
p
n
|an | ≤ q, 0 < q < 1 ⇒
an konvergent
5 POTENZREIHENENTWICKLUNG
5.3
30
Potenzreihe
1. P (x) =
P∞
n=0 an x
n
= a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + · · ·
P
n
2
2. P (x) = ∞
n=0 an (x − x0 ) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + · · · + an (x −
x0 )n + · · ·
x0 : Entwicklungspunkt, wenn x0 = 0 → 1
P
n
Konvergenzbereich Menge aller x-Werte, für die die Potenzreihe ∞
n=0 an x
konvergiert. Geometrisch: Bereich innerhalb des Konvergenzkreises.
P
n
Konvergenzverhalten Zu jeder Potenzreihe ∞
n=0 an x gibt es eine positive Zahl r (=Konvergenzradius) mit folgenden Eigenschaften:
1. Potenzreihe konvergiert im Intervall |x| < r
2. Potenzreihe divergiert für |x| > r
3. keine allgemeingültigen Aussagen an den Randpunkten |x| = r.
Weitere Untersuchungen nötig.
an Konvergenzradius berechnen r = limn→∞ an+1
. Voraussetzung: an 6=
0 und Grenzwert vorhanden.
Eigenschaften
1. konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut
2. darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert
und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen denselben
Konvergenzradius wie die ursprüngliche Potenzreihe
3. Zwei Potenzreihen dürfen im gemeinsamen Konvergenzbereich der
Reihen gliedweise addiert, subtrahiert und multipliziert werden.
Die neuen Potenzreihen konvergieren dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich der beiden Ausgangsreihen.
5.3.1
Geometrische Deutung des Konvergenzbereiches und -radius
Der Konvergenzbereich der Potenzreihe entspricht dem Inneren des Konvergenzkreises (siehe Abbildung 12 auf der nächsten Seite) liegenden Bereich
der Zahlengerade. Die Potenzreihe konvergiert überall im Intervall |x| < r.
Ausserhalb divergiert die Reihe (|x| > r). Das Konvergenzverhalten an den
Randpunkten muss näher untersucht werden.
5.4
Taylor-Reihen
Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe (MacLaurin’sche
Reihe)
∞
f (x) = f (x) + f 0 (0)x +
X f n (0)
f 00 (0) 2
x + ··· =
xn , x 0 = 0
2!
n!
n=0
5 POTENZREIHENENTWICKLUNG
31
y
r = Konvergenzradius
x2 = r
Konvergenzkreis
r
x
r
x1 =−r
Abbildung 12: Konvergenzkreis
Voraussetzung: f (x) muss in x = 0 beliebig oft differnzierbar sein.
Taylor’sche Reihe einer Funktion
∞
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
X f n (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 )2 + · · · =
(x − x0 )n
2!
n!
n=0
x0 ist Entwicklungszentrum oder -punkt.
Näherungspolynome einer Funktion (MacLaurin’sche Polynome)
1. f (x) um x0 = 0 in MacLaurin’sche Reihe entwickelt
2. Durch Abbruch der Reihe nach der n-ten Potenz erhält man dann ein
Polynom fn (x) vom Grad n, das in der Umgebung des Nullpunkts
näherungsweise das Verhalten der Funktion f (x) beschreibt:
fn (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f n (0) n
x + ··· +
x
2!
n!
3. Fehlerabschätzung: Der durch Abbruch der Potenzreihe entstandene
Fehler ist durch das Restglied Rn (x) gegeben. Die Abschätzung: Grössenordnung des grössten Reihengliedes, das nicht in die Näherung miteinbezogen wurde.
Integration durch Potenzreihenentwicklung der Integranden (für
elementar unlösbare Integrale)
1. f (x) wird in MacLaurin’sche oder Taylor’sche Potenzreihe entwickelt.
2. Die Reihe wird dann gliedweise unter Verwendung der Potenzregel integriert.
6 KOMPLEXE ZAHLEN
6
32
Komplexe Zahlen
Im(z)
z = a + bi = P (z)
b
a
Re(z)
Abbildung 13: Die Gaussche Zahlenebene
√
i = −1 imaginäre Einheit. i2 = −1
b i, b 6= 0 imaginäre Zahl. Das Quadrat von b i ist stets eine negative reelle
Zahl.
(b i)2 = b2 i2 = b2 · (−1) = −b2 < 0 (b 6= 0)
z = a + b i komplexe Zahl (Normalform, algebraische oder kartesische Form)
Realteil Re (z) = a
Imaginärteil Im (z) = b
Reelle Zahlen z = a + i · 0 ≡ a
Imaginäre Zahlen z = 0 + b i ≡ b i
Körper der Komplexen Zahlen C = {a + b i|a, b ∈ R}
Gleichheit zweier komplexer Zahlen z1 = a1 + b1 i und z2 = a2 + b2 i
sind gleich, wenn a1 = a2 und b1 = b2 .
Konjugierte komplexe Zahl z = z ∗ = a − b i konjugierte komplexe Zahl
zu z = a + b i. Es ist Re (z) = Re (z) und Im (z) = Im (z), sowie z1 = z2 und
z2 = z1 . Es gilt (z) = z.
z = r[cos(−ϕ) + sin(−ϕ) i] = r(cos(ϕ) − sin(ϕ) i)
Betrag einer komplexen Zahl
p
|z| = a2 + b2 , |z| ≥ 0
√
|z| = z · z
|z|2 = z · · · z
6 KOMPLEXE ZAHLEN
33
Im(z)
z = a + bi
b
Re(z)
−b
z = a − bi
Abbildung 14: Konjugiert komplexe Zahl
6.1
Darstellungsformen komplexer Zahlen
Im(z)
z = a + bi
r=|z|
b
ϕ
a
Re(z)
Abbildung 15: Trigonometrische Form komplexer Zahlen
Algebraische oder kartesische Form
z = a + bi
a: Re (z), b: Im (z)
Trigonometrische Form
z = r(cos(ϕ) + sin(ϕ) i)
6 KOMPLEXE ZAHLEN
34
r: |z|, ϕ: Argument (∠) von z. Polarkoordinaten r und ϕ: r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2φ
Exponentialform
z = r · e iϕ
r: |z|, ϕ: Argument (∠) von z
e iϕ = cos ϕ + sin ϕ i
1 iϕ
cos ϕ =
e + e − iϕ
2
1
sin ϕ =
e iϕ − e − iϕ
2i
Umrechnung Polarform → kartesische Form
z = r(cos ϕ + sin ϕ i) oder z = r · e iϕ
z = (r · cos ϕ) + i(r · sin ϕ)
a = r · cos ϕ, b = r · sin ϕ
| {z } | {z }
a
b
z = a + bi
Umrechung kartesische Form → Polarform
z = a + bi
p
a
r = |z| = a2 + b2 , tan ϕ = (Abhängig vom Quadranten von z)
b
z = r(cos ϕ + i sin ϕ) oder z = r · e iϕ
ϕ=
6.2
6.2.1
Quadrant I
arctan ab
Quadrant II/III
arctan ab + π
Quadrant IV
arctan ab + 2π
Rechenregeln für komplexe Zahlen
Addition und Subtraktion
Nur in kartesischer Form durchführbar
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 )
6.2.2
Multiplikation und Division
z1 · z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 )
= (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 )
z2
z1 · z 2
z1
= z1 ·
=
2
z2
|z2 |
|z2 |2
6 KOMPLEXE ZAHLEN
35
Im(z)
z = z1 + z2
z1
z2
Re(z)
Abbildung 16: Addition komplexer Zahlen
z=
z1
a1 a2 + b1 b2
a1 b1 − a1 b2
=
+i
, z2 6= 0
2
2
z2
a2 + b2
a22 + b22
z1 · z2 = (r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i · sin(ϕ1 + ϕ2 )] = (r1 r2 ) · e i(ϕ1 +ϕ2 )
r1
z1
r1
=
[cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] =
· e i(ϕ1 −ϕ2 )
z2
r2
r2
1
z1
= z1 ·
und Erweiterung mit z2
mit
z2
z2
Geometrische Bedeutung der Multiplikation
1. Streckung um das r-Fache
2. Drehung um ϕ in positivem Drehsinn
6.2.3
Potenzieren
n
z n = r · e iϕ = rn · e inϕ
z n = [r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn [cos(nϕ) + i sin(nϕ)]
Vor Potenzieren in Polarform bringen.
6.2.4
Radizieren
Eine algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt in Cgenau n Lösungen
z n = a = a0 · e i α
mit a ∈ C, a0 > 0 und n ∈ N. Lösungen in C
zk = r(cos ϕk + i sin ϕk ) = r · e iϕk
7 MATRIZEN
36
mit
r=
√
n
a0 ,
ϕk =
α + k · 2π
n
zk liegen in der Gauss’schen Zahlenebene auf dem Mittelpunktskreis mit
√
Radius R = n a0 und bilden die Ecken eines regelmässigen n-Ecks.
6.3
Eigenschaften der Menge der komplexen Zahlen
1. Summe, Differenz, Produkt und Quotient liegen wieder in C. Division
durch 0 nicht erlaubt.
2. Addition und Multiplikation sind kommutativ
z1 + z2 = z2 + z1
z 1 z2 = z2 z 1
3. Addition und Multiplikation sind assoziativ
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3
4. Addition und Multiplikation sind distributiv
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
7
Matrizen
Reelle Matrix
A(m,n) m = #Zeilen,

a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · ·

 ..
..
 .
.

A=
a
a
···
i2
 i1
 ..
..
 .
.
am1 am2 · · ·
n = #Spalten
a1k
a2k
..
.
···
···
aik
..
.
···
amk · · ·

a1n
a2n 

.. 
. 

ain 

.. 
. 
amn
Spezielle Matrizen
quadratische Matrix Matrix n-ter Ordnung: m = n. Beispiel:


a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 
a31 a32 a33
7 MATRIZEN
37
Nullmatrix sämtliche Elemente verschwinden. Beispiel:
0 0 0
0=
0 0 0
Spaltenmatrix A(m,1) :

A(m,1)

a1
 a2 
 
=  .  = Spaltenvektor
 .. 
am
Zeilenmatrix A(1,n) :
an = Zeilenvektor
A(1,n) = a1 a2 · · ·
Transposition einer Matrix In A werden Zeilen und Spalten miteinander vertauscht
AT :
A(m,n)
AT(n,m)
T
AT = A
Beispiel:


1 3
A = 4 2 
0 −8
AT =
Spezielle quadratische Matrizen

a11 a12 · · ·
 a21 a22 · · ·

 ..
..
 .
.
an1 an2 · · ·
1 4 0
3 2 −8

a1n
a2n 

..  = A(n,n)
. 
ann
Hauptdiagonale von links oben nach rechts unten. Nebendiagonale von rechts
oben nach links unten
Diagonalmatrix Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonale sind gleich
0.


a11
0 ···
0
 0
a22 · · ·
0 


 ..
..
.. 
..
 .
.
.
. 
0
···
0
···
ann
7 MATRIZEN
38
Einheitsmatrix Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonale = 0 und
die Elemente der Hauptdiagonale = 1


1 0 ··· 0
0 1 · · · 0

1=E=
 .. .. . .
.. 
. .
. .
0 0 ···
1
Dreiecksmatrix Alle Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen
verschwinden.




a11 0 · · ·
0
a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · ·
 0 a22 · · · a2n 
0 




oder
 ..

 ..
..
..
.. 
.
.
.
.
 .
 .
. ···
.
.
.
. 
an1 an2 · · · ann
0
0 · · · ann
Symmetrische Matrix

1 4 −2
4 5 0
−2 0 8

aik = aki
Bsp:
Schiefsymmetrische Matrix Alle Diagonalelemente = 0


0 4 3
aik = −aki
Bsp: −4 0 −5
−3 5 0
Gleichheit von Matrizen A = (aik ) und B = (bik ) vom gleichen Typ
heissen “gleich” wenn aik = bik . Beispiel:
1 5
1 5
A=
, B=
⇒A=B
0 3
0 3
7.1
Rechenoperationen von Matrizen
Addition und Subtraktion Die Matrizen müssen vom selben Typ sein.
A+B =B+A
A + (B + C) = (A + B) + C
Beispiel:
1 5 −3
5
A=
, B=
4 0 8
−1
1+5 5+1
C =A+B =
4−1 0+4
1 3
4 7
−3 + 3
8+7
=
6 6 0
3 4 15
7 MATRIZEN
39
Multiplikation mit einem Skalar
λ · A = λ · (aik ) = (λ · aik ) = λA
λ · A und A vom gleichen Typ
λ(µA) = (λµ)A
(λ + µ)A = λA + µA
λ(A + B) = λA + λB
Multiplikation von Matrizen Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von
B. Falkschema (siehe Abbildung 17)
B
i−te Zeile
A
A*B
c ik
k−te Spalte
Abbildung 17: Schematische Darstellung des Falkschema
cik ist das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem
k-ten Spaltenvektor von B.
AB 6= BA
A(BC) = (AB)C
A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
(AB)T = B T AT
A1 = 1A = A
7.2
Determinanten
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten
besitzt genau eine Lösung, wenn die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet.
a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 = det A = |A|
D = a21 a22 7 MATRIZEN
7.2.1
40
Determinante 2. Ordnung
a11 a12 a11 a12
A=
det A = a21 a22
a21 a22 Berechnung
a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21
Rechenregeln für Determinanten
det(AB) = det A · det B
1
Inverse: det A−1 =
wenn A−1 existiert
det
A
Transponierte: det AT = det A
det(A + B) 6= det A + det B
Eigenschaften von Determinanten (Regeln für n-reihige Determinanten)
1. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden.
det AT = det A
2. Beim Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten) ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
a21 a22 a11 a12 a11 a12 = a12 a21 − a11 a22 = −(a11 a22 − a12 a21 ) = − a21 a22 3. Werden die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte mit einem rellen
Skalar λ multipliziert, so multipliziert sich die Determinante mit λ.
λa11 λa12 = λ · a11 a12 a21
a21 a22 a22
4. Eine Determinante wird mit einem reellen Skalar λ multipliziert indem
man die Elemente einer beliebigen zeile oder spalte mit λ multipliziert.
5. Besiten die Elemente einer Zeile oder Spalte einen gemeinsamen Faktor
λ, so darf dieser vor die Determinante gezogen werden.
6. Eine Determinante besitzt den Wert Null, wenn sie mindestens eine
der folgenden Bedingungen erfüllt:
7 MATRIZEN
41
(a) Alle Elemente einer Zeile oder Spalte sind Null.
(b) Beide Zeilen oder Spalten stimmen überein.
(c) Zwei Zeilen oder Spalten sind zueinander proportional.
(d) Eine Zeile oder Spalte ist als Linearkombination der übrigen Zeilen oder Spalten darstellbar.
7. Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer
Zeile oder Spalte ein beliebiges Vielfaches der anderen Zeile oder Spalte
Elementweise addiert.
8. det (A · B) = (det A) · (det B)
9. Die Determinante einer n-zeiligen Dreiecksmatrix A besitzt den Wert
det A = a11 a22 · · · ann , dass heisst die Determinante ist das Produkt
der Hauptdiagonalelemente.
7.2.2
Determinanten 3. Ordnung
det A(3,3)
a11 a12 a13 = D = a21 a22 a23 =
a31 a32 a33 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a 23 a21 a22
a 31 a32 a33 a 31 a32
+
+
+
Abbildung 18: Berechnung einer dreireihigen Determinante nach Sarrus
Rechenregeln sinngemäss gleich wie bei Zweireihiger Determinante.
7.2.3
Determinanten höherer Ordnung
Durch Entwickeln nach den Elementen einer Zeile oder Spalte lässt sich die
Ordnung einer Determinante reduzieren. Dazu die Zeile oder Spalte mit den
meisten Nullen wählen.
Die Vorzeichen werden nach dem Schema in Tabelle 12 auf der nächsten
Seite bestimmt.
7 MATRIZEN
42
+
+
..
.
+
..
.
+
+
..
.
···
···
···
..
.
Tabelle 12: Schema zur Bestimmung der Vorzeichen für die Berechnung von
Determinanten höherer Ordnung.
1. Unterdeterminanten bilden. Dazu das Schema in Tabelle 12 verwenden.
a e i m
f j n
b f n
b f j b j n
b f j n = +a · g k o − e · c k o + i · c g o − m · c g k c g k o h l p d h p d h l d l p d h l p 2. Die Unterdeterminanten dritter Ordnung nach der Regel von Sarrus
(siehe Abbildung 18 auf der vorherigen Seite) berechnen. Unterdeterminanten die von der Ordnung > 3 sind, solange entwickeln bis sie
nach Sarrus berechnet werden können.
7.2.4
Elementare Umformungen einer Determinanten
Die elementaren Umformungen einer Determinanten beeinflussen deren Wert
nicht.
1. Ein den Elementen einer Zeile oder Spalte gemeinsamer Faktor darf
vor die Determinante gezogen werden.
2. Zu einer Zeile oder Spalte darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen
Zeile oder Spalte addiert, beziehungsweise subtrahiert werden.
3. Zwei Zeilen oder Spalten dürfen vertauscht werden, wenn gleichzeitig
das Vorzeichen der Determinanten geändert wird.
7.2.5
Praktische Berechnung einer n-reihigen Determinante (n >
3)
1. Mit Hilfe elementarer Umformungen Elemente einer Zeile oder Spalte
bis auf eines auf Null bringen.
2. n-reihige Determinante nach den Elementen dieser Zeile oder Spalte
entwickeln mit dem Resultat: (n − 1)-reihige Unterdeterminante.
3. 1. und 2. auf die (n−1)-reihige Unterdeterminante anwenden (n−2)reihige Unterdeterminante. 1. und 2. solange wiederholen bis eine dreireihige Determinante entsteht. Danach die Regel von Sarrus anwenden.
Tipp: Um in einer Zeile Nullen zu erzeugen, Spalten addieren.
7 MATRIZEN
7.3
43
Ergänzungen
Reguläre Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix mit
• det A 6= 0
regulär
• det A = 0
singulär
Inverse Matrix gilt für eine n-reihige, quadratische Matrix
A·X =X ·A=E
so heisst X die zu A inverse Matrix A−1 .
A ist somit invertierbar (umkehrbar). Daraus folgt das A regulär sein
muss, dass heisst det A 6= 0. Somit gibt es eine Lösung für A−1
A · A−1 = A−1 · A = E
1
A−1 =
· A∗
det A
Orthogonale Matrix Für quadratische, n-reihige Matrizen
A · AT = E
det A = ±1
det A 6= 0
Aort regulär
AT = A−1 für Aort
Rang einer Matrix Rangbestimmung r einer (m, n)-Matrix A für m ≤ n
1. berechnen der m-reihigen Unterdeterminante von A r = m, wenn mindestens eine det 6= 0
2. alle m-reihigen Unterdeterminanten gleich 0; prüfen ob (m − 1)-reihige
Unterdeterminante 6= 0. Ordnung r dieser det = Rang der Matrix A
Rg (A) = r
Eigenschaften des Rangs
m
m≤n
• r≤
n
n<m
• r ≤ n für n-reihige, quadratische Matrizen
– Reguläre A: det A 6= 0, dass heisst r = n
– Singuläre A: det A = 0, dass heisst r < n
• n-reihige Nullmatrix: Rg (0) = 0
8 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
7.3.1
44
Elementare Umformungen einer Matrix
Der Rang einer Matrix A verändert sich nicht, wenn
1. zwei Zeilen oder Spalten miteinander vertauscht werden
2. Die Elemente einer Zeile oder Spalte mit einer beliebigen von Null
verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert
werden
3. zu einer Zeile oder Spalte ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile
beziehungsweise Spalte addiert wird.
Ziel: ranggleiche Matrix
Gestalt

b11 b12
 0 b22




0
0
B=
0
0

0
0

 ..
..
 .
.
0
0
B vom gleichen Type und von trapezförmiger
···
···
···
···
···
···
b1r b1 r+1 b1 r+2
b2r b2 r+1 b2 r+2
..
..
.
.
brr br r+1 br r+2
0
0
0
0
0
0
..
..
..
.
.
.
0
0
0
···
···
···
···
···
···

b1n
b2n 




brn 

0 

0 

.. 
. 
0
r Zeilen und m − r Nullzeilen. Rg (A) = Anzahl r der nicht-verschwindenden
Zeilen = r.
8
Lineare Gleichungssysteme
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = c1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = c2
...................................
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = cm

 
 

a11 a12 · · · a1n
x1
c1
 a21 a22 · · · a2n 
 c2 
 x2 


 
 
A= .
..
..  , x =  ..  , C =  .. 
 ..
 . 
.
.
. 
am1 am2 · · · amn
xn
cn
⇒AX = C
Erweiterte Koeffizienten Matrix Ein lineares Gleichungssystem mit
zwei Gleichungen und zwei Unbekannten besitzt genau eine Lösung, wenn
8 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
45
die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet.

a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n

(A|C) =  .
..
..
 ..
.
.
am1 am2 · · ·
8.1
c1
c2
..
.





amn cm
Lösungsmenge eines linearen (m, n)-Systems
1. Inhomogenes lineares Gleichungssystem AX = C hat eine, ∞, oder
keine Lösung.
2. Homogenes lineares Gleichungssystem AX = 0 hat eine (triviale Lösung x = 0) oder ∞ Lösungen inklusive trivialer Lösung
Siehe auch Abbildung 19.
Abbildung 19: Diagramm zur Bestimmung der Lösungsmenge von linearen
(m, n)-Systemen
8.2
Lösen eines linearen Gleichungssystem mit dem Gauss’schen
Algorithmus
Wenn das System lösbar ist:
1. (A|C) mit Hilfe elementarer Zeilenumformung in ranggleiche Matrix
mit Trapezform überführen
A∗ |C ∗
2. lineares Gleichungssystem liegt in gestaffelter Form A∗ |x = C ∗ vor und
lässt sich sukzessiv von unten nach oben lösen.
Verschwindet eine Varible, ist sie ein frei wählbarer Parameter λ. Siehe
auch Abbildung 20 auf der nächsten Seite.
8 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
46
Abbildung 20: Diagramm zur Bestimmung der Lösungsmenge von linearen
(n, n)-Systemen
8.3
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
Definition Die n Vektoren a1 , a2 , . . . , an aus Rm heissen linear unabhängig, wenn die lineare Vektorgleichung λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0 für
λ1 = λ2 = · · · = λn = 0 erfüllt werden kann. Linear abhängig, wenn nicht
alle Koeffizienten der Gleichung verschwinden, dass heisst mindestens ein
Koeffizient nicht Null ist.
Linear abhängige Vektoren Vektorsystem a1 , a2 , . . . , an besitzt mindestens eine der folgenden Eigenschaften
1. das Vektorsystem besitzt den Nullvektor
2. das Vektorsystem enthält zwei gleiche oder zwei kollineare Vektoren
3. mindestens einer der n Vektoren ist als linearkombination der übrigen
Vektoren darstellbar
Linear unabhängige Vektoren Wenn die aus ihnen gebildete Matrix
A = (a1 a2 . . . an ) den Rang r = n besitzt. Aber: linear unabhängig, wenn
r<n
9 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN EINER N -REIHIGEN MATRIX47
8.3.1
Zusammenfassung
1. n Vektoren a1 , a2 , . . . , an in Rn sind genau dann linear unabhängig,
wenn die aus diesem Vekor gebildeten n-reihige Matrix A regulär ist,
dass heisst det 6= 0:
A regulär ⇔ linear unabhängige Vektoren
2. A singulär ⇔ linear abhängige Vektoren (det A = 0)
• Vektorsystem enthält Nullvektor oder
• Vektorsystem enthält zwei kollineare Vektoren oder
• einer der Vektoren als linearkombination der übrigen Vektoren
darstellbar ist
3. in Rn gibt es maximal n linear unabhängige Vektoren. Wenn mehr als
n Vektoren vorhanden sind: linear abhängige Vektoren.
9
Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen
Matrix
(A − λE)X = 0
λ : Eigenwert von A
x : Eigenvektor von A zu Eigenwert λ
Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren
1. Eigenwerte: Lösung von det(A − λE) = 0
n-ten Grades mit Lösung λ1 , λ2 , . . . , λn .
algebraische Gleichung
2. Eigenvektoren: Lösungsvektor des homogenen linearen Gleichungssystem (A − λi E)xi = 0 (i = 1, 2, . . . , n)
Eigenschaften der Eigenwerte
P
P
1. Spaltenwert von A ( aller Diagonalelemente) =
aller λ
Sp (A) = λ1 + λ2 + · · · + λn
2. det A = λ1 λ2 . . . λn
nur 1
3. λ1 6= λ2 6= · · · =
6 λ n ⇒ λ i → x1
xi = linear unabhängig
4. Tritt ein λ k-fach auf, gehören mindestens eine und höchstens k linear
unabhängige Eigenvektoren
5. Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind immer linear unabhängig
10 DIFFERENTIAL UND INTEGRAL MIT MEHREREN VARIABLEN48
Bemerkung
• λ = Nullstelle von det(A − λE)
• A regulär, wenn alle λ 6= 0
• λi = Eigenwert von A ⇒
1
λi
= Eigenwert von A−1
• wenn mehrfache Eigenwerte vorhanden sind, so ist die Summe der linear unabhängigen Eigenvektoren ≤ n
Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen
• Die Eigenwerte einer n-reihigen Diagonal- beziehungsweise Dreiecksmatrix A sind identisch mit den Hauptdiagonalelementen:
λi = aii
(i = 1, 2, . . . , n)
• Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix (A = AT ):
1. alle n Eigenwerte sind R
2. Total n linear unabhängige Eigenvektoren
3. zu jdem einfachen λ → ein linear unabhängiger Eigenvektor. Zu
jedem k-fachen λ → k linear unabhängige Eigenvektoren
4. Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind
orthogonal
10
Differential und Integral mit mehreren Variablen
z = f (x; y)
x, y : unabhängige Variablen; z : abhängige Variable
u = f (x; y; z)
x, y, z : unabhängige Variablen; u : abhängige Variable
Analytische Darstellung
z = f (x; y) (explizite Darstellung)
F (x; y; z) = 0 (implizite Darstellung)
Funktionstafel
z = f (x; y)
x\y
x1
x2
..
.
y1
z11
z12
..
.
y2
z12
z22
..
.
y3
z13
z23
..
.
...
...
...
..
.
yn
z1n
z2n
..
.
xn
zm1 zm2 zm3 . . .
zmn
10 DIFFERENTIAL UND INTEGRAL MIT MEHREREN VARIABLEN49
z
z0
P0 = ( x 0 , y 0 , z 0 )
t0
y0
y
x0
x0
y0
x
Abbildung 21: Graphische Darstellung eines Punktes einer Funktion f mit
mehreren Variablen. (z = f (x; y), z: Höhenkoordinate)
Graphische Darstellung Siehe Abbildung 21.
10.1
Partielle Ableitung
10.1.1
1. Ordnung
• z = f (x; y) nach x:
f (x + ∆x; y) − f (x; y)
∂f
=
∆x→0
∆x
∂x
fx (x; y) = lim
nach y:
fy (x; y) = lim
∆y→0
f (x; y + ∆y) − f (x; y)
∂f
=
∆y
∂y
• geometrische Deutung: fx (x; y): Anstieg der Flächentangente im Flächenpunkt p = (x; y; z) in der x-Richtung. fy (x; y): Anstieg der Flächentangente im Flächenpunkt p = (x; y; z) in der y-Richtung
• n unabhängige Variablen → n partielle Ableitungen 1. Ordung
• alle unabhängigen Variablen ausser der Differentialvariable (bei
als konstant betrachten → ableiten
∂f
∂x
=x
• Ableitungsregeln sind gleich wie bei Funktionen mit einer Variablen
10 DIFFERENTIAL UND INTEGRAL MIT MEHREREN VARIABLEN50
Abbildung 22: Partielle Ableitung höherer Ordnung
10.1.2
Höhere Ordnung
fxx =
fyx =
fxy =
fxyx =
∂ ∂f
=
∂x ∂x
∂ ∂f
=
∂x ∂y
∂ ∂f
=
∂y ∂x
∂3f
∂x∂y∂x
∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂x
Satz von Schwarz Bei einer gemischten partiellen Ableitung k-ter Ordnung darf die Reihenfolge der einzelnen Differentiationschritte vertauscht
werden, wenn die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung stetige Funktionen
sind.
fxy = fyx ; fxxy = fyxx = fxyx ; fyyx = fxyy = fyxy
Tangentialebene
y = f (x)
z = f (x; y)
Kurventangente
Tangentialebene
Fläche von z = f (x; y) und Tangentialebene berühren sich in einem
Punkt.
Die Tangentialebene besteht aus allen Punkten (x, y, z) so dass
z − z0 = fx (x0 ; y0 ) ·(x − x0 ) + fy (x0 ; y0 ) ·(y − y0 )
| {z }
| {z }
∂f
∂x
∂f
∂y
10 DIFFERENTIAL UND INTEGRAL MIT MEHREREN VARIABLEN51
t − t0 =
∂f
(x0 ; y0 ; z0 )(x − x0 )+
∂x
∂f
(x0 ; y0 ; z0 )(y − y0 )+
∂y
∂f
(x0 ; y0 ; z0 )(z − z0 )
∂z
Totales oder vollständiges Differential
dz = fx dx + fy dy =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
Geometrische Bedeutung: beschreibt die Änderung der Höhenkoordinate beziehungsweise des Funktionswertes z auf die im Berührungspunkt P =
(x0 ; y0 ; z0 ) errichteten Tangentialebene. dx, dy, dz = Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Tangentialebene bezogen auf den Punkt P .
10.1.3
Kettenregel
Für Funktionen mit einem Parameter
zwei Variablen
z = f (x; y); x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2
| {z } |
{z
}
Äussere Fkt.
Innere Fkt
z =f (x(t); y(t)) = F (t), t1 ≤ t ≤ t2
dz ∂z dx ∂z dy
=
·
+
·
dt ∂x dt
∂y dt
z =zx ẋ + zy ẏ
drei Variablen
u =f (x; y; z); x = x(t), y = y(t), z = z(t)
du ∂u dx ∂u dy ∂u dz
=
·
+
·
+
·
dt ∂x dt
∂y dt
∂z dt
usw.
Für Funktionen mit zwei Parametern und zwei Variablen
z =f (x; y); x = x(u; v), y = y(u; v)
z =f (x(u; v); y(u; v)) = F (u; v)
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
·
+
·
= zu = zx xu + zy yn
∂u ∂x ∂u ∂y ∂u
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
·
+
·
= zv = z x x v + z y yv
∂v ∂x ∂v
∂y ∂v
10 DIFFERENTIAL UND INTEGRAL MIT MEHREREN VARIABLEN52
Für Funktionen mit drei Variablen und zwei Parametern
f (x, y, z); x = x(t, s), y = y(t, s), z = z(t, s)
G(t, s) =t(x(t, s); y(t, s); z(t, s))
∂G ∂f ∂x
∂t ∂y ∂f ∂z
=
·
+
·
+
·
∂t ∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂z
∂G ∂f ∂x
∂t ∂y ∂f ∂z
=
·
+
·
+
·
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂z ∂s
Extremwerte
• Extrempunkte = kritische Punkte
• Extrema
relatives Maximum: f (x0 ; y0 ) > f (x, y)
relatives Minimum: f (x0 ; y0 ) < f (x, y)
(x; y) 6= (x0 ; y0 )
(rel. = lokal)
• Voraussetzungen für relative Extrema (x0 ; y0 ):
1. fx (x0 ; y0 ) = 0 und fy (x0 ; y0 ) = 0. Die partielleb Ableitungen
erster Ordnung verschwinden.
2 (x ; y ) > 0
2. ∆ = fxx (x0 ; y0 ) · fyy (x0 ; y0 ) − fxy
0 0
Theorem Sei (x0 ; y0 ) ein kritischer Punkt für f (dass heisst ∇f (x0 , y0 ) =
0). Betrachte:
fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 )
∆ = fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 )
a. ∆ < 0
(x0 , y0 ) kein Extrema, sondern Sattelpunkt
b. ∆ = 0
keine Aussage
c. ∆ > 0
(x0 , y0 ) Extrema
fxx (x0 , y0 ) < 0
fxx (x0 , y0 ) > 0
Anwendung
• Implizite Differentiation:
y 0 (x0 ) =
dy
(x0 )
dx
für eine impliziert definierte Funktion F (x, y)
∂F
∂x
y 0 (x0 ) = − ∂F
∂y
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
Maximum
Minimum
11 GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
53
• Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen: Lagranges Multiplikationsverfahren (λ)
– Ausgangslage
1. f (x; y)
2. Nebenbedingung: in der Regel implizit: ϕ(x; y) = 0
– Vorgehen
1. Hilfsfunktion: F (x; y; λ) = f (x; y) + λ · ϕ(x; y) (Zusätzlich
λ=Parameter)
2. Partielle Ableitung erster Ordnung = 0:
Fx = fx (x; y) + λ · ϕx (x; y) = 0
Fy = fy (x; y) + λ · ϕy (x; y) = 0
Fx = ϕ(x; y) = 0
– Gleichungssystem lösen
11
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Explizite Differentialgleichung 1. Ordnung
y 0 =2x
Implizite Differentialgleichung 2. Ordnung
y 0 + yy 00 =0
Explizite Differentialgleichung 2. Ordnung
s̈ = − g
Anfangswertprobleme Gewöhnliche Differentialgleichung mit Zusatzbedingung
spezielle Lösung
Differentialgleichung 1 Ordnung mit einem Anfangswert
y 0 = 2x, y(0) =1
Lösung
allgemeine Lösung
y(x) =x2 + c ∀c ∈ R
spezielle Lösung
y(0) = 1
1 = 02 + c
c=1
y(x) = x2 + 1
11 GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
54
Randwertprobleme Eine gegebene Differentialgleichung n-ter Ordnung
(explizit/implizit) mit n Parameter/Konstanten
abhängige/spezielle Lösung.
s00 (x) = −g, s(0) =1, s(1) = 2
Lösung
x2
+ c1 x + c2
2
s(0) = 1 ↔ c2 = 1
s(x) = − g
9
s(1) = 2 ↔ − + c1 + c2 −2
|{z}
2
1
9 2
9
x+1
s(x) = − x + 1 +
2
2
c1 = 1 +
c2 = 1
1
2
Trennung der Variablen y 0 = f (x) · g(y) (=Differentialgleichung 1. Ordnung) lösen
1. Trennung der beiden Variablen:
dy
dx
= f (x) · g(y) ⇔
2. Integration auf beiden Seiten der Gleichung
0) ⇒ F10 (y) = F2 (x)
R
dy
g(y)
=
dy
g(y)
R
= f (x) dx
f (x) dx (g(y) 6=
3. Nach Möglichkeit löse y = y(x) auf.
Falls g(y) = 0 ⇒ y 0 = 0 ⇒ y(x) = c
Beispiel
y 0 =y
f (x) =1
g(y) =y
1. y 0 = y ⇔
2.
dy
dx
=y⇔
dy
y
= dx
dy
y
R
= dx ⇒ ln |y| = x + c ⇒ |y| = ex+c = ex · ec → k1 > 0
y = ±c · ex oder y = kex
R
Integration durch Substitution
a. y 0 = f (ax + by + c) Substitution: u = ax + by + c
b. y 0 = f xy Substitution: u = xy
11 GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
55
Lösung:
1. Substitution
2. Integration der neuen Differentialgleichung 1. Ordnung für die Hilfsfunktion und durch Trennung der Variablen
3. Rücksubstitution und Auflösung der Gleichung nach y
Beispiel a.
y 0 = f (ax + by + c) Gesucht: x 7→ y(x)
1. Berechne n = ax + by + c u0 = a + by 0
2.
u0 −a
b
= f (u) ⇔ u0 = a + bf (n)
3. Separation der Variablen u und x; zurück zu y
Beispiel b.
y0 = f
1. Berechne u =
y
x
y
x
Gesucht: x 7→ y(x)
⇔ y = xu
2. Ableitung (Produktregel) y 0 = 1 · u + x · u0
3. neue Form der Gleichung u + xu0 = f (n) ⇔ x · u0 = f (u) − u
du
1
x · du
dx = f (u) − u ⇔ f (n)−n = x dx
4. Seperation der Variablen
Integration
zurück zu y
Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Eine Differentialgleichung
1. Ordnung heisst linear, wenn sie die Form y 0 + f (x) · y = g(x)
g(x) = Störfunktion/Störglied
g(x) = 0 → homogene lineare Differentialgleichung
g(x) 6= 0 → inhomogene lineare Differentialgleichung
Integrations Methoden
• Homogene Differentialgleichung
y 0 + f (x) · y = 0 → y = C · e−
dy
+ f (x)y = 0
dx
dy
= −f (x)y
dx
R
f (x) dx
11 GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
56
dy
= −f (x) dx
y
Z
Z
dy
= −f (x) dx
y
1. x2 y 0 + y = 0 oder y 0 +
1
y
x2
= 0 (x 6= 0)
1
y = ce x
dy
dy
1
dx
+ 2y = 0 ⇒
=− 2
dx x
y
x
Z
Z
1
dy
dx
⇒ ln |y| = + ln |c|
=−
y
x2
x
y 1
ln |y| − ln |c| = ln =
c
x
2. y 0 − 2xy = 0, y(0) = 5
dy
dy
− 2xy = 0 ⇒
= 2x dx
dx
y
Z
Z
dy
= 2x dx ⇒ ln |y| = x2 + ln |c|
y
y
y
2
ln |y| − ln |c| = ln = x2 ⇒ = ex
x
c
2
y = cex allgemeine Lösung
y(0) = 5 ⇒ c = 5 ⇒ y = 5ex
2
spezielle Lösung
• inhomogene lineare Differentialgleichung
– y 0 + f (x) · y = g(x) Lösung durch “Variation der Konstanten”
1. Integration von y 0 +f (x)·y = 0 durch Trennung der Variablen:
y0 = c · e−
R
f (x) dx
2. Variation der Konstanten: c → c(x) mit Lösungsansatz
y = c(x) · e−
R
f (x) dx
in die inhomogene Lineare Differentialgleichung einfügen und
durch unbestimmte Integration lösen.
– y 0 + f (x) · y = g(x) Aufsuchen einer partikulären Lösung
Lös. v. y 0 + f (x) · y = 0
y(x)
|{z}
Lös. v. y 0 + f (x) · y = g(x)
=
z }| {
y0 (x)
+yp (
x
|{z}
)
bel. part. Lsg d. inhom. lin. Diffgl.
12 DOPPELINTEGRALE (FLÄCHENINTEGRALE)
57
1. Integration von y 0 +f (x)y = 0 durch Trennung der Variablen:
y0 = c · e−
R
f (x) dx
2. mit Hilfe eines geeigneten Lösungsansatzes, eine partielle Lösung yp von g(x) bestimmen.
3. allgemeine Lösung = y = y0 + yp
• lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
– homogene Differentialgleichung y 0 + ay = 0 (a 6= 0): allgemeine
Lösung y0 = c · e−ax
– inhomogene Differentialgleichung y 0 + ay = g(x) (a 6= 0): Lösung
durch Variation der Konstanten oder Suchen einer partiellen Lösung yp .
• lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Gegeben:
y 00 + ay 0 + by = g(x)
(1)
Lösung:
y(x) = y0 (x) + yp (x)
Vorgehen
1. Bestimme y0 (x)
2. Bestimme yp (x) mit einem geeigneten Ansatz
3. y(x) = y0 (x) + yp (x)
4. Kontrolle durch einsetzen in (1)
12
Doppelintegrale (Flächenintegrale)
ZZ
f (x; y) dA =
(A)
lim
n→∞
n
X
f (xk ; yk )∆Ak
(∆Ak →0) k=1
Berechnung
• in kartesischen Koordinaten:
ZZ
Z
f (x; y) dA =
(A)
b
x=a
Z
f0 (x)
f (x; y) dy dx
y=fn (x)
f0 : Randkurve oben. fn : Randkurve unten.
12 DOPPELINTEGRALE (FLÄCHENINTEGRALE)
58
1. Innere Integration nach der Variable y . x=Konstante, nach y
integrieren.
2. Äussere Integration nach der Variable x. Gewöhnliche Integration
nach x.
Reihenfolge der Integration (innen/aussen) ist nicht vertauschbar.
• in Polarkoordinaten
x = r · cos ϕ,
y = r · sin ϕ
dA = r ds dϕ
ZZ
Z
f (x; y) dA =
(A)
ϕ2
(r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π)
Z
ra (ϕ)
f (r · cos ϕ; r · sin ϕ) · r ds dϕ
ϕ=ϕ1
r=ri (ϕ)
1. Innere Integration nach Variable r, wobei ϕ als Parameter festgehalten wird
2. Äussere Integration nach der Variable ϕ
Anwendung
• Flächeninhalt:
Z
ZZ
dA =
A=
(A)
b
Z
f0 (x)
Z
ϕ2
ra (ϕ)
Z
dy dx =
x=a
y=fn (x)
r ds dϕ
ϕ=ϕ1
r=ri (ϕ)
Bemerkung:
Z
b
[f0 (x) − fn (x)] dx
A=
a
Z
ra (ϕ)
1 2 ra (ϕ)
r r=r (ϕ)
i
2
r=ri (ϕ)
1 2
=
ra (ϕ) − ri2 (ϕ)
2 Z
ϕ2 1
→A= ·
ra2 (ϕ) − ri2 (ϕ) dϕ
2 ϕ1
=
r ds =
• Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche:
ZZ
1
xs = ·
x dA,
ys =
A
(A)
Z b Z f0 (x)
1
xs = ·
x dy dx,
ys =
A x=a y=fn (x)
Z ϕ2 Z ra (ϕ)
1
xs = ·
r2 · cos ϕ ds dϕ, ys =
A ϕ=ϕ1 r=ri (ϕ)
1
A
ZZ
1
·
A
1
·
A
y dA (Definitionsformeln)
(A)
Z b
Z
f0 (x)
y dy dx
x=a
Z ϕ2
ϕ=ϕ2
y=fn (x)
Z ra (ϕ)
r=ri (ϕ)
r2 · sin ϕ ds dϕ
13 DREIFACHINTEGRALE (VOLUMENINTEGRALE)
59
Bemerkung:
Z b
Z b
2
1
1
xs = ·
x [fx (x) − fn (x)] dx,
ys =
f0 (x) − fn2 (x) dx
A a
2A a
Z ϕ2
Z ϕ2
3
3
1
1
3
ra (ϕ) − ri (ϕ) cos ϕ dϕ, ys =
ra (ϕ) − ri3 (ϕ) sin ϕ dϕ
xs =
·
·
3A ϕ1
3A ϕ1
• Flächenmomente (Flächenträgheitsmomente)
(axiales Flächenmoment bezüglich der x-Achse)
Z ϕ2 Z
Z b Z f0 (x)
ZZ
2
2
y dy dx =
y dA =
Ix =
x=a
(A)
ϕ=ϕ1
y=fn (x)
ra (ϕ)
r3 sin2 ϕ ds dϕ
r=ri (ϕ)
(axiales Flächenmoment bezüglich der y-Achse)
ZZ
Z
2
Iy =
b
f0 (x)
Z
x dA =
(A)
ϕ2
Z
2
Z
ra (ϕ)
x dy dx =
x=a
ϕ=ϕ1
y=fn (x)
r3 cos2 ϕ ds dϕ
r=ri (ϕ)
(polares Flächenmoment)
ZZ
Ip =
b
Z
2
Z
f0 (x)
x2 + y 2 dy dx
r dA = Ix + Iy =
Z
(A)
ϕ2
x=a
Z
ra (ϕ)
=
ϕ=ϕ1
y=fn (x)
r3 ds dϕ
r=ri (ϕ)
Bemerkung
Z b
Z b
3
1
3
Ix = ·
x2 [f0 (x) − fu (x)] dx
f (x) − fn (x) dx; Iy =
3 a 0
a
13
Dreifachintegrale (Volumenintegrale)
ZZZ
v=
(V )
f (x; y; z) dV = n→∞
lim
n
X
f (xk ; yk ; zk )∆Vk
∆Vk →0 k=1
Berechnung
• kartesische Koordinaten
ZZZ
Z
f (x; y; t) dV =
(V )
b
Z
x=a
f0 (x)
Z
y=fn (x)
z=zn (x;y)
|
|
|
z0 (x;y)
f (x; y; z) dz dy dx
{z
}
1. Integration
{z
2. Integration
{z
3. Integration
}
}
z0 = obere Grenze = Deckelfläche. zu = untere Grenze = Bodenfläche.
13 DREIFACHINTEGRALE (VOLUMENINTEGRALE)
60
1. Integration: x und y als Konstante behandelt
2. Integration: x als Konstante behandelt
3. Integration: gewöhnliche Integration
• Zylinderkoordinaten
x = r cos ϕ, y = r · sin ϕ, z = z, dV = dx dy dz = r dz dr dϕ = ( dA) dz
beziehungsweise
p
y
x = x2 + y 2 , tan ϕ = , z = z; 0 ≤ ϕ2π
xZ Z Z
ZZZ
f (r · cos ϕ; r · sin ϕ; z) · r dz dr dϕ
f (x; y; z) dV =
(V )
(V )
Integration: drei nacheinander auszuführende gewöhnliche Integrationsschritte in der Reihenfolge z, r und ϕ.
Anwendung
• Volumen eines zylinder Körpers
ZZZ
Z b Z
V =
dV =
(V )
x=a
f0 (x)
y=fn (x)
Z
z0 (x;y)
dz dy dx
z=zn (x;y)
• Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsachse: z-Achse)
ZZZ
V =
r dz dr dϕ
(V )
• Schwerpunkt eines homogenen Körpers
ZZZ
Z b Z f0 (x) Z z0 (x;y)
1
1
xs =
·
x dV =
·
x dz dy dx
V
V
(V )
x=a y=fn (x) z=zn (x;y)
ZZZ
Z b Z f0 (x) Z z0 (x;y)
1
1
·
·
ys =
y dV =
V
V
(V )
x=a y=fn (x) z=zn (x;y)
ZZZ
Z b Z f0 (x) Z z0 (x;y)
1
1
zs =
z dV =
·
z dz dy dx
V
V
(V )
x=a y=fn (x) z=zn (x;y)
• Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers. Schwerpunkt S =
(xs ; ys ; zs )
ZZZ
1
·
xs = 0, ys = 0 zs =
zr dz dr dϕ
V
(V )
gemäss Formel für Volumen berechnen
14 VEKTORALGEBRA
14
61
Vektoralgebra
• Ein Vektor ist eine mathematische Grösse, die durch Richtung und
Länge (Massstab)/Betrag eindeutig bestimmt ist.
• Der Betrag eines Vektors ist stets positiv: |a| = a ≥ 0.
• Ein Vektor ist eindeutig bestimmt durch Ausgangs- und Endpunkt P
und Q PQ.
• Der Nullvektor 0: Jeder Vektor mit Betrag 0 (|0| = 0).
• Einheitsvektor e: Jeder Vektor vom Betrag |e| = 1.
• Ortsvektor r(P ) = OP: vom Koordinatenursprung zum Punkt P .
• a = b: wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen, dass heisst
durch Parallelverschiebung ineinander überführt werden können.
• a b: zwei Vektoren mit gleicher Richtung.
• a ↑↓ b: zwei Vektoren mit entgegengesetzter Richtung (anit-parallel).
14.1
Vektoroperationen
a+b=c
a+b=c
b
c
b
a
b
d
a
a
(a) Addition von zwei Vektoren
(b) Parallelverschiebung
a+b+c+d=0
(c) Nullvektor
Abbildung 23: Vektor Addition
Addition Siehe Abbildung 23.
1. Vektor b wird parallel verschoben, bis sein Anfangspunkt in den Anfangspunkt von a fällt.
2. Parallelogrammregel:
(a) a + b = b + a
(b) (a + b) + c = a + (b + c)
Subtraktion d = a − b = a + (−b). Siehe Abbildung 24 auf der nächsten
Seite.
14 VEKTORALGEBRA
62
a
b
b
−b
−b
a
a
a−b=c
Abbildung 24: Vektor Subtraktion
Multiplikation mit einem Skalar
a = λa
Eigenschaften:
• |b| = |λa| = |λ| · |a|
• λ > 0: b a
• λ < 0: b ↑↓ a
• λ = 0: 0
14.2
Vektorrechnung in der Ebene (2D)
Komponentendarstellung
a=
ax + ay
| {z }
Vektorkomponenten von a
ax
ab
| {z }
= ax ex + ab ey =
|{z}
|{z}
µ
λ
Spaltenvektor
x
x
P
ax
P2
y2
P1
a
y1
ex
O ey
ay
y
O x1
x2
y
Abbildung 25: Komponentendarstellung von Vektoren
ex , ey
Einheitsvektor
ex ⊥ ey
a = OP
ax , ay = Vektorkoordinaten (Skalar)
x2 − x1
a = P1 P2 = (x2 − x1 )ex + (y2 − y1 )ey =
y2 − y1
14 VEKTORALGEBRA
63
Betrag
|a| = a =
q
a2x + a2y
Gleichheit
a = b ⇔ ax = bx ; ay = by
14.2.1
Darstellung der Vektoroperationen
ax
λax
λa = λ
=
ay
λay
ax
bx
ax ± bx
a±b=
±
=
ay
by
ay ± by
Skalarprodukt
a · b = |b| · |a| · cos ϕ = ab · cos ϕ (0◦ ≤ ϕ ≤ 180◦ )
a · b = b · a; a · (b + c) = a · b + a · c
λ(a · b) = (λa) · b = a(λb)
Orthogonale Vektoren
pi
2
=0
a ⊥ b : a · b = 0 ⇐ cos
ax
b
a·b=
· x = ax bx + ay by
ay
by
a·b
∠ : ϕ = arccos
|a| · |b|
14.3
a · b > 0 ⇒ ϕ < 90◦
a · b = 0 ⇒ ϕ = 90◦
a · b < 0 ⇒ ϕ > 90◦
Vektorrechnung im 3D-Raum
Komponentendarstellung


ax
a = ax + ay + az = ax ex + ay ey + az ez = ay 
az


x2 − x1
a = P 1 P 2 =  y2 − y1 
z2 − z1
Betrag
a=a=
q
a2x + a2y + a2z
14 VEKTORALGEBRA
Gleichheit
a = b ⇔ ax = bx , ay = by , az = bz
14.3.1
Darstellung der Vektoroperationen

  
λax
ax
λa = λ ay  = λay 
λaz
az
Normierung
1
·a
|a|
    

ax
bx
ax ± bx
a ± b = ay  ± by  = ay ± by 
az
bz
az ± bz
   
ax
bx



a · b = ay · by  = ax bx + ay by + az bz
az
bz
ea =
Richtungs-∠
ab
az
ax
, cos β =
, cos γ =
|a|
|a|
|a|
1 = cos2 α + cos2 β + cos2 γ
cos α =
Vektorprodukt
c = a × b = Flächeninhalt des Parallelogramms
c · a = c · b = 0 (c ⊥ a, c ⊥ b)
|c| = |a| · |b| · sin ϕ (0◦ ≤ ϕ ≤ 180◦ )
a, b, c = rechtshändiges System
a × (b + c) = a × b + a × c
(a + b) × c = a × c + b × c
a × b = −(b × a)
λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb)
a × b = 0 ⇔ a und b sind kollinear
    

ax
bx
ay bz − az by
a × b = ay  × by  = az bx − ax bz 
az
bz
ax by − ay bx
ex ey ez a × b = ax ay az bx by bz 64