¨Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Aufgaben zur

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Wolfgang Merkle
Nadine Losert
21. Januar 2016
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Aufgaben zur Klausurvorbereitung
Keine Abgabe, die Aufgaben werden in den Übungsgruppen besprochen
Aufgabe 1
Seien ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 und ϕ4 die folgenden aussagenlogischen Formeln:
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
≡ ¬(A1 ∨ ¬¬A2 )
≡ (A2 → (A1 → A2 ))
≡ ((A2 → A1 ) → A2 )
≡ ¬¬¬A2
(a) Geben Sie die 2-stelligen Booleschen Funktionen fϕi ,2 an, die von ϕi dargestellt werden (i = 1, 2, 3, 4).
(b) Geben Sie zu folgenden Aussagen jeweils mit kurzer Begründung an, ob
diese wahr oder falsch sind.
(i) ϕ1 ϕ2 .
(ii) {ϕ1 , ϕ3 } ist erfüllbar.
(iii) ϕ2 äq (ϕ3 ∨ ϕ4 ).
(iv) ϕ4 ist in konjunktiver Normalform.
Aufgabe 2
Die Boolesche Funktion f : {0, 1}3 → {0, 1} sei definiert durch
(
3
1 falls x2 ≤ x1 +x
2
f (x1 , x2 , x3 ) =
0 sonst.
Geben Sie eine Boolesche Formel in disjunktiver Normalform an, die f darstellt.
Verwenden Sie hierzu das in der Vorlesung angegebene allgemeine
Verfahren!
Aufgabe 3
Sei L = L(R; f, +, ·) die prädikatenlogische Sprache mit einem 2-stelligen Relationszeichen R, einem 1-stelligen Funktionszeichen f und den 2-stelligen Funktionszeichen + und ·. Weiter sei A = (N; RA ; f A , +A , ·A ) eine L-Struktur mit
den natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, . . . } als Individuenbereich, in der die Funktionen +A und ·A gerade die übliche Addition und Multiplikation auf N seien.
Geben Sie L-Sätze σ1 , σ2 , σ3 und σ4 an, sodass gilt:
A σ1 ⇔ Die Relation RA ist der Graph der Funktion f A .
A σ2 ⇔ Die Relation RA ist die Relation ≤ auf N.
A σ3 ⇔ Die Funktion f A ist streng monoton wachsend.
A σ4 ⇔ Die Funktion f A ist die konstante Funktion mit Wert 2.
Hinweis: Zur Definition der Sätze σ2 , σ3 , σ4 empfiehlt es sich zunächst Hilfsformeln ϕ≤ (x, y) und ϕ< (x, y) bzw. ϕ0 (u) und ϕ1 (v) anzugeben, die die ≤- und
<-Relation auf N bzw. die Zahlen 0 und 1 beschreiben.
Aufgabe 4
Sei L eine Sprache der Prädikatenlogik, σ ein L-Satz und T eine Menge von
L-Sätzen.
(a) Was heißt es, dass σ aus T folgt?
(b) Was heißt es, dass σ aus T (im Shoenfield-Kalkül) beweisbar ist? Erklären
Sie hierzu, was man unter einem Beweis von σ aus T versteht!
(c) Sei ϕ1 , . . . , ϕn ein Beweis von σ aus T . Geben Sie explizit eine endliche
Teiltheorie T0 von T an, sodass T0 ` σ gilt. Begründen Sie Ihre Wahl von T0
und erklären Sie, weshalb es die gewünschten Eigenschaften hat.
Aufgabe 5
Sei L die Sprache L(f0 , f1 ; c0 , c1 ), wobei f0 und f1 1-stellige Funktionszeichen
und c0 und c1 Konstanten seien, und sei T = (L, Σ) die L-Theorie mit Axiomenmenge
Σ = {∀x(f0 (x) = f1 (x)), c0 6= c1 }.
(a) Welche Eigenschaften müssen die Grundfunktionen fiA und Konstanten cA
i
A
(i = 0, 1) haben, damit eine L-Struktur A = (A; f0A , f1A ; cA
0 , c1 ) ein Modell von
T ist?
A
(b) Geben Sie ein 2-elementiges Modell A von T an, in dem f0A (cA
0 ) = c0
B
B
B B
gilt, und ein 3-elementiges Modell B von T , in dem f0 (b) = c0 und f0 (c0 ) =
B
B B
f0B (cB
1 ) = c1 gilt, wobei {b, c0 , c1 } das Universum von B sei.
(c) Geben Sie das Termmodell AT von T an.
(d) Ist T konsistent? (Begründung!)
(e) Zeigen Sie, dass T nicht vollständig ist, indem Sie explizit einen L-Satz σ
angeben, für den weder T ` σ noch T ` ¬σ gilt (mit Begründung).
(f) Zeigen Sie, dass T keine Henkin-Theorie ist. (Hinweis: Betrachten Sie hierzu
den Satz ∃x(f0 (x) = c0 ).)
(g) Ist AT ein Modell von T ? (Begründung!)
Aufgabe 6
Sei T eine erfüllbare Theorie, sodass alle Modelle von T zueinander isomorph
sind. Zeigen Sie, dass T vollständig ist.
Aufgabe 7
Sei L = L(f ; c) die Sprache mit einem 1-stelligen Funktionszeichen f und
dem Konstantensymbol c. Ist A = (A; f A ; cA ) eine L-Struktur, dann ist der
f -Abschluss einer Menge M ⊆ A definiert als
[
cl(M ) :=
{(f A )n (x) : x ∈ M }.
n∈N
Insbesondere ist also cl({cA }) = {cA , f A (cA ), f A (f A (cA )), (f A )3 (cA ), . . .}.
Wir nennen A zyklisch, falls cl({cA }) = A gilt, und bezeichnen die Klasse aller
zyklischen L-Strukturen mit K.
(a) Geben Sie eine Funktion f A : N → N an, sodass die L-Struktur A =
(N; f A ; 0) in K liegt.
(b) Zeigen Sie, dass die Klasse der zyklischen L-Strukturen nicht ∆-elementar
ist.
(c) Geben Sie einen L(2) -Satz σ an, sodass für alle L-Strukturen A gilt:
A |=(2) σ ⇔ A ∈ K.
Keine Abgabe!