Blatt8_Lösungen - Leibniz Universität Hannover

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné, apl.Prof. Dr. T. Holm
23. Juni 2009
Übungen zu Diskrete Strukturen
Sommersemester 2009
Blatt 8 - Lösungshinweise
24. Bestimmen Sie für eine n-elementige Menge X die Anzahl der
(a) reflexiven, (b) symmetrischen, (c) totalen Relationen auf X.
Lösung: Wir betrachten die möglichen Inzidenzmatrizen (Zeilen und Spalten indiziert
bezüglich einer fest gewählten Reihenfolge der Elemente in X).
(a) Die Inzidenzmatrizen der reflexiven Relationen müssen 1en auf der Diagonalen haben.
Alle anderen n2 − n Einträge der Inzidenzmatrix sind frei wählbar aus {0, 1}. Daher
2
gibt es 2n −n reflexive Relationen auf X.
(b) Die symmetrischen Relationen entsprechen genau den symmetrischen 0 − 1-Matrizen.
Bei einer symmetrischen Matrix sind die n Diagonaleinträge frei wählbar; auf den
n2 − n Nicht-Diagonaleinträgen ist die Hälfte frei wählbar (denn mit dem (x, y)n+1
n2 −n
n2 +n
Eintrag ist der (y, x)-Eintrag auch fest). Daher gibt es 2n+ 2 = 2 2 = 2( 2 )
symmetrische Relationen auf X.
(c) Zur Erinnerung: eine Relation heißt total, wenn für alle x, y ∈ X gilt: xRy oder yRx.
Insbesondere sind totale Relationen reflexiv, d.h. die Inzidenzmatrizen haben 1en auf
2
der Diagonale. Auf jedem der n 2−n Paare von Nicht-Diagonaleinträgen gibt es drei
n
n2 −n
erlaubte Paare: (1, 1), (1, 0) und (0, 1). Daher gibt es 3 2 = 3( 2 ) totale Relationen
auf X.
25. Bestimmen Sie die Zusammenhangskomponenten (d.h. die Äquivalenzklassen der reflexivsymmetrisch-transitiven Hülle) folgender Relation auf Z, der Menge der ganzen Zahlen:
(a) R = {(x, y) | |x| = |y|},
(b) R = {(x, y) | |x − y| = 3},
(c) R = {(x, y) | x und y sind teilerfremd}.
Lösung: Anschaulich sind zwei Elemente in der gleichen Zusammenhangskomponente,
wenn sie im Diagramm von R durch einen ungerichteten Weg verbunden sind. Formaler: x, y ∈ (Rs )∧ , wobei Rs = R ∪ Rd die symmetrische Hülle ist und (Rs )∧ = (Rs )≥0 der
reflexiv-transitive Abschluss.
(a) Die Zusammenhangskomponenten sind K0 = {0} und Kn = {−n, n}, n ∈ N.
(b) R ist symmetrisch, also (Rs )∧ = R∧ = {(x, y) | |x − y| = 3m für ein m ∈ N0 }. Es
gibt also genau drei Zusammenhangskomponenten: K0 = 3Z = {3m | m ∈ Z}, K1 =
3Z + 1 = {3m + 1 | m ∈ Z}, K2 = 3Z + 2 = {3m + 2 | m ∈ Z}.
(c) Je zwei ganze Zahlen x, y sind durch einen (ungerichteten) R-Weg miteinander verbunden, denn xR1 und 1Ry. Also ist Z die einzige Zusammenhangskomponente.
26. Welche der folgenden Relationen sind azyklisch, welche sind Diagramm-Relationen, d.h. intransitiv?
(a) R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 2)},
(b) R2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 4)},
(c) R3 = {(1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4)}.
Bestimmen sie jeweils die transitive Hülle Rj→ und die Nachbarschaftsrelation Rj∨ .
≥2
Lösung: Die Nachbarschaftsrelation einer Relation R ist definiert als R∨ = R6= \ R6=
, die
→
≥1
≥2
c
transitive Hülle als R = R . R heißt intransitiv, wenn R ⊆ R ; R heißt azyklisch,
wenn es keine Zykel positiver Länge in R gibt.
(a) R1 ist nicht azyklisch, denn (2, 3, 4) ist ein echter Zykel in R1 . Insbesondere ist R1
nicht intransitiv; z.B. ist (2, 3) ∈ R≥2 ∩ R, also R≥2 6⊆ Rc . Es ist
R1→ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
und R1∨ = {(1, 2)}.
(b) R2 ist offenbar azyklisch, aber nicht intransitiv (denn (2, 4) ∈ R≥2 ∩ R). Wir haben
R1→ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} und R2∨ = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}.
(c) R3 ist offenbar azyklisch und R3 ist auch intransitiv, da R3≥2 = ∅. Da es keine Wege
der Länge ≥ 2 in R3 gibt, ist R3→ = R3 = R3∨ .