Mathematik für Bioinformatiker I WS 12/13 Musterlösungen zur 3

Mathematik für Bioinformatiker I
WS 12/13
Musterlösungen zur 3. Übung
Aufgabe 1:
K. Kriegel
Potenzmengen
6 Punkte
Über zwei Objekte a und b sei Folgendes bekannt: a 6= b, a 6= ∅, b 6= ∅, a 6∈ b und
b 6∈ a. Daraus entstehen die Mengen A = {a, b}, B = {a, {b}, {A}}, C = P(A) \ B.
Bestimmen Sie die Größen (d.h. Anzahl der Elemente) der folgenden Mengen:
D = P(C) \ B
E = P(B) \ P(A)
F = P(A) ∪ P(B)
Man kann das durch Auflistung der Mengen und Abzählung lösen, aber es reicht auch
die Nennung der richtigen Zahlen mit einer kurzen Begründung.
Lösung: Zuerst listen wir C = P(A) \ B = {∅, {a}, {b}, A} \ {a, {b}, {A}} =
{∅, {a}, A} auf. Folglich ist |C| = 3.
In P(C) liegt nur ein Element aus B, nämlich {A}. Somit ist |D| = |P(C) \ B| =
23 − 1 = 7.
Im Durchschnitt P(A) ∩ P(B) liegen zwei Elemente, nämlich ∅ und {a}. Daraus
folgt |E| = |P(B) \ P(A)| = 23 − 2 = 6 sowie aus dem Inklusions-Exklusions-Prinzip
|F | = |P(A) ∪ P(B)| = 22 + 23 − 2 = 10.
Aufgabe 2:
Relationen
Die Relationen R, S, T, U ⊆
N+
×
N+
8 Punkte
sind wie folgt definiert:
a R b ⇐⇒ a | b (Teilbarkeitsrelation)
a S b ⇐⇒ a ≤ b (übliche Ordnungsrelation)
a T b ⇐⇒ a2 | b (b ist durch a2 teilbar)
a U b ⇐⇒ a3 | b (b ist durch a3 teilbar)
Untersuchen Sie, wie sich die folgenden Relationsverkettungen verhalten, geben Sie
jeweils eine Beschreibung dafür an (wie oben oder z.B. als leere, identische oder
Allrelation) und begründen Sie Ihre Antworten:
a) V = R◦S
b) W = T ◦U
c) X = T ◦U −1
d) Y = T ∩U −1
Lösung:
a) Behauptung: R ◦ S = S
Begründung: Man muss die Implikation (a, c) ∈ (R ◦ S) ⇒ (a, c) ∈ S und ihre
Gegenrichtung nachweisen. Das Erste ist leicht, denn für (a, c) ∈ (R ◦ S) muss es ein
b ∈ N+ geben, so dass a|b und b ≤ c. Daraus folgt aber auch a ≤ b und letztlich
a ≤ c aus der Transitivität von S. Für die Gegenrichtung nehmen wir a ≤ c an und
müssen ein b mit a|b und b ≤ c finden. Auch das ist nicht schwer, wir setzen b = a.
b) Behauptung: T ◦ U = {(a, c) | a6 |c}
Begründung: Man muss die Implikation (a, c) ∈ (T ◦ U ) ⇒ a6 |c und ihre Gegenrichtung nachweisen. Für (a, c) ∈ (T ◦ U ) muss es ein b geben, so dass a2 |b und b3 |c, also
b = ka2 und c = lb3 für bestimmte k, l ∈ N+ . Daraus folgt c = l(ka2 )3 = lk 3 a6 und
somit a6 |c. Für die Gegenrichtung nehmen wir a6 |c an und finden mit b = a2 einen
geeigneten Vermittler.
c) Behauptung: T ◦ U −1 = N+ × N+ die Allrelation.
Begründung: Man muss für beliebige a, c ∈ N+ ein b ∈ N+ finden, so dass a2 |b und
bU −1 c wobei letzteres als cU b oder c3 |b zu lesen ist. Wie man leicht sieht, werden
beide Forderungen durch b = a2 c3 erfüllt.
d) Behauptung: T ∩ U −1 = {(1, 1)} ist eine einelementige Relation.
Begründung: Die Tatsache, dass das Paar (1, 1) in T ∩ U −1 liegt, ist offensichtlich.
Wenn ein Paar (a, b) in T und in U −1 liegt, dann gilt a2 |b und b3 |a und damit
a ≤ a2 ≤ b und b ≤ b3 ≤ a, letztlich auch a = b. Darüber hinaus kann a aber auch
nicht größer als 1 sein, denn sonst wäre a < a2 ≤ b im Widerspruch zu a = b.
Aufgabe 3:
Äquivalenzrelationen
8 Punkte
Sei A = {100, 101, . . . , 999} die Menge der 3-stelligen Dezimalzahlen a2 a1 a0 und
betrachten Sie die folgenden Relationen auf A:
a)
b)
c)
d)
a2 a1 a0
a2 a1 a0
a2 a1 a0
a2 a1 a0
∼ b2 b1 b0
' b2 b1 b0
≈ b2 b1 b0
∼
= b2 b1 b0
⇐⇒ a2 = b2 ∨ a1 = b1 ∨ a0 = b0
⇐⇒ a2 + a1 + a0 = b2 + b1 + b0
⇐⇒ a2 + a1 + a0 + b2 + b1 + b0 ist durch 2 teilbar
⇐⇒ a2 + a1 + a0 + b2 + b1 + b0 ist durch 5 teilbar
Welche dieser Relationen sind Äquivalenzrelationen und welche nicht? Begründen
Sie negative Antworten durch einen Nachweis, welche Eigenschaft nicht erfüllt ist.
Geben Sie bei positiven Antworten eine kurze Begründung und bestimmen Sie die
Anzahl der Äquivalenzklassen.
Lösung: Die zweite und die dritte Relation sind Äquivalenzrelationen. Im Fall
von ' sind Reflexivität, Symmetrie und Transitivität offensichtlich. Die Anzahl der
Äquivalenzklassen wird durch die möglichen Summen aus den drei Ziffern festgelegt.
Da sich diese jeden ganzzahligen Wert von 1 bis 27 annehmen können, gibt es 27
Äquivalenzklassen.
Im Fall von ≈ ist die Symmetrie offensichtlich, die Reflexivität folgt daraus, dass
a2 + a1 + a0 + a2 + a1 + a0 = 2(a2 + a1 + a0 ) immer gerade ist und die Transitivität
aus der Tatsache, dass Summen und Differenzen von geraden Zahlen immer gerade
sind: Sind s = a2 + a1 + a0 + b2 + b1 + b0 und t = b2 + b1 + b0 + c2 + c1 + c0 gerade,
dann auch a2 + a1 + a0 + c2 + c1 + c0 = s + t − 2(b2 + b1 + b0 ).
Es gibt nur zwei Äquivalenzklassen, nämlich die Mengen der Zahlen mit gerader bzw.
mit ungerader Quersumme.
Dagegen sind die erste und die vierte Relation keine Äquivalenzrelationen, denn beide
sind nicht transitiv, die Relation ∼
= ist auch nicht reflexiv. Das kann durch einfache
Gegenbeispiele belegt werden:
201 ∼ 223 (erste Stelle) und 223 ∼ 563 (dritte Stelle), aber 201 6∼ 563.
111 ∼
6 440. Darüber hinaus ist 111 ∼
6 111.
= 200 und 200 ∼
= 440, aber 111 ∼
=
=