Leibniz Universität Hannover 8. Juni 2010 Fakultät für Mathematik

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné, apl. Prof. Dr. T. Holm
8. Juni 2010
Übungen zu Diskrete Strukturen
Sommersemester 2010
Blatt 8 - Lösungshinweise
22. Geben Sie in Form einer Tabelle an, welche der Eigenschaften reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, total die folgenden Relationen auf der Menge Z
der ganzen Zahlen haben:
T1 = {(x, y) | xy > 0},
T2 = {(x, y) | x ist ein positiver Teiler von y}
T3 = {(x, y) | x ist zu y teilerfremd}, T4 = {(x, y) | x − y ist gerade}
T5 = {(x, y) | x + y ist ungerade}.
Lösung: Eine Relation R auf X heißt (vgl. [Skript, Abschnitt 2.2])...
• reflexiv, falls xRx für alle x ∈ X,
• irreflexiv, falls xRx für kein x ∈ X gilt,
• symmetrisch, falls aus xRy stets yRx folgt,
• antisymmetrisch, falls xRy und yRx nur für x = y möglich ist,
• transitiv, falls aus xRy und yRz stets xRz folgt,
• total, falls xRy oder yRx für beliebige x, y ∈ X gilt.
Für die konkreten Relationen auf Z ergibt sich (mehr Details in den Übungen)...
T1
T2
T3
T4
T5
reflexiv irreflexiv symmetrisch antisymmetrisch
—
—
+
—
—
—
—
+
—
—
+
—
+
—
+
—
—
+
+
—
transitiv total
+
—
+
—
—
—
+
—
—
—
23. Bestimmen Sie für eine n-elementige Menge X die Anzahl der
(a) Relationen auf X, (b) reflexiven Relationen auf X,
(c) symmetrischen Relationen auf X,
(d) totalen Relationen auf X.
Lösung: Wir betrachten die möglichen Inzidenzmatrizen (Zeilen und Spalten indiziert bezüglich einer fest gewählten Reihenfolge der Elemente in X).
(a) Als Inzidenzmatrizen sind alle n × n-Matrizen mit Einträgen aus {0, 1} erlaubt.
2
2
Davon gibt es 2n viele, also gibt es 2n verschiedene Relationen auf X.
(b) Die Inzidenzmatrizen der reflexiven Relationen müssen 1en auf der Diagonalen
haben. Alle anderen n2 −n Einträge der Inzidenzmatrix sind frei wählbar aus {0, 1}.
2
Daher gibt es 2n −n reflexive Relationen auf X.
(c) Die symmetrischen Relationen entsprechen genau den symmetrischen 0 − 1Matrizen. Bei einer symmetrischen Matrix sind die n Diagonaleinträge frei wählbar;
auf den n2 − n Nicht-Diagonaleinträgen ist die Hälfte frei wählbar (denn mit dem
(x, y)-Eintrag ist der (y, x)-Eintrag auch fest). Daher gibt es 2n+
n+1
2( 2 ) symmetrische Relationen auf X.
n2 −n
2
= 2
n2 +n
2
=
(d) Zur Erinnerung: eine Relation heißt total, wenn für alle x, y ∈ X gilt: xRy oder
yRx. Insbesondere sind totale Relationen reflexiv, d.h. die Inzidenzmatrizen haben
2
1en auf der Diagonale. Auf jedem der n 2−n Paare von Nicht-Diagonaleinträgen gibt
n
n2 −n
es drei erlaubte Paare: (1, 1), (1, 0) und (0, 1). Daher gibt es 3 2 = 3( 2 ) totale
Relationen auf X.
24. Welche der folgenden Relationen auf der jeweiligen Menge M sind Äquivalenzrelationen?
Geben Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an, sowie ein Repräsentantensystem.
(a) M = Z, R = {(x, y) | x2 = y 2 }.
(b) M = Z, R = {(x, y) | 2 teilt x + y}.
(c) M = Z, R = {(x, y) | 3 teilt x + y}.
(d) M = R2 , (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) ⇐⇒ x1 − y1 = x2 − y2 .
(e) M die Menge aller Geraden in der Ebene R2 ; zwei Geraden stehen genau dann in
Relation, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.
Lösung: (a) R ist eine Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse einer Zahl x ist
gegeben durch {x, −x}. Ein Repräsentantensystem ist daher z.B. die Menge N0 .
(b) R ist eine Äquivalenzrelation. Reflexivität und Symmetrie sind offensichtlich.
Für die Transitivität sei xRy und yRz, also 2 ein Teiler von x + y und von y + z.
Damit ist 2 dann auch ein Teiler von (x + y) − (y + z) + 2z = x + z, also xRz.
Die Äquivalenzklasse einer Zahl x ist gegeben durch
[x] = {y ∈ Z | x + y gerade} = {y ∈ Z | x − y = x + y − 2y gerade}.
Es gibt also genau zwei Äquivalenzklassen, [0] und [1], die Menge der geraden und
die Menge der ungeraden Zahlen.
(c) R ist keine Äquivalenzrelation, z.B. gilt nicht 1R1, da 3 nicht 2 teilt.
(d) R ist eine Äquivalenzrelation. Reflexivität folgt direkt aus der Definition.
Symmetrie: Aus x1 − y1 = x2 − y2 folgt natürlich sofort x2 − y2 = x1 − y1 .
Transitivität: Sei (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) und (x2 , y2 )R(x3 , y3 ), also x1 − y1 = x2 − y2 und
x2 − y2 = x3 − y3 . Dann folgt auch x1 − y1 = x3 − y3 , also (x1 , y1 )R(x3 , y3 ).
Setzen wir c := x1 − y1 , so gilt (x1 , y1 )R(x2 , y2 ) genau dann, wenn beide Punkte
(x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) auf der Geraden x − y = c liegen.
Die Äquivalenzklassen sind daher die Parallelen zur Geraden x = y, und ein Repräsentantensystem ist gegeben durch die Punkte {(c, 0) | c ∈ R} (Schnittpunkte
der Geraden mit der x-Achse).
(e) R ist keine Äquivalenzrelation, da nicht reflexiv (eine Gerade steht nicht senkrecht auf sich selbst).
Knacky 8: Ein Schachturnier
Bei einem Schachturnier mit 8 Teilnehmern spielt jeder gegen jeden anderen genau eine Partie.
Wieviele mögliche Ausgänge gibt es bei einem solchen Turnier (Gewinn, Verlust oder Remis
= Unentschieden in jeder Partie)?
Durch die Gesamtpunktezahlen aus allen gespielten Partien (1 für Gewinn, 1/2 für Remis, 0
für Verlust) werden totale Quasiordnungen zwischen den Spielern hergestellt.
Wieviele Rankings können dabei entstehen?
Lösung: Es werden 82 Partien mit je drei möglichen Ausgängen gespielt. Insgesamt gibt
es also 328 = 22876792454961 mögliche Ausgänge.
Für die möglichen Rankings müssen alle totalen Quasi-Ordnungen bzw. alle geordneten
Partitionen
von 8 Spielern bestimmt werden. Das sind zusammen
P8
m!S
n,m = 1!·1+2!·127+3!·966+4!·1701+5!·1050+6!·266+7!·28+8!·1 = 545835.
m=1
(Warum sind diese Rankings tatsächlich allesamt realisierbar?)