Lineare Algebra I
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Inhaltsverzeichnis
1
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
WiSe 13/14
1 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Vorlesung 1
23. bzw. 24. Oktober 2013
Komplexe Zahlen
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
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2 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Einführung
Seite 28
Lösung von
x 2 + 1 = 0,
pq-Formel√liefert
x1/2 = ± −1 ;
| {z }
x 2 − 6 x + 11 = 0 ?
√
x1/2 = 3 ± −2
| {z }
verboten
verboten
Definition
Imaginäre Einheit i :=
√
−1
Dann
x1/2 = ±i;
i 2 = −1.
Allgemein
z = x + i y ; x, y ∈ R
x1/2 = 3 ±
√
2·i
Komplexe Zahl.
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
WiSe 13/14
3 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Einführung
Seite 28
Lösung von
x 2 + 1 = 0,
pq-Formel√liefert
x1/2 = ± −1 ;
| {z }
x 2 − 6 x + 11 = 0 ?
√
x1/2 = 3 ± −2
| {z }
verboten
verboten
Definition
Imaginäre Einheit i :=
√
−1
Dann
x1/2 = ±i;
i 2 = −1.
Allgemein
z = x + i y ; x, y ∈ R
x1/2 = 3 ±
√
2·i
Komplexe Zahl.
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
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3 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Einführung
Seite 28
Lösung von
x 2 + 1 = 0,
pq-Formel√liefert
x1/2 = ± −1 ;
| {z }
x 2 − 6 x + 11 = 0 ?
√
x1/2 = 3 ± −2
| {z }
verboten
verboten
Definition
Imaginäre Einheit i :=
√
−1
Dann
x1/2 = ±i;
i 2 = −1.
Allgemein
z = x + i y ; x, y ∈ R
x1/2 = 3 ±
√
2·i
Komplexe Zahl.
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Lineare Algebra I
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Einführung
Seite 28
Lösung von
x 2 + 1 = 0,
pq-Formel√liefert
x1/2 = ± −1 ;
| {z }
x 2 − 6 x + 11 = 0 ?
√
x1/2 = 3 ± −2
| {z }
verboten
verboten
Definition
Imaginäre Einheit i :=
√
−1
Dann
x1/2 = ±i;
i 2 = −1.
Allgemein
z = x + i y ; x, y ∈ R
x1/2 = 3 ±
√
2·i
Komplexe Zahl.
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
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3 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 29
C : = {z = x + i y | x, y ∈ R}
Komplexe Addition & Multiplikation
Mit z1 : = x1 + i y1 ,
z2 : = x2 + i y2
definiere
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i 2 = −1 :
(x1 +i y1 )(x2 +i y2 ) = x1 x2 +i x1 y2 +i y1 x2 +i 2 y1 y2 = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +y1 x2 ).
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4 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 29
C : = {z = x + i y | x, y ∈ R}
Komplexe Addition & Multiplikation
Mit z1 : = x1 + i y1 ,
z2 : = x2 + i y2
definiere
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i 2 = −1 :
(x1 +i y1 )(x2 +i y2 ) = x1 x2 +i x1 y2 +i y1 x2 +i 2 y1 y2 = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +y1 x2 ).
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 29
C : = {z = x + i y | x, y ∈ R}
Komplexe Addition & Multiplikation
Mit z1 : = x1 + i y1 ,
z2 : = x2 + i y2
definiere
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i 2 = −1 :
(x1 +i y1 )(x2 +i y2 ) = x1 x2 +i x1 y2 +i y1 x2 +i 2 y1 y2 = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +y1 x2 ).
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 29
C : = {z = x + i y | x, y ∈ R}
Komplexe Addition & Multiplikation
Mit z1 : = x1 + i y1 ,
z2 : = x2 + i y2
definiere
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i 2 = −1 :
(x1 +i y1 )(x2 +i y2 ) = x1 x2 +i x1 y2 +i y1 x2 +i 2 y1 y2 = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +y1 x2 ).
TUHH
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Lineare Algebra I
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4 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Zahlenebene C
Seite 30
C
z = a + ib
b
|z|
a
|z̄|
−b
TUHH
Mackens
z̄ = a − ib
Lineare Algebra I
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5 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 31
Bezeichnungen
Re(a + i b) = a
Realteil
Im(a + i b) = b
Imaginärteil
a+i b =a−i b
konjugiert Komplexes
|a + i b| : =
√
a2 + b 2
Betrag ∈ R
C
z
Im(z)
|z|
Re(z)
|z̄|
z̄
Konsequenzen
z + z̄ = 2Re z
z − z̄ = 2i Im z
z̄¯ = z
z · z̄ = |z|2
z1 + z2 = z¯1 + z¯2
z1 · z2 = z¯1 · z¯2 (Nachrechnen!!!)
TUHH
Mackens
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6 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 31
Bezeichnungen
Re(a + i b) = a
Realteil
Im(a + i b) = b
Imaginärteil
a+i b =a−i b
konjugiert Komplexes
|a + i b| : =
√
a2 + b 2
Betrag ∈ R
C
z
Im(z)
|z|
Re(z)
|z̄|
z̄
Konsequenzen
z + z̄ = 2Re z
z − z̄ = 2i Im z
z̄¯ = z
z · z̄ = |z|2
z1 + z2 = z¯1 + z¯2
z1 · z2 = z¯1 · z¯2 (Nachrechnen!!!)
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Mackens
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6 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 31
Division
z1 · z¯2
z1 · z¯2
z1
=
=
z2
z2 · z2
|z2 |2
z1 · z¯2 = (x1 x2 + y1 y2 ) + i(y1 x2 − x1 y2 )
Also
TUHH
z1
=
z2
Mackens
x1 x2 + y1 y2
x22 + y22
+ i
Lineare Algebra I
y1 x2 − x1 y2
x22 + y22
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7 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 31
Achtung:
C nicht ordenbar.
Aber:
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
z1 + z2
z1
z2
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Lineare Algebra I
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8 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 31
Achtung:
C nicht ordenbar.
Aber:
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
z1 + z2
z1
z2
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Komplexe Zahlen C
Geometrie komplexer Operationen
TUHH
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene
Seite 31
C
z1
b1
z2
a2
b1 + b2
a1
a1 + a2
z1 + z2
b2
z2
z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
TUHH
Mackens
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10 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene
Seite 31
C
z1
b1
z2
a2
b1 + b2
a1
a1 + a2
z1 + z2
b2
z2
z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene
Seite 31
C
z1
b1
z2
a2
b1 + b2
a1
a1 + a2
z1 + z2
b2
z2
z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
2. Multiplikation und Division mit
Polardarstellung komplexer Zahlen
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
Seite 32
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11 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Seite 32
zu ϕ gehörige Bogenlänge
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
TUHH
Mackens
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Seite 32
zu ϕ gehörige Bogenlänge
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
TUHH
Mackens
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Seite 32
zu ϕ gehörige Bogenlänge
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
TUHH
Mackens
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Seite 32
zu ϕ gehörige Bogenlänge
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
TUHH
Mackens
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Seite 32
zu ϕ gehörige Bogenlänge
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
TUHH
Mackens
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis
Seite 32
zu ϕ gehörige Bogenlänge
y
sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ) = 1
π
2
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin( π2 ) = 1
cos( π2 ) = 0
sin ϕ
r =1
ϕ
cos ϕ
π
x
3
2π
TUHH
Mackens
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)
cos(−ϕ) = cos(ϕ)
sin(ϕ + π) = − sin(ϕ)
cos(ϕ + π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 33
sin(ϕ)
1
π
2
π
3
2π
ϕ
2π
-1
cos(ϕ)
Additionstheoreme für sin und cos
sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ)
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ)
TUHH
Mackens
Lineare Algebra I
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13 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 33
sin(ϕ)
1
π
2
π
3
2π
ϕ
2π
-1
cos(ϕ)
Additionstheoreme für sin und cos
sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ)
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ)
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 33
sin(ϕ)
1
π
2
π
3
2π
ϕ
2π
-1
cos(ϕ)
Additionstheoreme für sin und cos
sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ)
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ)
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Mackens
Lineare Algebra I
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13 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 33
Geometrischer Beweis −→ Skript.
Analytischer Beweis −→ nächstes Semester.
Einfache Merkregel: kommt gleich.
Benötigt werden etwas später noch:
tan(ϕ) =
sin ϕ
cos ϕ ,
nicht definiert bei ϕ =
cot(ϕ) =
cos ϕ
sin ϕ ,
nicht definiert bei ϕ = nπ, n ∈ N.
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Mackens
2n+1
2 π, n
Lineare Algebra I
∈ N
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14 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 33
Geometrischer Beweis −→ Skript.
Analytischer Beweis −→ nächstes Semester.
Einfache Merkregel: kommt gleich.
Benötigt werden etwas später noch:
tan(ϕ) =
sin ϕ
cos ϕ ,
nicht definiert bei ϕ =
cot(ϕ) =
cos ϕ
sin ϕ ,
nicht definiert bei ϕ = nπ, n ∈ N.
TUHH
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2n+1
2 π, n
Lineare Algebra I
∈ N
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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15 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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15 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C
Seite 33
z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
y
Kürze ab:
z
Abkürzung gut?
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
r = |z|
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
JA:
ei(ϕ+ψ) =
x cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ +
i(cos ϕ sin ψ + cos ψ sin ϕ)
= (cos ϕ+i sin ϕ)(cos ψ+i sin ψ)
= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
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15 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 34
Eulers Formel
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
Euler liefert:
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ)
Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig!
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16 / 24
Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 34
Eulers Formel
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
Euler liefert:
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ)
Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig!
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Lineare Algebra I
WiSe 13/14
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Seite 34
Eulers Formel
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
Euler liefert:
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ)
Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig!
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Eulers Formel
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
Euler liefert:
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ)
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Eulers Formel
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
Euler liefert:
cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)
= (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(cos ϕ sinψ + cos ψ sin ϕ)
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
y
z = Re(z) + i Im(z)
= r eiϕ , ϕ = arg z.
arg z nur bis auf Vielfache von
2π bestimmt.
z
Im(z)
ϕ
r = |z|
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Re(z)
x Praktische Bestimmung von ϕ
aus
Im(z)
tan ϕ = Re(z)
Im(z)
ϕ = arc tan Re(z)
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
y
z = Re(z) + i Im(z)
= r eiϕ , ϕ = arg z.
arg z nur bis auf Vielfache von
2π bestimmt.
z
Im(z)
ϕ
r = |z|
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Re(z)
x Praktische Bestimmung von ϕ
aus
Im(z)
tan ϕ = Re(z)
Im(z)
ϕ = arc tan Re(z)
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Komplexe Zahlen C
y
z = Re(z) + i Im(z)
= r eiϕ , ϕ = arg z.
arg z nur bis auf Vielfache von
2π bestimmt.
z
Im(z)
ϕ
r = |z|
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Re(z)
x Praktische Bestimmung von ϕ
aus
Im(z)
tan ϕ = Re(z)
Im(z)
ϕ = arc tan Re(z)
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Komplexe Zahlen C
y
z = Re(z) + i Im(z)
= r eiϕ , ϕ = arg z.
arg z nur bis auf Vielfache von
2π bestimmt.
z
Im(z)
ϕ
r = |z|
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x Praktische Bestimmung von ϕ
aus
Im(z)
tan ϕ = Re(z)
Im(z)
ϕ = arc tan Re(z)
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Komplexe Zahlen C
y
z = Re(z) + i Im(z)
= r eiϕ , ϕ = arg z.
arg z nur bis auf Vielfache von
2π bestimmt.
z
Im(z)
ϕ
r = |z|
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Re(z)
x Praktische Bestimmung von ϕ
aus
Im(z)
tan ϕ = Re(z)
Im(z)
ϕ = arc tan Re(z)
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Grundlagen
Komplexe Zahlen C
Aber Achtung!
tan ϕ
− π2
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0 ϕ1
π
2
Lineare Algebra I
π ϕ2
3π
2
ϕ
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Aber Achtung!
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2
ϕ
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Aber Achtung!
tan ϕ
− π2
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0 ϕ1
π
2
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π ϕ2
3π
2
ϕ
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Komplexe Zahlen C
y1
y2
=
x1
x2
y1
ϕ2
ϕ1
x2
x1
y2
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Komplexe Zahlen C
y1
y2
=
x1
x2
y1
ϕ2
ϕ1
x2
x1
y2
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Komplexe Zahlen C
Wozu der Aufstand?
Seite 34
Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach!
i(ϕ1 +ϕ2 )
r1 · r2
·
e
(r1 ei ϕ1 )(r2 ei ϕ2 ) =
| {z }
| {z }
addiere Argumente.
multipliziere Beträge
.
(r1 ei ϕ1 ) (r2 ei ϕ2 ) = rr12 ei (ϕ1 −ϕ2 ) .
Speziell (Formel von de Moivre)
(r ei ϕ )n = r n ei n ϕ
[r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos n ϕ + i sin n ϕ) ⇒ weitere Additionstheoreme
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Wozu der Aufstand?
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Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach!
i(ϕ1 +ϕ2 )
r1 · r2
·
e
(r1 ei ϕ1 )(r2 ei ϕ2 ) =
| {z }
| {z }
addiere Argumente.
multipliziere Beträge
.
(r1 ei ϕ1 ) (r2 ei ϕ2 ) = rr12 ei (ϕ1 −ϕ2 ) .
Speziell (Formel von de Moivre)
(r ei ϕ )n = r n ei n ϕ
[r (cos ϕ + i sin ϕ)]n = r n (cos n ϕ + i sin n ϕ) ⇒ weitere Additionstheoreme
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Komplexe Zahlen C
De Moivre rückwärts:
Seite 45
Gesucht n-te Wurzel aus
z = r ei ϕ
Eine Antwort
√
n
z = r 1/n ei ϕ/n
Aber auch
√
2π
n
z = r 1/n ei(ϕ/n+ n ·k )
da
n·
2π
n
k = 1, · · · , n − 1
· k = 2π · k
Allgemein:
√
n
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Mackens
ϕ
z = r 1/n ei ( n +
2π
n ·k )
,
k = 0, 1, · · · , n − 1
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De Moivre rückwärts:
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Gesucht n-te Wurzel aus
z = r ei ϕ
Eine Antwort
√
n
z = r 1/n ei ϕ/n
Aber auch
√
2π
n
z = r 1/n ei(ϕ/n+ n ·k )
da
n·
2π
n
k = 1, · · · , n − 1
· k = 2π · k
Allgemein:
√
n
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z = r 1/n ei ( n +
2π
n ·k )
,
k = 0, 1, · · · , n − 1
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Komplexe Zahlen C
Seite 36
ζ2
ζ3
ζ1
ζ4
ζ0
ζ5
ζ7
ζ6
Die 8 achten Wurzeln aus 1.
Die 8 achten ““Einheitswurzeln““.
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Komplexe Zahlen C
Sind komplexe Zahlen wirklich?
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Komplexe Zahlen C
Ende der 1. Vorlesung
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