Interpolation - Fakultät für Mathematik und Informatik

Fakultät für Mathematik und Informatik
TU Bergakademie Freiberg
W. Queck
14. April 2016
Numerische Mathematik
Interpolation
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Teil A – VOR der Übung zu rechnen !!
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Aufgabe 1
Durch die Punkte
P0 (0; 3.6), P1 (3; 54), P2 (1; 84), P3 (−2; 30)
soll ein Interpolationspolynom niedrigsten Grades gelegt werden.
a) Bestimmen Sie dieses Interpolationspolynom p(x) in der Lagrange–Darstellung.
b) Bestimmen Sie dieses Interpolationspolynom p(x) in der Newton–Darstellung.
c) Berechnen Sie den Funktionswert des Interpolationspolynoms an der Stelle x = 2 durch
Einsetzen sowohl in die Lagrange-Darstellung als auch in die Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms.
Welche Variante ist effektiver?
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Teil B – Hauptteil
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Aufgabe 2
Die Funktion y = arccos x soll in den Stützstellen x0 = −0.5, x1 = 0, x2 = 0.5 durch ein Polynom
interpoliert werden.
a) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom.
b) Berechnen Sie den Wert des Interpolationspolynoms in x =
√
3/4.
c) Schätzen
√ Sie den Interpolationsfehler ab, und vergleichen Sie die Abschätzung an der Stelle
x = 3/4 mit dem tatsächlichen Interpolationsfehler.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion f (x) = x4 − 2x3 − x2 + 2x.
a) Zur Approximation von f (x) soll ein Interpolationspolynom vollständigen Grades, durch die
Punkte (xi , yi ), i = 0, 1, 2 mit x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2 und yi = f (xi ) gelegt werden.
Bestimmen Sie dieses Interpolationspolynom.
b) Da jemand mit der Approximationsgenauigkeit des Interpolationspolynom durch diese 3
Punkte nicht zufrieden war, nimmt er die Punkte (x3 , f (x3 )) und (x4 , f (x4 )) mit x3 = 3 und
x4 = 4 hinzu. Stellen Sie das zugehörige Interpolationspolynom auf.
c) Wie groß ist für einen Punkt x ∈ [x0 , x4 ] der Fehler, wenn statt f (x) das Interpolationspolynom aus b) ausgewertet wird?
d) Alternativ wählt jemand die Stützstellen zi , i = 0, . . . , 8 mit zi = i/2 und legt durch
(zi , f (zi )) eine Interpolationskurve s(x) aus stückweise linearen Polynomen.
Bestimmen Sie den Wert von s(x) für x = 1/3 .
Interpolation und Approximation
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Aufgabe 4
a) Wieviele Nullstellen hat das Polynom p1000 , das die Funktion f (x) = cos(x) an den 1001
Knoten xj = 2jπ (j = 0, 1, . . . , 1000) interpoliert (Begründung)?
b) Geben Sie alle Nullstellen des Polynoms p200 (x) an, welches die Funktion f (x) = x12 an den
201 Knoten xj = j (j = 0, 1, . . . , 200) interpoliert !
c) Bestimmen Sie die Nullstellen (in [0, 1000π]) des linearen Splines, der die Funktion f (x) =
cos(x) an den Knoten jπ (j = 0, 1, 2, . . . , 1000) interpoliert (Begründung)?
Aufgabe 5
a) Welche der folgenden drei Funktionen fi sind kubische Splines bezüglich der Unterteilung
T = [0, 1] ∪ [1, 2] ∪ [2, 2.5] des Intervalls [0, 2.5] (mit Begründung)?
f1 (x)
=
f2 (x)
=
f3 (x)
=
|x|,
(
1
für x ≤ 1,
2
x − 2 x + 2 für x ≥ 1,
(
6(x − 1)2 + 6x − 3 für x ≤ 1,
3 x3 − 3 x2 + 3 x
für x ≥ 1.
b) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen α und β so, dass
(
αx + β
f4 (x) =
3 (x − 2)3 + 6x
für x ≤ 2,
für x ≥ 2.
ein kubischer Spline bezüglich der in b) gegebenen Unterteilung T des Intervalls [0, 2.5] ist.
Programmieraufgaben
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Aufgabe 6
Konstruieren Sie für die jeweils gegebenen Daten das freie (natürliche) und das vollständige (hermitesche) kubische Spline:
a)
xi
8.3
f (xi ) 17.56492
8.6
18.50515
f 0 (8.3) = 3.116256, f 0 (8.6) = 3.151762
b)
xi
0.1
f (xi ) −0.62049958
0.2
0.3
0.4
−0.28398668
0.00660095
0.24842440
f 0 (0.1) = 3.58502082, f 0 (0.4) = 2.16529366
Interpolation und Approximation
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Aufgabe 7
Die folgenden Daten xi , yi , i = 0, . . . , 20 erhielt man, indem man die Silhouette einer fliegenden
Ente in ein Koordinatensystem übertrug und auf dem oberen Rand (vom Schnabel über den Kopf
bis zu den Schwanzfedern) 21 Punkte auswählte.
Interpolieren Sie die Daten sowohl mit einem vollständigen Polynom (vom Grad 20) als auch mit
freien kubischen Splines. Zeichnen Sie die beiden Interpolierenden.
x
= {xi }20
i=0
=
(0.9, 1.3, 1.9, 2.1, 2.6, 3.0, 3.9, 4.4, 4.7, 5.0,
6.0, 7.0, 8.0, 9.2, 10.5, 11.3, 11.6, 12.0, 12.6, 13.0, 13.3)
y
= {yi }20
i=0
=
(1.3, 1.5, 1.85, 2.1, 2.6, 2.7, 2.4, 2.15, 2.05, 2.1,
2.25, 2.3, 2.25, 1.95, 1.4, 0.9, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.25)
Bemerkung: Diese Aufgabe ist sinnvollerweise nur mit Hilfe von (selbst geschriebenen) Programmen zu lösen.