Arithmetik Vorlesungsklausur

WS 2008/09 Klausur zur Vorlesung Arithmetik – Lösungshinweise
1. Die Anzahl der Mengen T ist: 2 hoch 400
Da X Teilemenge von T ist, sind alle Elemente aus X auch in T. Es gibt nur diese eine
Möglichkeit. T hat also min. 100 Elemente (die aus X).
Darüber hinaus hat T max. 500 Elemente, da es auch Teilmenge von Y ist.
Jedes Element „dazwischen“ (also von 101 bis 500) hat 2 Möglichkeiten, entweder ist es in T
enthalten, oder eben nicht. Jedes dieser 400 Elemente (101 bis 500) hat 2 Möglichkeiten und
kann unabhängig von den anderen Elementen enthalten sein, oder nicht. Laut Kombinatorik
also 2 hoch 400.
Diese Aufgabe gab es analog schon mal auf einem Übungszettel.
2. Es sei M eine Menge, auf der es genau 1024 symmetrische Relationen gibt.
Man bestimme die Anzahl der reflexiven Relationen auf M.
1024=2 hoch 10
Laut Formel für symmetrische Relationen hat M dann genau 4 Elemente.
(Formel symm. Relationen: 2 hoch (n+(n²/2-n/2) -> n=4 für 2 hoch 10 )
Insgesamt gibt es auf M also n²=4²=16 Relationen.
Da bei reflexiven Relationen die gesamte Hauptdiagonale in der Tabelle bekreuzt sein muss,
fallen diese als Wahlmöglichkeit weg. Übrig bleiben 2 hoch (n²-n), hier für n=4 also 2 hoch
12 reflexive Relationen.
3. a) A=(1) und B=(1)
b) A=(1) und B=(2)
4. Dies kann man am besten mit Wahrheitswertetafeln zeigen. Die Aussagen A, B, C
kombiniert man in der Tafel. Dann zerlegt man die 4 verschiedenen Formeln in Teilaussagen
(das, was in Klammern steht) und fügt diese dann zu den Gesamtaussagen zusammen. Wenn
diese dann dieselben Wahrheitswerte in der Tabelle haben, wie die zu vergleichende Formel
(A oder B)->C, sind sie äquivalent, sonst nicht.
A B C A oder B (A oder B)->C A->C B->C A->C oder B->C
…
1 1 1 1
1
1
1
1
1 1 0 1
0
0
0
0
1 0 1 1
1
1
1
1
1 0 0 1
0
1
0
1
0 1 1 1
1
1
1
1
0 1 0 1
1
0
0
1
0 0 1 0
1
1
1
1
0 0 0 0
1
1
1
1
Diese beiden Formel sind also nicht äquivalent.
5. Damit eine Bisubjunktion wahr wird, müssen beiden Teile enweder beide wahr oder beide
falsch sein, also wahr <-> wahr oder falsch <-> falsch.
Überlege also, wann n=5 wahr ist und wann 5 teilt n wahr ist, für n aus N.
Der linke Teil ist nur für n=5 wahr. Da auch 5 teilt 5 gilt, ist das schon mal eine wahre
Aussage.
Untersuche nun alle übrigen Zahlen aus N (ohne 5). Für diese ist der linke Teil n=5 immer
falsch, also muss der rechte Teil auch falsch werden, damit die Gesamtaussage
(Bisubjunktion) wahr wird.
Wann ist 5 teilt n also falsch? Für alle Zahlen aus N, die nicht durch 5 teilbar sind. Dies sind
alle natürlichen Zahlen ohne die 5,10,15,20,25,… In Frage kommen hier also:
(1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,…) denn hier ist 5 teilt n falsch. Außerdem ist hier auch
n=5 immer falsch. Dies ist auch schon fast die gesamte Lösungsmenge, vergessen dürfen wir
aber nicht den Sonderfall n=5, wo die Bisubjunktion ebenfalls wahr ist. Die 5 müssen wir also
hinzufügen: Lösungsmenge L=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,…)