¨Ubung Stochastische Prozesse /Stochastische DGL

B. Schmalfuß
Paderborn, den 22.04.07
Übung Stochastische Prozesse /Stochastische DGL
2. Übung
Stoppzeiten und Martingale
(I) Es seien S, T Stoppzeiten.
Zeige, dass
• S ∧ T = min(S, T )
• S ∨ T = max(S, T )
• S+T
• αS, α > 0
Stoppzeiten sind.
(II) Es sei (Ft )t∈R+ eine rechtsstetige Filtration (oder sie erfülle die Standardvoraussetzungen). Zeige {T < t} ∈ Ft dann, und nur dann, wenn T eine Stoppzeit
ist.
(III) Es sei X ein adaptierter stetiger Prozess und Λ eine offene Menge. Zeige unter
den Voraussetzungen der letzten Aufgabe, dass die Trefferzeit
T (ω) = inf{t > 0 : X(t) ∈ Λ}
für Λ eine Stoppzeit ist.
(1) Es sei X ein adaptierter stetiger Prozess und Λ eine abgeschlossene Menge.
Zeige unter den Voraussetzungen der letzten Aufgabe, dass die Trefferzeit für Λ
eine Stoppzeit ist.
(2) Es sei S, T Stoppzeiten. Zeige, dass FT eine σ–Algebra ist. Weiterhin zeige man,
dass aus S ≤ T die Inklusion FS ⊂ FT folgt. Man zeige außerdem, dass für zwei
überall endliche Stoppzeiten S, T gilt:
FS∧T = FS ∩ FT
und dass {T < S}, {T ≤ S}, {T = S} zu FS ∩ FT gehört.
(3) Es sei T eine überall endliche Stoppzeit und X ein progressiv messbarer Prozess.
Zeige, dass X(T ) messbar bezüglich FT ist. Weiterhin zeige man, dass der gestoppte
Prozess X T progressiv messbar ist.
(4) Der Cauchy-Prozess ist ein stochastischer Prozess mit unabhängigen Zuwächsen
X(t + h) − X(t), die Cauchy-verteilt sind, d.h. die Dichte
fh (x) =
h
,
π(h2 + x2 )
h>0
besitzen. Man charakterisiere die endlichdimensionalen Verteilungen.
(5) Es sei W der Wiener Prozess bezüglich seiner natürlichen Filtration (Ft )t≥0 .
Zeige, dass W ,
1
µ
¶
α2
X(t) = exp αW (t) −
t
für α > 0,
2
ein Martingal ist. Für den d–dimensionalen standard Wiener Prozess zeige man,
dass
|W (t)|2 − dt
ein Martingal ist. Weiterhin ist
µ
¶
t
X(t) = exp i(x, W (t)) + |x|2
2
ein komplexes Martingal.
(6) Es sei X(0) = 0 und für alle k ∈ N gilt
P (X(k) = 1|X(k − 1) = 0) = P (X(k) = −1|X(k − 1) = 0) =
P (X(k) = 0|X(k − 1) = 0) = 1 −
1
k
P (X(k) = kX(k − 1)|X(k − 1) 6= 0) =
1
2k
1
k
1
k
ein Martingal ist. Konvergiert X(k) in Wahrscheinlichkeit
P (X(k) = 0|X(k − 1) 6= 0) = 1 −
Zeige dass (X(k))k∈Z+
für k → ∞?
(7) Der Galton–Watson Verzweigungsprozess. Eine Population von Einheiten besteht zur Anfangszeit aus x0 Einheiten. In der n–ten Generation bestehe die Population aus X(n) Einheiten. Am Ende eines Lebens spaltet sich eine Einheit unabhängig von allen anderen Einheiten in i ∈ Z+ Einheiten auf. Dabei sei Yk,n die
Anzahl der Nachkommen des k-ten Mitgliedes der n-ten Generation, so dass gilt:
X(n)
X(n + 1) =
X
Yk,n
k=1
für die Größe der n + 1-ten Generation. Wir setzen
pi = P(Yk,n = i|X(0) = x0 , · · · X(n) = xn ),
µ :=
∞
X
ipi ∈ (0, ∞).
i=0
Zeige das der stochastische Prozess (µ−1 X(n))n∈Z+ ein Martingal ist.
Abgabe: 2. Mai 07