Logik für Informatiker Logic for computer scientists

Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Logik für Informatiker
Logic for computer scientists
Till Mossakowski
Wintersemester 2014/15
Till Mossakowski
Logik
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Formale Beweise und
Boolesche Logik
Till Mossakowski
Logik
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Formale Beweise in Fitch
Wir haben eine wohldefinierte Menge formaler Beweisregeln.
Formale Beweise in Fitch können mechanisch geprüft werden.
Für jeden Junktor gibt es
eine Einführungsregel, z. B. “von P schließe auf P ∨ Q”,
eine Beseitigungsregel, z. B. “von P ∧ Q schließe auf P”.
Till Mossakowski
Logik
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Konjunktions-Einführung
Conjunction Introduction
(∧ Intro)
Conjunction Eli
(∧ Elim)
P1 ∧ . . . ∧ P
..
.
P1
⇓
Pn
..
.
. Pi
. P1 ∧ . . . ∧ Pn
Disjunction Introduction
(∨ Intro)
Till Mossakowski
Logik
Disjunction Elim
(∨ Elim)
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Summary of Ru
Konjunktions-Beseitigung
tion Introduction
)
Propositional rules
Conjunction Elimination
(∧ Elim)
P1 ∧ . . . ∧ Pi ∧ . . . ∧ Pn
..
.
. Pi
∧ . . . ∧ Pn
ion Introduction
)
Disjunction Elimination
(∨ Elim)
Till Mossakowski
Logik
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
1
Korrektheit und Vollständigkeit
P1 ∧ . . . ∧ Pi
..
.
P
⇓
Disjunktions-Einführung
Pn
..
.
. Pi
. P1 ∧ . . . ∧ Pn
Disjunction Introduction
(∨ Intro)
Disjunction Elim
(∨ Elim)
P1 ∨ . . . ∨ Pn
..
.
Pi
..
.
. P1 ∨ . . . ∨ Pi ∨ . . . ∨ Pn
P1
..
.
S
⇓
Till Mossakowski
Logik
Pn
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..
P1 ∧ . . . ∧ Pn
Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Disjunktions-Beseitigung
junction Introduction
Intro)
Pi
..
.
Disjunction Elimination
(∨ Elim)
P1 ∨ . . . ∨ Pn
..
.
P1 ∨ . . . ∨ Pi ∨ . . . ∨ Pn
P1
..
.
S
⇓
Pn
..
.
S
..
.
. S
Till Mossakowski
Logik
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
⊥-Einführung
P
..
.
⊥
¬¬P
..
.
. P
. ¬P
⊥ Introduction
(⊥ Intro)
⊥
..
.
P
..
.
¬P
..
.
. ⊥
. P
Conditional Introduction
(→ Intro)
Till Mossakowski
⊥ Elimina
(⊥ Elim)
Logik
Condition
(→ Elim)
P→Q
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P
Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
⊥-Beseitigung
..
.
⊥
¬¬P
..
.
. P
. ¬P
Introduction
Intro)
P
..
.
¬P
..
.
. ⊥
nditional Introduction
Intro)
⊥ Elimination
(⊥ Elim)
⊥
..
.
. P
Conditional Elimination
(→ Elim)
Till Mossakowski
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Negations-Einführung
558 / Summary of Rules
Negation Introduction
(¬ Intro)
Negation Elimi
(¬ Elim)
¬¬P
..
.
P
..
.
⊥
. P
. ¬P
⊥ Introduction
(⊥ Intro)
P
Till Mossakowski
Logik
⊥ Elimination
(⊥ Elim)
⊥
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Negations-Beseitigung
on Introduction
ro)
P
..
.
⊥
Negation Elimination
(¬ Elim)
¬¬P
..
.
. P
P
oduction
ro)
⊥ Elimination
(⊥ Elim)
Till Mossakowski
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Strategie und Taktik in Fitch
1
Machen Sie sich klar, was die Sätze besagen.
2
Überlegen Sie, ob die Konklusion aus den Prämissen folgt.
3
Wenn Sie meinen, dass die Konklusion nicht folgt oder sich nicht
sicher sind, versuchen Sie, ein Gegenbeispiel zu finden.
4
Wenn Sie meinen, dass die Konklusion folgt, versuchen Sie, einen
informellen Beweis zu führen.
5
Falls ein formaler Beweis gefordert ist, lassen Sie sich bei der
Auffindung dessen vom informellen Beweis leiten.
6
Vergessen Sie nicht die Taktik des Rückwärts-Arbeitens, falls Sie
formal oder informell nachweisen, dass ein Satz aus anderen folgt.
7
Wenn Sie rückwärts arbeiten, übreprüfen Sie stets, ob die
Beweisziele Ihrer Zwischenschritte aus den gegebenen Informationen
folgen.
Till Mossakowski
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Strategie und Taktik in Fitch (Fortsetzung)
Versuchen Sie stets, die Situation in Ihrem Beweis mit den
Beweisregeln zu vergleichen (im Anhang des Buches gibt es
die komplette Liste der verfügbaren Regeln, ebenso im
internen Bereich auf der Webseite der Vorlesung).
Orientieren Sie sich am Hauptjunktor einer Prämisse und
wenden die entsprechende Beseitigungsregel an (vorwärts),
oder Sie orientieren sich am Hauptjunktor der Konklusion und
wenden die entsprechende Einführungsregel an (rückwärts).
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Konditionale
Till Mossakowski
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ing.
Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
antics
and the game rule for the conditional
Konditionale
sentence P → Q is true if and only if either P is false or Q is tr
. This can be summarized by the following truth table.
P
t
t
f
f
Q
t
f
t
f
P→Q
T
F
T
T
ond’s thought shows that P → Q is really just another way of
Spielregel:
P → Qinwird
durch
¬P ∨the
Q ersetzt.
Q. Tarski’s
World
fact
treats
former as an abbreviation
. In particular, in playing the game, Tarski’s World simply rep
ment of the form P → Q by its equivalent ¬P ∨ Q.
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Formalisierung von Konditionalsätzen
Die folgenden deutschen Ausdrücke werden alle als P → Q
übersetzt:
Wenn P, dann Q.
Q wenn P.
P nur dann, wenn Q.
Gegeben dass P, dann Q.
P impliziert Q.
Die folgenden Sätze werden als ¬P → Q übersetzt:
Sofern nicht P, Q.
Q, es sei denn dass P.
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Logische Folgerung und Konditionale
Theorem
Ein Satz Q ist eine logische Folgerung aus P1 , . . . , Pn , genau dann
wenn
(P1 ∧ · · · ∧ Pn ) → Q
eine logische Wahrheit ist.
Till Mossakowski
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⊥
..
.
Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
. P
Konditional-Beseitigung
onal Introduction
o)
P
Q
→Q
Conditional Elimination
(→ Elim)
P→Q
..
.
P
..
.
. Q
Till Mossakowski
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⊥
..
.
P
..
.
¬P
Konditional-Einführung ..
.
. ⊥
Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
. P
Conditional Introduction
(→ Intro)
P→Q
..
.
P
..
.
Q
P
..
.
. Q
. P→Q
Till Mossakowski
Conditional Elim
(→ Elim)
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Formaleis
Beweise
Boolesche Logik
while the latter
anundabbreviation
of “is logically equivalent to
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
truth-functional connective and is not an expression of fol.
Bikonditionale
antics and the game rule for ↔
emantics for the biconditional is given by the following truth tab
P
t
t
f
f
Q
t
f
t
f
P↔Q
T
F
F
T
Spielregel: P ↔ Q wird durch (P → Q) ∧ (Q → P) ersetzt.
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Bikonditionale und logische Äquivalenzen
Theorem
P und Q sind logisch äquivalent (P ⇔ Q)
genau dann, wenn
der Satz P ↔ Q eine logische Wahrheit ist.
Bemerkung:
P ⇔ Q ist kein Satz in PL1, sondern eine Meta-Aussage.
“↔” ist Junktor, Operation in der Menge der PL1-Sätze,
“⇔” ist eine Relation in der Menge der PL1-Sätze.
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Konversationale Implikatur
“Max ist zu Hause, es sei denn, Claire ist in der Bibliothek.” kann
formalisiert werden als
¬Library (claire) → Home(max)
aber manchmal wird der Satz formalisiert als
¬Library (claire) ↔ Home(max)
Die zusätzliche Behauptung
¬Library (claire) ← Home(max)
heißt konversationale Implikatur. Sie ist möglich aber nicht
notwendig gemäß des ursprünglichen deutschen Satzes.
Folgende Fortsetzung hebt die Implikatur auf:
“Wenn Claire allerdings in der Bibliothek ist, dann weiß ich nicht,
wo Max sein könnte.”
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Wahrheitsfunktionale Vollständigkeit
Definition
Ein logischer Junktor heißt wahrheitsfunktional, wenn der
Wahrheitswert eines komplexen Satzes, der mittels dieses Junktors
gebildet wird, nur von den Wahrheitswerten der einfacheren Sätze,
aus denen er aufgebaut ist, abhängt.
Wahrheitsfunktionale Junktoren: ∧, ∨, ¬, ←, ↔
Nicht wahrheitsfunktional: da, nachdem, notwendigerweise
Definition
Eine Menge von Junktoren heißt wahrheitsfunktional vollständig,
wenn sich mit ihr jede Wahrheitsfunktion ausdrücken lässt.
Theorem
Die Menge {∧, ∨, ¬} ist wahrheitsfunktional vollständig.
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Beispiel: ein zweistelliger wahrheitsfunktionaler Junktor
P
Q
Weder P noch Q
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
¬P ∧ ¬Q
“Weder P noch Q” kann durch ¬P ∧ ¬Q ausgedrückt werden.
Till Mossakowski
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Beispiel: ein dreistelliger wahrheitsfunktionaler Junktor
P
Q
R
♣(P, Q, R)
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
F
T
F
P ∧Q ∧R
P ∧ Q ∧ ¬R
¬P ∧ Q ∧ R
¬P ∧ ¬Q ∧ R
♣(P, Q, R) kann ausgedrückt werden durch
(P ∧ Q ∧ R) ∨ (P ∧ Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ Q ∧ R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧ R).
Till Mossakowski
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Logische Äquivalenzen des Konditionals und Bikonditionals
P→Q
⇔
¬Q → ¬P
¬(P → Q)
⇔
P ∧ ¬Q
P→Q
P↔Q
P↔Q
P↔Q
⇔
⇔
⇔
⇔
¬P ∨ Q
(P → Q) ∧ (Q → P)
(¬P ∨ Q) ∧ (P ∨ ¬Q)
(P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)
Till Mossakowski
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Bikonditional-Beseitigung
tional Introduction
o)
P
..
.
Q
Q
First-order rules (F
Biconditional Elimination
(↔ Elim)
P ↔ Q (or Q ↔ P)
..
.
P
..
.
. Q
..
.
P
↔Q
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Bikonditional-Einführung
Biconditional Introduction
(↔ Intro)
Biconditional El
(↔ Elim)
P ↔ Q (or Q
..
.
P
..
.
Q
P
..
.
. Q
Q
..
.
P
. P↔Q
Reiteration
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Korrektheit und
Vollständigkeit
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Objekt- und Metatheorie
Objekttheorie = Beweise innerhalb eines formalen Beweissystems
(z. B. Fitch)
Metatheorie = Beweise über ein formales Beweissystem
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Tautologische Folgerungen
S ist eine tautologische Folgerung aus einer Menge T von Sätzen,
geschrieben als
T |=T S,
genau dann, wenn für alle Belegungen der atomaren Formeln mit
Wahrheitswerten, die alle Sätze von T wahr machen, auch S wahr
ist.
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Aussagenlogische Beweise
Ein Satz S ist FT -beweisbar von T , in Zeichen
T `T S,
wenn für S ein formaler Beweis mit Prämissen aus T existiert, der
allein die Beseitigungs- und Einführungsregeln für ∨, ∧, ¬, →, ↔
sowie ⊥ benutzt.
Wir bemerken erneut, dass T auch unendlich sein kann.
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Korrektheit
Theorem
Das Beweissystem FT ist korrekt, d. h., wenn
T `T S
gilt, dann auch
T |=T S.
Beweis.
Im Buch als Widerspruchsbeweis, unter Ausnutzung des ersten
ungültigen Schrittes.
Hier durch vollständige Induktion über die Länge des Beweises
(siehe Lemma).
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Korrektheit
Das Theorem folgt aus folgendem Lemma:
Lemma
Für m ≥ 1 sei Tm die Menge der Prämissen, die in Beweisschritt m
in Kraft sind. Dann folgt die Formel in Zeile m logisch aus Tm .
Beweis.
Induktionsanfang: die erste Zeile ist immer eine Prämisse, und
damit sogar Element von T1 .
Induktionsschritt: Das Lemma gelte für die ersten m Zeilen eines
Beweises. Wir betrachten die Formel in der m + 1-ten Zeile. Falls
sie eine Prämisse ist, ist sie sogar Element von Tm+1 . Falls nicht,
wurde eine Regel angewandt. Wir machen eine Fallunterscheidung
nach der angewandten Regel.
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Beweis-Fall:
⇓
Pn
..
Disjunktions-Einführung
.
..
.
. Pi
. P1 ∧ . . . ∧ Pn
Disjunction Introduction
(∨ Intro)
Disjunction Elim
(∨ Elim)
P1 ∨ . . . ∨ Pn
..
.
Pi
..
.
. P1 ∨ . . . ∨ Pi ∨ . . . ∨ Pn
P1
..
.
S
Sei k die Zeile des Support-Steps Pi . Nach
Induktionsvoraussetzung folgt Pi logisch aus Tk ⊆ Tm+1 . Damit
⇓
folgt auch P1 ∨ · · · ∨ Pn aus Tm+1
Pn
Till Mossakowski
Logik
..
.
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..
. Pi
Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Beweis-Fall: Disjunktions-Beseitigung
Disjunction Elimination
(∨ Elim)
P1 ∨ . . . ∨ Pn
..
.
P1
..
.
S
⇓
Pn
..
.
S
..
.
. S
Zur Vereinfachung nehmen wir an,
dass n = 2. Seien k1 , s1 , k2 , s2 die
Zeilen für P1 , das erste S, P2 und das
zweite S. Nach
Induktionsvoraussetzung ist für
i = 1, 2 S eine logische Folgerung aus
Tki = Tm+1 ∪ {Pi }, und P1 ∨ P2 eine
logische Folgerung aus Tm+1 . Eine
Belegung, die Tm+1 wahr macht, muss
daher P1 ∨ P2 wahr machen, und
somit auch eines der Pi . Damit ist Tki
wahr, und somit auch S.
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Korrektheit
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Formale Beweise und Boolesche Logik
Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Vollständigkeit
Theorem 2 (Bernays, Post). Das Beweissystem FT ist vollständig,
d. h., wenn
T |=T S
gilt, dann auch
T `T S.
Der Beweis erfolgt später in dieser Lehrveranstaltung.
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Konditionale
Korrektheit und Vollständigkeit
Vollständigkeit
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