Logik für Informatiker (WS 08/09)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 08/09)
Übungsblatt 6 (Abgabe bis 01.12.2008, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1
(6 Punkte + 1 Bonuspunkt)
1
1
Gegeben ist die Signatur (F, P) mit F := F , F := {f }, P := P 0 ∪ P 1 , P 0 := {p} und
P 1 := {Q}. Zusätzlich gegeben ist die (F, P)-Formel A ≡ ( (p → (¬ Q(x))) ∧ (∃z f (z) = y) ).
1. Wir betrachten ein Regelsystem, das aus den Regeln (A1)−(A5) (s. Kapitel 1 im Skript)
besteht. Geben Sie eine Herleitung für A an!
Anmerkung: (A0) besagt, dass eine atomare Formel auch eine Formel ist. Anstelle der
Anwendung von (A1) gefolgt von (A0), bzw. (A2) gefolgt von (A0) wenden wir hier zur
Vereinfachung nur (A1) bzw. (A2) an.
2. Bonus: Geben Sie einen Syntaxbaum zur Formel A an; der Baum hat in den Blättern
atomare Formeln.
3. Gegeben ist die Interpretation I mit Grundbereich D := N, pI := F (falsch), QI (x) := x
”
ist gerade“ und f I ist die Nachfolgerfunktion, d.h. x wird abgebildet auf x+1. Zusätzlich
gegeben ist die Belegung β mit β(x) = 3, β(y) = 5, β(z) = 7. Prüfen Sie, ob I, β |= A
gilt, indem Sie A unter der Interpretation I und Belegung β auswerten!
Achtung: Gehen Sie schrittweise vor UND geben Sie bei jedem Schritt an, welche der
Auswertungsregeln (vgl. T1), (vgl. T2), (vgl. A1), . . . , (vgl. A5) Sie verwenden.
(Pro Schritt maximal eine Regel!)
Aufgabe 2
Zeigen Sie im Hilbertkalkül
Vorlesung an!)
(7 Punkte)
(Sehen Sie sich auch noch einmal die Herleitungen aus der
1. mit Deduktionstheorem:
⊢ A → ((A → B) → B)
2. ohne Deduktionstheorem:
{p → q, q → r} ⊢ p → r
Tipp: Versuchen Sie, p → r aus Ax2 herzuleiten.
1
Aufgabe 3
(5 Punkte)
2
In dieser Aufgabe geht es um Punkte (und Geraden) in der reellen Ebene R . Die Punkte
schreiben wir informell als Koordinatenpaare, z.B. (x, y), (x′ , y ′ ); formal haben wir aber nur
die Variablen x, y, x′ , y ′ , . . . .
Wir betrachten in dieser Aufgabe zentrale Geraden, d.h. Geraden durch den Nullpunkt. Jede
zentrale Gerade wird durch einen vom
verschiedenen Punkt bestimmt; die Haupt√
√ Nullpunkt
”
diagonale“ z.B. durch (1, 1) oder ( 2, 2).
Gegeben ist die Signatur (F, P) mit F := F 0 ∪F 2 , F 0 := {0, 1}, F 2 := {+, ·} und P := ∅. Die
Interpretation I hat als Grundbereich R und interpretiert die Symbole in natürlicher Weise,
d.h. durch die (reellen) Zahlen 0,1 sowie durch Addition und Multiplikation (in den rellen
Zahlen).
1. Geben Sie eine (quantorenfreie) (F, P)-Formel A mit Variablen x, y, x′ , y ′ an, die besagt,
dass (x′ , y ′ ) eine zentrale Gerade definiert, auf der auch (x, y) liegt. Genauer:
I, β |= A ⇐⇒ (β(x′ ), β(y ′ )) definiert zentrale Gerade, auf der (β(x), β(y)) liegt.
Begründen Sie zusätzlich, warum Ihr A korrekt ist fuer den Fall, dass die zentrale Gerade
nicht mit eine der Achsen zusammenfällt. Hinweis: Zeichnen Sie eine zentrale Gerade
(welche nicht mit einer der beiden Achsen zusammenfällt) und denken Sie über die
Steigung nach; informell können Sie zunächst auch weitere Operationen wie Differenz
oder Division verwenden.
2. Begründen Sie, dass Ihre Formel A auch dann korrekt ist, wenn die zentrale Gerade mit
einer der Achsen zusammenfällt.
3. Geben Sie eine (F, P)-Formel B an, die besagt, dass der Nullpunkt auf jeder zentralen
Gerade liegt.
Aufgabe 4
(5 Punkte)
Eliminieren Sie aus folgenden Herleitungen das Deduktionstheorem, d.h. geben Sie eine Herleitung ohne Deduktionstheorem für die letzte Zeile an. Gehen Sie dabei so vor, wie im Beweis
des Deduktionstheorems beschrieben!
(1) {¬ ¬ p → ¬ q, r} ⊢ ¬ ¬ p → ¬ q
∈M
(2) {¬ ¬ p → ¬ q, r} ⊢ (¬ ¬ p → ¬ q) → (q → ¬ p) Ax3
(3) {¬ ¬ p → ¬ q, r} ⊢ q → ¬ p
Proposition 2.7 / MP“ (1) (2)
”
(4) {¬ ¬ p → ¬ q}
⊢ r → (q → ¬ p)
Ded. (3)
2