Kapitel 15 - Universität Magdeburg

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Vorlesung
Mathematik für Ingenieure 3
(Wintersemester 2008/09)
Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren
Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
(Version vom 19. November 2008)
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Diagonalisierbarkeit
Definition 15.1
Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt diagonalisierbar, wenn
es eine invertierbare Matrix S ∈ Kn×n gibt, so dass
D = S −1 AS eine Diagonalmatrix ist.
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Eigenwerte und -vektoren
Definition 15.2
Eine Zahl λ ∈ K heißt ein Eigenwert von
A ∈ Kn×n , wenn es (wenigstens) einen Vektor
v ∈ Kn \ {On } gibt mit
Av = λv .
Diese Vektoren heißen dann Eigenvektoren zum
Eigenwert λ.
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Kriterium für Diagonalisierbarkeit
Satz 15.3
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann
diagonalisierbar, wenn es eine Basis von Kn aus
lauter Eigenvektoren von A gibt. Schreibt man diese
Basisvektoren als Spalten in eine Matrix S ∈ Kn×n ,
so ist S −1 AS eine Diagonalmatrix, auf deren
Diagonalen die zu den Basisvektoren gehörenden
Eigenwerte stehen.
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Eigenräume
Definition 15.4
Für einen Eigenwert λ ∈ K von A ∈ Kn×n heißt
EigA (λ) = {v ∈ Kn | Av = λv }
der Eigenraum zum Eigenwert λ.
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Das charakteristische Polynom
Definition 15.5
Für eine Matrix A ∈ Kn×n heißt
χA = det(A − x · In ) ∈ K[x]n
das charakteristische Polynom von A.
Satz 15.6
Die Eigenwerte von A ∈ Kn×n sind genau die
Nullstellen des charakteristischen Polynoms
χA ∈ K[x]n von A.
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Konsequenzen
Bemerkung 15.7
Eine Matrix A ∈ Kn×n hat also höchstens n
Eigenwerte (weil χA den Grad n hat).
Satz 15.8
Jede Matrix in Cn×n hat wenigstens einen
Eigenwert; wegen Rn×n ⊆ Cn×n hat also jede Matrix
wenigstens einen Eigenwert in C.
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Nicht-reelle Eigenwerte reeller Matrizen
Bemerkung 15.9
Die nicht-reellen Eigenwerte reeller Matrizen treten
als Paare zueinander komplex-konjugierter
komplexer Zahlen auf.
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Vielfachheiten von Nullstellen
I
Jedes Polynom p(x) ∈ C[x] vom Grad n
zerfällt in n Linearfaktoren:
p(x) = α · (λ1 − x)k1 · (λ2 − x)k2 · · · · · (λr − x)kr
I
mit
α ∈ C \ {O} , λi 6= λj , k1 + k2 + · · · + kr = n
λ1 , . . . , λr sind genau die Nullstellen von p(x),
ihre Vielfachheiten sind k1 , . . . , kr .
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Vielfachheiten von Eigenwerten
Definition 15.10
Ist λ ∈ K ein Eigenwert von A ∈ Kn×n , so ist die
algebraische Vielfachheit von λ die Vielfachheit
der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χA
von A; die geometrische Vielfachheit von λ ist
dim (EigA (λ)).
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Algebraische und geometrische
Vielfachheit
Satz 15.11
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist
höchstens so groß wie seine algebraische
Vielfachheit; für jeden Eigenwert gilt also:
1 ≤ geom. Vielf. ≤ alg. Vielf.
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Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte
Satz 15.12
Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann (über K)
diagonalisierbar, wenn ihr charakteristisches
Polynom χA (über K) in Linearfaktoren zerfällt und
für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit so
groß wie die algebraische ist.
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Determinante und Spur. . .
Satz 15.13
Sind λ1 , . . . , λr ∈ C die Eigenwerte einer Matrix
A ∈ Cn×n mit algebraischen Vielfachheiten
k1 , . . . , kr , so ist
k
k
I det (A) = λ 1 · λ 2 · · · · · λkr
r
2
1
I Spur (A) = k1 λ1 + k2 λ2 + · · · + kr λr
n
P
(Spur (A) =
Aii )
i=1
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. . . im charakteristischen Polynom
Bemerkung 15.14
Für jede Matrix A ∈ Kn×n ist
χA = (−1)n x n +(−1)n−1 Spur (A)x n−1 +· · ·+det (A),
Spur und Determinante findet man also in den
Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.
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Komplex konjugierte Vektoren/Matrizen
Definition 15.15
Für v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn sei v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn
der zu v komplex konjugierte Vektor; für
A = (aij ) ∈ Cn×n sei A = (aij ) ∈ Cn×n die zu A
komplex konjugierte Matrix.
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Symmetrische reelle Matrizen
Satz 15.16
Jede symmetrische reelle Matrix A ∈ Rn×n ist über
R diagonalisierbar.
Satz 15.17
Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten einer
symmetrischen reellen Matrix stehen orthogonal
zueinander (d.h., je zwei Vektoren aus verschiedenen
Eigenräumen haben Skalarprodukt Null).
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Orthonormalbasen, orthogonale Matrizen
Definition 15.18
Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von Rn ,
deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinander
stehen und Norm Eins haben.
Definition 15.19
Eine Matrix S ∈ Rn×n heißt orthogonal, wenn
S T S = I (d. h. S −1 = S T ) gilt.
Bemerkung 15.20
Eine Matrix S ∈ Rn×n ist genau dann orthogonal,
wenn die Spalten von S eine Orthonormalbasis
von Rn bilden.
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Reelle symmetrische Matrizen
Satz 15.21
Für jede symmetrische Matrix A ∈ Rn×n gibt es eine
orthogonale Matrix S ∈ Rn×n , so dass S T AS = D
Diagonalgestalt hat. Die Eigenwerte von A stehen
dabei mit ihren (algebraischen, geometrischen)
Vielfachheiten auf der Diagonalen von D. Die
Spalten von S bilden eine Orthonormalbasis von Rn
aus Eigenvektoren von A.
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Hermitesche Matrizen
Definition 15.22
Eine Matix A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn
T
A = A ist.
Satz 15.23
Jede hermitesche Matrix A ∈ Cn×n ist
diagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte.