Prof.Dr.Göbel Übungen zur Mathematik 2 Kapitel 8 1. Bestimmen

Prof.Dr.Göbel
Übungen zur Mathematik 2
Kapitel 8
1.
Bestimmen Sie alle Relationen zwischen M = { a, b } und N = { 1, 2 }.
Geben Sie die zugehörenden Adjazenzmatrizen, die Adjazenzlisten und die Digraphen
an.
Geben Sie für jede der Relationen an:
Domain, Codomain, das Bild von a sowie das Urbild von 2.
Untersuchen Sie die Relationen auf die Eigenschaften total (linkstotal), surjektiv
(rechtstotal), injektiv (linkseindeutig), Abbildung (rechtseindeutig), bijektiv.
2.
Sei M die Menge aller Bundesländer der Bundesrepublik Deutschland.
Sei R ⊆ MxM mit (x,y) ∈ R :⇔ x ist benachbart zu y.
Geben Sie die Adjazenzmatrix von R an.
3.
Sei M = P( { a, b, c } ); R sei die Teilmengen-Relation auf M.
Geben Sie R an
i) als Menge,
ii) durch die Adjazenzmatrix,
iii) durch ein geeignetes Pfeildiagramm.
4.
R und S seien Relationen auf M = { a, b, c, d } mit
R = { (a,a), (a,b), (b,d) }
S = { (a,d), (b,c), (b,d), (c,d) }.
a. Geben Sie für R und S den Digraphen, die Adjazenzliste und die Adjazenzmatrix an.
b. Geben Sie für die folgenden Relationen jeweils die Mengendarstellung, den
Digraphen, die Adjazenzliste und die Adjazenzmatrix an:
R ∪ S, R ∩ S, S\R, S , S ° R, R ° S, R², S³.
5.
R sei durch den nebenstehenden Digraphen gegeben:
Geben Sie die Mengendarstellung von R an.
Es sei S = R ∪ { (g,g) }.
Bestimmen Sie die Adjazenzmatrizen von R und S.
Geben Sie die Adjazenzmatrizen und die Digraphen
von Rn und Sn für n ∈  an.
6.
Sei [ M, R ] eine strukturierte Menge.
Geben Sie für die folgenden Eigenschaften an:
i) formale Definition ii) Formulierung mit Mengen iii) Formulierung mit Hilfe der
Adjazenz-Matrix
a. R ist nicht reflexiv
c. R ist nicht transitiv
e. R ist nicht linear
*
a → b → d
↓
↓
c
e → h
↓
↓
f
g
b. R ist nicht symmetrisch
d. R ist nicht antisymmetrisch
Auf der Menge M = { 3, 5, 6, 10, 15, 24, 30, 48 }
werden die Relationen R und S = R ∪ idM
betrachtet. R ist durch die nebenstehende
Adjazenzliste gegeben.
a. Welche inhaltliche Bedeutung haben R und S?
b. Bestimmen Sie A(S), A(R).
c. Geben Sie die Digraphen von R und S an.
x
3
5
6
10
15
24
30
48
y∈M mit (x,y)∈R
--3
5
3, 5
3, 6
3, 5, 6, 10, 15
3, 6, 24
7.
Sei M = {1, 2, 3, 4}.
Untersuchen Sie, ob die folgenden Relationen auf M reflexiv, symmetrisch, transitiv
bzw. Äquivalenzrelationen sind.
a. { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) }
b. { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4) }
c. { (1,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) }
d. { (1,1), (2,2), (3,3) }
e. { (1,2), (2,3), (3,4), (4,1) }
f. M x M
Geben Sie für die Äquivalenzrelationen die Äquivalenzklassen an.
8. Behauptung :
Jede symmetrische und transitive Relation auf einer Menge M ist auch reflexiv.
Beweis : Sei R eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge M.
Sei xRy für x,y ∈ M.
Weil R symmetrisch ist, folgt aus xRy
: yRx.
Weil R transitiv ist, folgt aus xRy und yRx
: xRx.
Also ist R reflexiv.
Hat sich da vielleicht irgendwo ein Fehler eingeschlichen ?
9. A sei eine Teilmenge von M. Auf P(M) wird die folgende Relation R definiert:
für B,C ∈ P(M) ist: (B,C) ∈ R , wenn B ∩ A = C ∩ A ist.
a. Zeigen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation.
b. Seien M = { 1, 2, 3, 4, 5 } und A = { 1, 2, 5 }.
Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen [ ∅ ], [ M ] und [ C ] für C = { 2, 4, 5 }.
10. Sei M = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Geben Sie für die folgenden Zerlegungen von M jeweils die
zugehörende Äquivalenzrelation an.
a. { { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 } , { 5 } , { 6 } }
b. { { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 , 5 , 6 } }
c. { { 1 , 3 , 5 } , { 2 , 4 , 6 } }
d. { { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } }
11. Vervollständigen Sie den Umdruck 8/3
„Beispiele zu: Eigenschaften von Relationen R ⊆ MxM“.
*
Betrachtet werden wie bei der ersten *-Aufgabe die Relationen R und S = R ∪ idM auf
der Menge M = { 3, 5, 6, 10, 15, 24, 30, 48 }.
a. Überprüfen Sie R und S auf die folgenden Eigenschaften:
reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, transitiv, intransitiv,
antisymmetrisch, linear.
b. Skizzieren Sie das Hasse-Diagramm von S in übersichtlicher Form.