Mathematik für Nanoscience und Computational Science ¨Ubungen

Institut für Theoretische Physik
PD Dr. M. Seidl
Wintersemester 2010/11
4.11.10
Mathematik für Nanoscience und Computational Science
Übungen
Blatt 4
Aufgabe 1: Tangens
Finden Sie die Taylorreihe der Tangensfunktion,
sin x
sin x
≡
,
tan x :=
cos x
1 + (cos x − 1)
um x = 0, indem Sie ausnutzen, daß | cos x − 1| < 1 für |x| < π2 .
Aufgabe 2: Arcustangens
Skizzieren Sie, etwa für |x| < 5, den Graphen der Funktion
f (x) = arctan x.
(Dies ist die Umkehrfunktion jenes Zweiges von tan x mit |x| < π2 .) Zeigen Sie:
1
.
1 + x2
Gewinnen Sie aus dieser Ableitung die Koeffizienten an der Taylorreihe
f ′ (x) =
arctan x = a0 + a1 x + a2 x2 + ... =
∞
X
an xn .
n=0
Hinweis: Welchen Wert hat f (0)?
Aufgabe 3: Relativistische Energie-Impuls-Beziehung
Ein relativistisches Teilchen mit (Ruh-) Masse m und (relativistischem) Impuls
p hat die (kinetische plus Ruh-) Energie
E=
q
m2 c4 + p2 c2 .
Zeigen Sie durch Entwicklung nach dem dimensionslosen Parameter x = p/mc,
daß im nicht-relativistischen Grenzfall p ≪ mc gilt:
p2
+ O(x4 ).
2m
(In diesem Grenzfall gilt p ≈ mv und also E ≈ mc2 + 21 mv 2 .)
Hinweis: Ziehen Sie eine geeignete Konstante aus der Wurzel heraus, sodaß der
Radikand dimensionslos wird!
E = mc2 +
Aufgabe 4: Rechnen mit komplexen Zahlen
Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginärteil folgender Zahlen.
(a)
z = (2 + 4 i ) · (2 − 4 i ),
(b)
z = ( 2i − 1) · ( 2i + 1),
(c)
z=
1
,
i
z = (2 + 4 i )2,
z = (1 + i )3 ,
z = (6 − 2 i ) · ( i − 4),
z=
1
,
1+ i
z=
1
,
i −1
z = i 127 .
z = 1 + i + i 2 + i 3.
z=
13 + 78 i
.
2−3i
Aufgabe 5: Komplexe Konjugation
Die zu z = x + i y komplex konjugierte Zahl ist z ∗ = x − i y. Das Produkt zz ∗ ist
immer eine rein-reelle Zahl. Wie könnte man auf möglichst analoge Weise zu jeder
komplexen Zahl z = x + i y einen “Partner” z̃ definieren so, daß das Produkt zz̃
immer rein-imaginär wird (also Realteil 0 hat)?
Wie liegen z und z ∗ relativ zueinander in der Zahlenebene?
Wie sieht das entsprechend für z und z̃ aus?
Aufgabe 6: Multiplikation und Argument
Das Additionstheorem für den Tangens lautet
tan(φ1 + φ2 ) =
tan φ1 + tan φ2
.
1 − tan φ1 tan φ2
Für die Argumente φ1,2 zweier beliebiger Zahlen z1 = x1 + i y1 bzw. z2 = x2 + i y2
gilt
y2
y1
bzw.
tan φ2 = .
tan φ1 =
x1
x2
Zeigen Sie mit Hilfe des Additionstheorems:
Für das Argument φ der Produktzahl z = z1 z2 gilt
tan φ = tan(φ1 + φ2 ).