Elektrodynamik für Bachelor plus Aufgabenblatt 12 – Probeklausur

Elektrodynamik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 12 – Probeklausur
Abgabe: 5. Juli 2016
Erinnerung: Klausur am 27.7.2016, 9.00 Uhr, 3 Stunden, im B138
(Theresienstr. 39)
Aufgabe 1: Kurze Fragen (18 Punkte)
(a) Berechnen Sie die Rotation des Vektorfeldes


y2
(2 Punkte)
~v =  2xy + z 2  .
2yz
(b) Was ist die physikalische Aussage der Kontinuitätsgleichung
(mit Begründung)? (2 Punkte)
(1.1)
∂ρ
∂t
~ · ~j = 0
+∇
(c) Ziehen sich zwei parallele Drähte, die mit gleichgerichteten Strömen durchflossen werden, gegenseitig an, oder stoßen sie sich gegenseitig ab (mit Begründung)? (2 Punkte)
(d) Betrachten Sie die folgende Ladungsverteilung (wobei alle vier Ladungen
den selben Betrag haben mögen):
Was ist die führende 1/r-Potenz in der Entwicklung ihres elektrischen Feldes
für großen Abstand (mit Begründung)? (2 Punkte)
~ = B0~r für konstantes B0 eine mögliche Lösung der Maxwell Gleichun(e) Ist B
gen (mit Begründung)? (2 Punkte)
(f ) Was beschreibt der Poyntingvektor? (2 Punkte)
~ = −∇Φ
~ für ein skalares Potential Φ. Begründen
(g) In der Elektrostatik gilt E
Sie, wieso dies in der Elektrodynamik nicht mehr gilt. (2 Punkte)
(h) Ein Kondensator werde durch einen batteriegetriebenen Strom I aufgeladen (s. Bild). Betrachtet man einen Kreis K um den Draht, so gilt nach dem
RSatz von Stokes für das Linienintegral des Magnetfeldes entlang des Kreises K,
~ daß es proportional zum Strom ist, der durch die Fläche F1 tritt, die
d~l · B,
K
den Kreis K als Rand hat (s. Bild). Man könnte jedoch im Satz von Stokes
genauso gut die Fläche F2 betrachten, die ebenfalls K als Rand hat. Durch F2
tritt allerdings kein Strom, da der Draht diese Fläche nicht trifft. Wieso ist das
1
Fläche F2
Kreis K
Fläche F1
Kondensator
Batterie
kein Widerspruch? (2 Punkte)
(i) Gegeben sei eine Leiterschleife in der (x, y)-Ebene, durch die zunächst kein
Strom fließe. Zum Zeitpunkt t = 0 werde plötzlich ein Strom I1 angeschaltet.
Eine zweite Leiterschleife befinde sich parallel zur ersten, um ein Lichtjahr entlang der positiven z-Achse verschoben. Durch sie fließe ein zeitlich konstanter
Strom I2 . Welche Kraft übt die erste Leiterschleife auf die zweite zum Zeitpunkt
des Anschaltvorgangs, t = 0, aus? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 Punkte)
Aufgabe 2: Zylinderförmiger Leiter (12 Punkte)
Ein unendlich langer Leiter in Form eines Hohlzylinders mit innerem Radius
R1 und äußerem Radius R2 trage einen Strom I in positiver z-Richtung. Die
Stromdichte im Leiter (d.h. im Bereich R1 ≤ s ≤ R2 ) sei homogen.
(a) Drücken Sie die Stromdichte ~j durch I aus? (2 Punkte)
~ in z-Richtung zeigt.
(b) Argumentieren Sie nun, dass das Vektorpotential A
Dazu reicht es zu zeigen, daß jedes endlich lange Teilstück des Hohlzylinders
~ liefert, der proportional zu ~ez ist. (3 Punkte)
einen Beitrag zu A
(c) Benutzen Sie nun Aufgabenteil (b) und die Symmetrie des Problems, um
einen Ansatz für das Magnetfeld zu machen. Berechnen Sie dann mit Hilfe
2
des Ampère’schen Gesetzes das Magnetfeld in den drei Bereichen s < R1 ,
R1 < s < R2 und s > R2 . (Falls Sie Aufgabenteil (a) nicht lösen konnten,
rechnen Sie einfach mit einer konstanten Stromdichte ~j0 im Inneren des Leiters.) (7 Punkte)
Hinweis: Die Rotation in Zylinderkoordinaten ist
1 ∂Az
∂Aϕ
∂As
∂Az
1 ∂(sAϕ ) ∂As
~
~
∇×A=
~es +
~eϕ +
~ez .
−
−
−
s ∂ϕ
∂z
∂z
∂s
s
∂s
∂ϕ
(2.1)
Aufgabe 3: Elektrisches Feld des Wasserstoffatoms
(10 Punkte)
Die Kernladung e des Wasserstoffatoms sei im Koordinatenursprung konzen~ K (~r) = e 12 ~er .
triert, so daß die Feldstärke des Kerns gegeben ist durch E
4π0 r
(a) Die Elektronenladungsdichte im Grundzustand des Atoms ist kugelsymmetrisch und kann durch
e−2r/a
ρe (r) = −e
(3.1)
πa3
beschrieben werden, wobei a der Bohrsche Radius ist. Nutzen Sie die Kugelsym~ e (~r) zu berechmetrie und den Satz von Gauß, um die elektronische Feldstärke E
~
~
~
nen. Bestimmen Sie damit die Gesamtfeldstärke EH = EK + Ee . (8 Punkte)
Hinweis: Für β ∈ R gilt
Z
e−βx
dxx2 e−βx = −(2 + 2βx + β 2 x2 ) 3 .
β
(3.2)
~ H für r a, d.h. sehr in der
(b) Was ist der Limes der Gesamtfeldstärke E
Nähe des Kerns, bzw. für r a, d.h. sehr weit entfernt vom Kern? (2 Punkte)
Aufgabe 4: Elektromagnetische Wellen (15 Punkte)
(a) Zeigen Sie mit Hilfe der Maxwell Gleichungen, daß das Vektorpotential die
inhomogene Wellengleichung
~ − µ0 0
∆A
~
∂2A
= −µ0~j
2
∂t
(4.1)
erfüllt, wenn man die Lorenzeichung
~ ·A
~ + µ0 0 ∂Φ = 0
∇
∂t
(4.2)
wählt. (5 Punkte)
~ ∇
~ · ~v ) − ∇
~ × (∇
~ × ~v ).
Hinweis: Für ein beliebiges Vektorfeld ~v (~r) gilt ∆~v = ∇(
(b) Betrachten Sie nun folgenden Ansatz für die elektromagnetischen Potentiale:
~ r, t) = Re[A
~ 0 ei(~k·~r−ωt) ] ,
A(~
3
Φ(~r, t) = 0 ,
(4.3)
~ 0 sei reell und konstant. Geben Sie der Reihe
der eine ebene Welle beschreibt. A
nach an, welche Bedingungen die einzelnen Maxwell Gleichungen im Vakuum
~ ·B
~ =0 ,
∇
~
~ ×E
~ + ∂B = 0 ,
∇
∂t
~ ·E
~ =0 ,
∇
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 0 (4.4)
∇
2
c ∂t
~ 0 , ~k und ω stellen. (10 Punkte)
an die Parameter A
Hinweis: Es ist sinnvoll, die Maxwell Gleichungen in der angegebenen Reihenfolge zu untersuchen.
Aufgabe 5: Lorentzkraft (15 Punkte)
Ein Elektron der Ladung q = −e und der Masse m bewege sich in einem sta~ = B~ez und einem ebenfalls statischen, aber
tischen homogenen Magnetfeld B
~
inhomogenen elektrischen Feld E, das durch das Potential
Φ(x, y, z) = (x2 + y 2 − 2z 2 )Φ0
,
Φ0 > 0
,
Φ0 = konstant
(5.1)
gegeben ist.
(a) Berechnen Sie das elektrische Feld aus dem Potential (5.1). (1 Punkt)
(b) Zeigen Sie, daß bei einer Bewegung entlang der z-Achse das Magnetfeld
keinen Einfluss hat, und daß das Elektron harmonische Schwingungen mit der
Frequenz
r
4eΦ0
(5.2)
ωz =
m
ausführt. (4 Punkte)
(c) Lösen Sie nun die Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit für den Fall
Φ0 = 0 und für eine Bewegung in der (x, y)-Ebene. D.h. lösen Sie
~
m~v˙ = −e~v × B
(5.3)
für eine solche Bewegung. Drücken Sie Ihr Ergebnis für ~v (t) durch die Zyklotronfrequenz
eB
ωc =
(5.4)
m
aus. (5 Punkte)
(d) Machen Sie nun (wieder für den allgemeinen Fall mit Φ0 6= 0) einen Ansatz
x(t) = A cos(ωM t) und y(t) = A sin(ωM t) von Kreisbahnen um den Ursprung in
der (x, y)-Ebene. Setzen Sie diesen in die Bewegungsgleichung für x(t) ein, um
zu bestimmen, wie die Magnetronfrequenz ωM mit ωz und ωc zusammenhängen
muß (Einsetzen in die Bewegungsgleichung für y liefert die selbe Bedingung und
muß daher nicht gemacht werden). Welche Beziehung muß also zwischen ωz und
ωc gelten, damit Kreisbahnen als Lösung der Bewegungsgleichung existieren? (5
Punkte)
Hinweis: Nach der p-q-Formel hat die Gleichung x2 + px + q = 0 die Lösungen
r p 2
p
−q .
(5.5)
x1,2 = − ±
2
2
4