A Lösung

4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Teil 2
zum SS 2011
Matrikelnummer
9.11.2011
Familienname
Vorname
Gruppe
Lösung
A
Tragen Sie mit Kugelschreiber Matrikelnummer, Nachnamen und Vornamen in Blockbuchstaben ein.
Legen Sie einen Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Unterlagen: Skriptum, Vorlesungsfolien.
Schreiben Sie alle Lösungen auf diese Blätter und geben Sie die Prüfungsarbeit ohne Zusatzblätter ab.
Sie haben 120 Minuten zur Bearbeitung beider Angabenteile. Viel Erfolg!
Achtung! Sie sollten zwei getrennt geklammerte Angaben erhalten haben (weiß und
grau). Sie müssen beide Teile der Prüfung bearbeiten!
6.) Es gelten folgende Aussagen:
(a) Entweder Hamid oder Sonja studiert, aber nicht beide.
(b) Wenn Sonja nicht studiert, dann studieren sowohl Lucy als auch Hamid.
(c) Lucy studiert falls Hamid studiert.
Geben Sie einen Sequenten an, der ausdrückt, dass aus den drei Bedingungen logisch folgt,
dass wenigstens eine der drei Personen nicht studiert.
Verwenden Sie dabei die drei aussagenlogischen Variable H, S, L für “Hamid studiert”,
“Sonja studiert”, bzw. “Lucy studiert”.
(5 Punkte)
Lösung: (H ∨ S) ∧ ¬(H ∧ S), ¬S ⊃ (L ∧ H), H ⊃ L ⊢ ¬H ∨ ¬S ∨ ¬L
Bitte freilassen:
6
7
8
9
10
A
7.) Verwenden Sie den Tableau-Kalkül (NICHT Sequentialkalkülableitung oder Wahrheitstafeln!) um entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel zur Behauptung zu finden, dass die
Formel ¬(A ∧ ¬H) aus den beiden Formeln C ⊃ H und ¬A ∨ C logisch folgt. (6 Punkte)
Lösung: Wir bilden folgendes Tableau:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(10)
(12)
t : ¬A
f :A
×
t:C⊃H
t : ¬A ∨ C
f : ¬(A ∧ ¬H)
t : A ∧ ¬H
t:A
t : ¬H
f :H
f :C
von 1
von 2
(11) t : C von 2
von 10
× (8/11)
(5/12)
(9)
t:H
×
Annahme
Annahme
Annahme
von 3
von 4
von 4
von 6
von 1
(7/9)
Das Tableau ist geschlossen und beweist daher die Gültigkeit der Konsequenzbehauptung.
A
8.) Geben Sie ein Gegenbeispiel mit Gegenstandsbereich {1, 4} zur Behauptung an, dass die
Formel (∀x)Q(x, y) aus der Formel (∀y)(∃x)(Q(y, y) ∧ Q(b, x)) logisch folgt.
Die widerlegende Interpretationen ist vollständig (gemäß Definition 4.6) zu spezifizieren.
Setzen Sie dabei Φ(Q) = R und definieren Sie das Prädikat R explizit.
Beantworten Sie außerdem folgende Frage: Welche Variablen kommen in den beiden Formeln
frei vor und welche kommen darin gebunden vor?
(5 Punkte)
Lösung: Eine von vielen möglichen Lösungen lautet wie folgt:
Gegenbeispiel I = hh{1, 4}, {}, {R}, {1}i, Φ, Ii, wobei für die Signaturinterpretation Φ gilt:
Φ(b) = 1; Φ(Q) = R ist wie folgt spezifiert: R(1, 1) = R(4, 4) = t, R(1, 4) = R(4, 1) = f .
Die Variablenbelegung sei durch I(v) = 1 für alle Variablen v gegeben.
(∀y)(∃x)(Q(y, y) ∧ Q(b, x)) ist in der Interpretation I wahr, aber (∀x)Q(x, y) ist falsch. Daher
ist I ein Gegenbeispiel zur Konsequenzbehauptung.
In der ersten Formel kommt die Variable y frei vor, alle anderen Vorkommen von x und y in
beiden Formeln sind gebunden.
A
9.) Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass die Formel (∃z)[Q(z, z) ⊃ (∀y)Q(h(y), h(y))]
allgemein gültig ist.
Geben Sie dabei verwendete MGUs und resolvierte Atome an.
(6 Punkte)
Lösung: Um die Gültigkeit von (∃z)[Q(z, z) ⊃ (∀y)Q(h(y), h(y))] zu zeigen, bilden wir folgende
Klauselmenge:
– cl(¬(∃z)[Q(z, z) ⊃ (∀y)Q(h(y), h(y))]) = cl((∀z)¬[¬Q(z, z) ∨ (∀y)Q(h(y), h(y))]) =
cl((∀z)[¬¬Q(z, z) ∧ ¬(∀y)Q(h(y), h(y))]) = cl((∀z)[Q(z, z) ∧ (∃y)¬Q(h(y), h(y))]) =
cl(Q(z, z) ∧ ¬Q(h(f (z)), h(f (z)))]) =
1:
2:
3:
Es ergibt sich folgende Resolutionswiderlegung von K = {{Q(z, z)}, {¬Q(h(f (z)), h(f (z)))}}:
{Q(z, z)} ∈′ K
{¬Q(h(f (z ′ )), h(f (z ′ )))} ∈′ K
{} Robinson-Resolvent von 1,2 mit MGU θ = {z ← h(f (z ′ ))}
und resolviertem Atom Q(h(f (z ′ )), h(f (z ′ )))
A
10.) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, und begründen Sie Ihre
Antworten. (Zwei Punkte für jede richtige Antwort mit richtiger Begründung, einen Punkt
für jede richtige Antworten mit leicht fehlerhafter Begründung, keinen Punkt für falsche
Antworten oder fehlerhafte Begründungen.)
– {x ← c, a ← y} ist ein MGU der Atome P (x, a) und P (c, y).
Begründung:
2 richtig ×
2 falsch
Lösung: a ist (gemäß der Notationsvereinbarungen) eine Konstante und kann daher
nicht substituiert werden. Es muss y ← a statt a ← y heißen.
– Nicht jede erfüllbare Formel hat auch Gegenbeispiele.
Begründung:
×
2 richtig 2 falsch
Lösung: Gültige Formeln sind immer auch erfüllbar, haben aber keine Gegenbeispiele.
– Man kann Modellstrukturen definieren, deren Gegenstandsbereich aus nur einem Element besteht.
×
Begründung:
2 richtig 2 falsch
Lösung: Jede nicht-leere Menge kann Gegenstandsbereich einer Modellstruktur sein.
– Wenn G eine logische Konsequenz von F ist, dann existiert ein geschlossenes Tableau,
dass mit f : G gefolgt von t : F beginnt.
×
Begründung:
2 richtig 2 falsch
Lösung: Wenn G eine logische Konsequenz von F ist, dann gibt es keine Interpretation,
die G falsch, aber F wahr macht. Daher fähren die Behauptungen f : G und t : F
auf einen Widerspruch, der wegen der Vollständigkeit des Tableau-Kalküls in einem
geschlossenen Tableau resultiert.
(8 Punkte)
4.0 VU Theoretische Informatik und Logik
Teil 2
zum SS 2011
Matrikelnummer
9.11.2011
Familienname
Vorname
Gruppe
Lösung
B
Tragen Sie mit Kugelschreiber Matrikelnummer, Nachnamen und Vornamen in Blockbuchstaben ein.
Legen Sie einen Lichtbildausweis bereit. Erlaubte Unterlagen: Skriptum, Vorlesungsfolien.
Schreiben Sie alle Lösungen auf diese Blätter und geben Sie die Prüfungsarbeit ohne Zusatzblätter ab.
Sie haben 120 Minuten zur Bearbeitung beider Angabenteile. Viel Erfolg!
Achtung! Sie sollten zwei getrennt geklammerte Angaben erhalten haben (weiß und
grau). Sie müssen beide Teile der Prüfung bearbeiten!
6.) Es gelten folgende Aussagen:
(a) Maria schläft genau dann wenn Abdul wach ist.
(b) Wenn Tim wach ist, dann schlafen sowohl Abdul als auch Maria.
(c) Tim schläft, falls auch Abdul schläft.
Geben Sie einen Sequenten an, der ausdrückt, dass aus den drei Bedingungen logisch folgt,
dass wenigstens eine der drei Personen wach ist.
Verwenden Sie dabei die drei aussagenlogischen Variable A, M , T für “Abdul schläft”, “Maria
schläft”, bzw. “Tim schläft” und formalisieren Sie “ist wach” wie “schläft nicht”.
HINWEIS: Beachten Sie, dass es im Sequentialkalkül keinen Junktor für “genau dann wenn”
gibt.
(5 Punkte)
Lösung: (M ⊃ ¬A) ∧ (¬A ⊃ M ), ¬T ⊃ (A ∧ M ), A ⊃ T ⊢ ¬A ∨ ¬M ∨ ¬T
Bitte freilassen:
6
7
8
9
10
B
7.) Verwenden Sie den Sequentialkalkül (NICHT Tableau-Kalkül!) um entweder einen Beweis
oder ein Gegenbeispiel zur Behauptung zu finden, dass die Formel ¬(C ∧ ¬H) aus den beiden
Formeln D ⊃ H und ¬C ∨ D logisch folgt.
(6 Punkte)
Lösung: xxxx
B
8.) Geben Sie ein Gegenbeispiel mit Gegenstandsbereich {1, 3} zur Behauptung an, dass die
Formel (∀u)P (u, v) aus der Formel (∀v)(∃u)(P (v, v) ∧ P (c, u)) logisch folgt.
Die widerlegende Interpretationen ist vollständig (gemäß Definition 4.6) zu spezifizieren.
Setzen Sie dabei Φ(P ) = R und definieren Sie das Prädikat R explizit.
Beantworten Sie außerdem folgende Frage: Welche Variablen kommen in den beiden Formeln
frei vor und welche kommen darin gebunden vor?
(5 Punkte)
Lösung: Eine von vielen möglichen Lösungen lautet wie folgt:
Gegenbeispiel I = hh{1, 3}, {}, {R}, {1}i, Φ, Ii, wobei für die Signaturinterpretation Φ gilt:
Φ(c) = 1; Φ(P ) = R ist wie folgt spezifiert: R(1, 1) = R(3, 3) = t, R(1, 3) = R(3, 1) = f .
Die Variablenbelegung sei durch I(x) = 1 für alle Variablen x gegeben.
(∀v)(∃u)(P (v, v) ∧ P (c, u)) ist in der Interpretation I wahr, aber (∀u)P (u, v) ist falsch. Daher
ist I ein Gegenbeispiel zur Konsequenzbehauptung.
In der ersten Formel kommt die Variable v frei vor, alle anderen Vorkommen von u und v in
beiden Formeln sind gebunden.
B
9.) Zeigen Sie mit dem Tableau-Kalkül, dass die Formel (∃u)[Q(u, u) ⊃ (∀z)Q(f (z), f (z))] allgemein gültig ist.
Markieren Sie dabei γ und δ-Formeln als solche.
(6 Punkte)
Lösung: Tab
B
10.) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind, und begründen Sie Ihre
Antworten. (Zwei Punkte für jede richtige Antwort mit richtiger Begründung, einen Punkt
für jede richtige Antworten mit leicht fehlerhafter Begründung, keinen Punkt für falsche
Antworten oder fehlerhafte Begründungen.)
– Aus der Korrektheit des Tableau-Kalküls folgt, dass zu jeder gültigen Formel F ein
geschlossenes Tableau mit Wurzel f : F existert.
Begründung:
2 richtig ×
2 falsch
Lösung: Die Aussage entspricht der Vollständigkeit des Tableau-Kalküls. Korrektheit
ist die umgekehrte Aussage: Wenn ein geschlossenes Tableau mit Wurzel f : F exisitert,
dann ist F gültig.
– Manche Klauseln haben keinen Faktor.
Begründung:
2 richtig ×
2 falsch
Lösung: Laut Definition eines Faktors ist jede Klausel auch ein Faktor von sich selbst.
– Es gibt Klauselmengen die unerfüllbar sind, aber die leere Klausel nicht enthalten.
×
Begründung:
2 richtig 2 falsch
Lösung: Z.B. die Klauselmenge {{A}, {¬A}} ist unerfüllbar ohne die leere Klausel zu
enthalten.
– Eine aussagenlogische Interpretation ist eine Funtkion. Nämlich eine, die für jede aussagenlogischen Variable, also für jede nicht-konstante atomare Formel, festlegt, ob diese
wahr oder falsch ist.
×
Begründung:
2 richtig 2 falsch
Lösung: Eine aussagenlogische Interpretation ist eine Funktion vom Typ AV → {t, f },
also eben eine Zuordnung von Wahrheitswerten zu aussagenlogischen Variablen. Weiters
besteht die Menge der atomaren Formeln aus AV und den Wahrheitskonstanten. Daher
sind die aussagenlogischen Variabeln die genau die nicht-konstanten atomaren Formeln.
(8 Punkte)