Mengen - Bureau for Freshness

1
1.1
Mengen
Definition
Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine
Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine
Menge lässt sich durch verschiedene Möglichkeiten repräsentieren. Sie kann
durch Aufzählung ihrer Elemente A = {1, 2, 3} , durch eine Eigenschaft B =
{x ∈ N|x > 3} oder mittels eines Venn/Euler-Diagramms
4
6
1
3
dargestellt werden. x ∈ A bedeutet dabei, dass das Element x in A enthalten
ist, analog dazu x ∈
/ A, dass x nicht in A enthalten ist. Eine Menge A wird als
Teilmenge bezeichnet, wenn alle Elemente aus A auch in B enthalten sind.
A ⊆ B ⇔ B ⊇ A ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
Die Menge B stellt hierbei die Obermenge von A dar B ⊇ A. Eine Menge A
wird hierbei als echte Teilmenge A B bezeichnet, wenn A 6= B und A ⊆ B
ist.
1.1.1
Aufgaben
Aufgabe 1: Gilt A ⊆ B ?
a.) A = {1, 2, 3} , B = {1, 3, 4, 2}
b.) A = {4, e} , B = {1, 3, 4, f }
c.) A = {x, e, ε} , B = {x, µ, 5, e, %, 74, ε}
d.) A = {a, 6, 9, b} , B = {a, 6, 9}
e.) A = {1, 2} , B = {1, 2}
Aufgabe 2: Geben Sie eine mögliche Teilmenge A von B = {a, b, d, e} an
Aufgabe 3: Geben Sie an, ob die Menge A = {1, b, d, δ} Obermenge ist
a.) B = {1, d}
b.) B = {δ}
1
c.) B = {0, d}
Aufgabe 4: Geben Sie die Menge(n) B an für die gilt B * A und B ⊆ A
a.) für A = {1, 3, 4}
b.) allgemein für eine beliebige Menge B
Aufgabe 5: Zeichnen Sie das Venn-Diagramm für X = {a, b, d, e}
1.1.2
Lösungen
Lösung 1:
a.) ja
b.) nein
c.) ja
d.) nein
e.) ja
Lösung 2:
z.B. A = {b, d}
Lösung 3:
a.) ja, A ⊇ B
b.) ja, A ⊇ B
c.) nein, A + B
Lösung 4:
a.) B = {1, 3, 4}
b.) laut den obigen Definitionen ist der vorliegende Fall nur dann erfüllt,
wenn A = B ist
2
Lösung 5:
a
e
b
d
1.2
Allgemeine Mengen
Es existieren eine Anzahl von Mengen, die eine allgemeine Bezeichnung aufgrund ihrer häufigen Verwendung erlangt haben. Interessant ist insbesondere
die Leere Menge ∅, die als Menge ohne Elemente definiert ist ∅ = {}. Die
Leere Menge ist echte Teilmenge jeder Menge und Teilmenge von sich selbst.
∅ ⊆ ∅ ∧ ∀M : ∅ ⊆ M
Häufig verwendete Mengen
Symbol
∅
N
N0
Z
Q
I
R
C
Bezeichnung
Beschreibung
Leere Menge
Menge die keine Elemente enthält
Natürliche Zahlen
{1, 2, 3, ..., n}
Natürliche Zahlen mit 0 {0, 1, 2, 3, ..., n}
Ganze Zahlen
{−n, ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ..., n}
Rationale Zahlen
{x = m
|m ∈ Z, n ∈ N}
n
m
Irrationale Zahlen
{x 6= n |m ∈ Z, n ∈ N}
Reelle Zahlen
Q∪I
Komplexe Zahlen
{x|x = a + b ∗ i|i2 = −1 ∧ a, b ∈ R}
B
Boolsche Zahlen
{0, 1}
Daneben gibt es noch einige Bezeichnungen, um bestimmte Teilmengen zu
charakterisieren.
3
Symbol
M+
M−
M0+
M0−
Bezeichnung
positive Teilmenge
negative Teilmenge
positive Teilmenge mit 0
negative Teilmenge mit 0
Beschreibung
{x ∈ Y |x > 0}
{x ∈ Y |x < 0}
{x ∈ Y |x ≥ 0}
{x ∈ Y |x ≤ 0}
[n]
]a, b[⇔ (a, b)
[a, b[⇔ [a, b)
(a, b] ⇔ (a, b]
[a, b] ⇔ [a, b]
Menge bis
Teilmenge
Teilmenge
Teilmenge
Teilmenge
{x ∈ Y |0 < x ≤ n}
{x ∈ Y |a < x < b}
{x ∈ Y |a ≤ x < b}
{x ∈ Y |a < x ≤ b}
{x ∈ Y |a ≤ x ≤ b}
n
von
von
von
von
a bis b
einschließlich a bis b
a bis einschließlich b
einschließlich a bis einschließlich b
Anmerkung: für die letzten 4 häufig verwendeten Mengen ist x, soweit nicht
näher spezifiziert, ∈ N.
1.2.1
Aufgaben
Aufgabe 1: Für welche Mengen ist {0} echte Teilmenge?
a.)N b.) N0 c.) R+ d.) C− e.)I+ f.)Z g.)Q
Aufgabe 2: Geben Sie die Mengen [7, 11), (3, 4) und [6] in aufzählender
Schreibweise an
Aufgabe 3: Was ist der Unterschied zwischen ∅ und {∅}?
Aufgabe 4: Welche der folgenden Mengen sind identisch? - A = ∅, B =
{1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 3},D = {1, 1, 2, 3, 2},E = {1, 2, 4, 3}, F = {4, 2, 1, 3, 3}
1.2.2
Lösungen
Lösung 1:
Teilmenge für b.), f.), g.)
Lösung 2:
{7, 8, 9, 10},∅,{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lösung 3:
Die Leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält, während {∅} eine
Menge bezeichnet, die die Leere Menge enthält. Es gilt also ∅ =
6 {∅}!
4
Lösung 4:
B = C = D, E = F
Anmerkung: Zwei Mengen sind dann gleich, wenn sie die selben wohlunterschiedenen(!) Elemente besitzen.
1.3
Operationen auf Mengen
Wie auch in der normalen Arithmetik lassen sich verschiedene Operationen
zwischen zwei Mengen A und B ausführen.
Bezeichnung
Symbol
Veranschaulichung Definition
A
Vereinigung
∪
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}
A
Schnitt
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}
A \ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
B
\
B \ A = {x|x ∈
/ A ∧ x ∈ B}
A
Symmetrische Differenz
B
\
A
Differenz
B
∩
A
Differenz
B
B
A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A)
4
Die Vereinigung und der Schnitt sind kommutativ und assoziativ. Es gilt
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = B ∪ (A ∪ C), bzw. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C =
B ∩ (A ∩ C) analog dazu für den Schnitt ∩. Die Differenzmenge ist hingegen
nicht kommutativ.
5
1.3.1
Aufgaben
Aufgabe 1: Ist die symmetrische Differenz kommutativ?
Aufgabe 2: Berechnen Sie
a.) {1, 4, f, g} ∩ {g, 4} ∪ {2, 1, 2, 1}
b.) {0, 6, 5, f, g} ∪ {a, 5, 8} ∪ {3, 6}
c.) {7} ∩ ∅ ∪ {∅}
d.) [4]∪)4, 7]
e.) (0, 3) ∪ (3, 8]
f.) [1, 9] ∩ [5, 7)
Aufgabe 3: Wie lässt sich die Menge [x, z] als Differenz zweier Mengen
der Form [n] darstellen?
Aufgabe 4: Vereinfachen Sie
a.) (X \ Y ) ∪ (X ∩ Y )
b.) (F ∩ J) ∪ (F 4 J)
c.) (U 4 A) ∩ (A ∩ U)
1.3.2
Lösungen
Lösung 1:
Die symmetrische Differenz ist kommutativ. Es gilt A 4 B = (A \ B) ∪ (B \
A) ⇔ B 4 A = (B \ A) ∪ (A \ B) . Dies lässt sich entweder mittels eines
Venn-Diagramms beweisen oder aus der Tatsache folgern, dass die Symmetrische Differenz per Definition eine Vereinigung zweier Differenzen darstellt.
Lösung 2:
a.) {1, 2, f }
b.) {0, 3, 5, 8, a, f, g}
c.) {∅}
d.) [4, 7]
e.) [1, 8] \ {3} ⇔ {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}
f.) {5, 6}
Lösung 3:
6
[x, z] = [z] \ [x − 1]
Lösung 4:
a.) X
b.) F ∪ J
c.) ∅
1.4
Potenzmenge
Die Potenzmenge gibt zu einer zugehörigen Menge A alle in A enthaltenen
Teilmengen an. Dieser Sachverhalt lässt sich auch mathematisch ausdrücken:
P(A) = {B|B ⊆ A}
Neben der Schreibweise P(A) ist auch die Schreibweise 2A geläufig.
1.4.1
Aufgaben
Aufgabe 1: Geben Sie die Potenzmenge der Menge X = {a, b} an
Aufgabe 2: Geben Sie die Potenzmenge der Menge H = {1, 2, 3, 4} an
Aufgabe 3: Geben Sie P(∅) an
Aufgabe 4: Geben Sie P({∅}) an
Aufgabe 5: Geben Sie P(P(∅)) an
1.4.2
Lösungen
Lösung 1:
P(X) = {∅, a, b, {a, b}}
Lösung 2:
P(H) = {∅, 1, 2, 3, 4,
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}}
Lösung 3:
7
P(∅) = {∅}
Lösung 4:
P({∅}) = {∅, {∅}}
Lösung 5:
P(P(∅)) = {∅, {∅}}
1.5
Kardinalität
Als Kardinalität oder Mächtigkeit einer Menge bezeichnet man die Anzahl an
Elementen die eine Menge enthält. Die leere Menge hat dabei die Kardinalität
0.
|∅| = 0
Die Kardinalität der Potenzmenge einer Menge beträgt
|P(A)| = 2|A|
hiermit erklärt sich auch die alternative Schreibweise P(A) ⇔ 2A . Dieser
Sachverhalt lässt sich auch einfach beweisen: Jede mögliche Teilmenge von
A enthält entweder das Element x oder nicht
∀x ∈ A : x ∈ B ∨ x ∈
/B
wobei B ⊆ A sei. Als Folgerung ergibt sich, dass es 2|A| mögliche Teilmengen
von A gibt.
1.6
Partitionen
Eine Menge lässt sich in mehrere disjunkte Teilmengen mit k-Elementen
oder in k disjunkte Teilmengen zerlegen. Eine solche Zerlegung in nichtleere,
disjunkte Teilmengen nennt man eine Partition.
A=
k
]
]
Ai =
i=1
Aj
Aj ⊆A|k=|Aj |
wobei ∀x, y : Ax 6= ∅ ∧ Ay 6= ∅ und
∀x, y : Ax ∩ Ay 6= ∅ ⇒ Ax = Ay
8
bzw. ∀x, y : Ax ∩ Ay = ∅ außer für x = y.
Für die Zerlegung einer n-elementigen Menge A in k Teilmengen gibt es
Sn,k
Möglichkeiten. Man spricht auch von einer k-Partition. Sn,k bezeichnet hierbei die Stirlingzahlen zweiter Art, die in einem späteren Abschnitt ausführlich
behandelt werden.
Für die Partition einer n-elementigen Menge A in k-elementige Teilmengen
gilt, dass deren Anzahl
Qn/k n−k∗i
i=0
k
n
!
k
beträgt. Anzumerken ist dabei, dass logischerweise natürlich k|n gelten muss.
Dieser Sachverhalt lässt sich auch darüber plausibel machen, dass das Bilden
einer k-elementigen Teilmenge dem Ziehen von k Elementen aus einer mit n
Elementen gefüllten Menge entspricht. Bei einer Zerlegung in k-elementige
Teilmengen wird eine Partition aus n/k disjunkten, nichtleeren Teilmengen
erzeugt. Da es jedoch nebensächlich ist, in welcher Reihenfolge die einzelnen
Teilmengen vorkommen ist durch (n/k)! zu dividieren, um die Permutationen
als gleichwertig zu behandeln. Für M = {a, b, c, d, e, f } mit |M| = n = 6 und
k = 2 sähe eine beispielshafte Partition in 2-elementige Teilmengen wie folgt
aus:
M = {a, b} ∪ {c, d} ∪ {e, f }
6
Möglichkeiten, für die zweite
Für
die
erste
Teilmenge
ergeben
sich
dabei
2
4
usw.
2
Für die Gesamtzahl der Anzahl an Möglichkeiten eine n-elementige Menge A
zu partitionieren, gilt, dass sie der Bellschen Zahl Bn entspricht. Eine einfache
Berechnung von Bn gelingt dabei mittels der Formel
Bn =
n
X
Sn,k
k=0
1.6.1
Aufgaben
Aufgabe 1: Geben Sie alle möglichen Partitionen von A = {a, b, c} mit zwei
Teilmengen an
Aufgabe 2: Geben Sie alle Partitionen von B = {1, 2, 3, 4} mit 2-Elementigen
Teilmengen an
9
Aufgabe 3: Geben Sie alle möglichen Partitionen von {3, 4, 5, 6} an und
den Zahlenwert von B4
Aufgabe 4: Wie viele Möglichkeiten gibt es die Menge V = {a, b, c, 5, ζ, ξ}
in 1, 2, 3, 6 elementige Teilmengen zu partitionieren?
1.6.2
Lösungen
Lösung 1:
{a} ∪ {b, c}
{b} ∪ {a, c}
{c} ∪ {a, b}
Lösung 2:
{1, 2} ∪ {3, 4}
{1, 3} ∪ {2, 4}
{1, 4} ∪ {2, 3}
Lösung 3:
B4 = 15
{3} ∪ {4} ∪ {5} ∪ {6}
{3, 4} ∪ {5} ∪ {6}
{3, 5} ∪ {4} ∪ {6}
{3, 6} ∪ {4} ∪ {5}
{4, 5} ∪ {3} ∪ {6}
{4, 6} ∪ {3} ∪ {5}
{5, 6} ∪ {3} ∪ {4}
{3, 4} ∪ {5, 6}
{3, 5} ∪ {4, 6}
{3, 6} ∪ {4, 5}
{3, 4, 5} ∪ {6}
{3, 4, 6} ∪ {5}
{3, 5, 6} ∪ {4}
{4, 5, 6} ∪ {3}
{3, 4, 5, 6}
10
Lösung 4:
1-elementige: 1
(6)(4)(2)
2-elementige: 4 3!2 2
(6)(3)
3-elementige: 3 2! 3
6-elementige: 1
1.7
Kartesisches Produkt
Unter dem kartesischen Produkt zweier Mengen A, B versteht man die Menge
aller geordneten Paare der Form (a, b) wobei a ∈ A und b ∈ B
A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}
Damit ergeben sich |A| ∗ |B| verschiedene geordnete Tupel (a, b). Die mehrmalige Ausführung des kartesischen Produktes auf einer Menge A lässt sich
auch in Potenzschreibweise darstellen
A
× ... × A} = An
| × A {z
n
Das kartesische Produkt ist assoziativ aber nicht kommutativ.
1.7.1
Aufgaben
Aufgabe 1: Geben Sie für A = {a, b, c} und B = {c, d} das kartesische
Produkt an
Aufgabe 2: Bestimmen Sie B3 und |B3 |
1.7.2
Lösungen
Lösung 1:
A × B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)}
Lösung 2:
B3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
|B3 | = 8
11
12