Kapitel 2 : Wichtige elementare Funktionen §1 Funktionsbegriff

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Kapitel 2 : Wichtige elementare Funktionen
§1 Funktionsbegriff, Stetigkeit
Beispiel 1.1:
T(x) =
u, v und w ≥ 0 seien fest gewählte Konstanten.
( u − v) x + v
⋅ x,
(u - 2v + w)x 2 + 2( v − w ) x + w
0 ≤ x ≤ 1.
T ist eine Vorschrift, die jeder Zahl x aus einem Definitionsbereich
D ⊂ IR (hier : D = [0, 1] = { x | 0 ≤ x ≤ 1 }) ihren Funktionswert T(x)
zuordnet. IR ist dabei die Menge der reellen Zahlen.
Man schreibt auch
T: D → IR
x a T(x)
Graph der Funktion T : Graph(T) : = { (x, y) | x ∈ D, y = T(x) }
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Beispiel 1.2 :
f(x) = x2 + 1 , x ∈ IR
Hier : D = IR
Oft ist es nützlich, von vornherein die Menge der möglichen
Funktionswerte auf einen
Wertebereich
W (⊂ IR )
einzuschränken (d.h. f: D → W),
z.B.: (in Beispiel 1.2 : W = [0, ∞) : = { y | y ≥ 0 })
Die Menge
V = { y | es gibt ein x ∈ D mit y = f(x) } = { f(x) | x ∈ D } ( ⊂ W )
der tatsächlich vorkommenden Werte nennt man Wertevorrat .
Beispiel 1.1 : V = [0,1]
Beispiel 1.2 : V = [1, ∞) = { y | y ≥ 1 }.
Beispiel 1.3 Signum :
 1 x>0
sgn(x) : =  0 x = 0 ,
− 1 x < 0

D = IR , V = { – 1, 0, 1 } .
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Definition 1.4 :
(a) f heißt stetig im Punkt x ∈ D, wenn
„u ∈ D gegen x geht“, dann „geht auch f(u) gegen f(x) (∈ V)“.
Man schreibt hierfür auch kurz: lim f(u) = f(x) oder f(u) u
→ f(x) .
→x
u→x
(b) f heißt stetig in D, wenn f in allen Punkten x ∈ D stetig ist.
Beispiel 1.1 :
T ist stetig in [0,1] :
u 
→ x ⇒ T(u) 
→ T(x), u, x ∈ [0,1] .
Beispiel 1.2 :
f(x) = x2 + 1
ist stetig in IR
2
2
u 
→ x ⇒ u + 1 
→ x + 1.
Allgemein gilt:
Satz 1.5 : Sind f, g stetig (an der Stelle x), so auch
af + bg
für alle a, b∈ IR ,
f⋅g und f/g, falls g(x) ≠ 0.
Dabei sind
(af + bg)(x) : = af(x) + bg(x)
(f⋅g)(x) : = f(x)⋅g(x), x ∈ Df ∩ Dg und
(f/g)(x) : =
f (x )
, x ∈ Df ∩ Dg ∩ { u | g(u) ≠ 0}.
g( x )
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Beispiel 1.3 :
sgn ist unstetig in x = 0 :
u > 0 ⇒ sgn(u) = 1 u


/ → 0 = sgn(0) .
>0 ,u →0
Definition 1.6 :
Reelle Polynome :
a0, a1, a2, . . ., an –1, an ∈ IR
seien fest gewählt.
p(x) = anxn + an –1xn – 1 + . . . + a2x2 + a1x + a0, x ∈ IR ,
nennt man ein reelles Polynom ( D = IR ).
Ist an ≠ 0, so hat p(x) den Grad n .
Die Graphen von Polynomen vom Grad 1 sind Geraden :
f(x) = mx + b , x ∈ IR .
Steigung : m =
Beispiel 1.7 : Stromrechnung:
∆y
∆x
f(v) = k⋅v + G ,
G : Grundgebühr, k : Gebühreneinheit, v : Verbrauch .
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Die Graphen von Polynomen vom Grad 2 sind Parabeln :
f(x) = ax2 + bx + c , x ∈ IR .
Beispiel 1.8 :
Freier Fall
Zeitpunkt 0 : Wir lassen einen Stein aus der Höhe h0 fallen.
Höhe als Funktion der Zeit :
h(t) = h0 –
„Erdbeschleunigung“:
m
.
sec 2
g = 9,81
g 2
t
2
Der Stein erreicht den Erdboden (Höhe = 0) zum Zeitpunkt t0 .
D = [0, t0] , V = [0, h0]
(∗) y = h0 –
⇔
t2 =
⇔
t =
h–1(y) : =
g 2
g
t ⇔ – t 2 = y – h0
2
2
2( h 0 − y )
g
2(h 0 − y)
g
2(h 0 − y)
g
(= t)
heißt Umkehrfunktion von h .
t0 = h–1(0) = 2h 0 / g .
– 19 –
Es war möglich, (∗) nach t aufzulösen und damit h–1(y) zu definieren,
weil
h(t1) ≠ h(t2) für t1 ≠ t2 ∈ D.
h–1(h(t)) = h–1(y) = t , t ∈ D
Weiter gilt:
h(h–1(y)) = h(t) = y , y ∈ V.
Satz 1.9 :
f sei eine auf D definierte Funktion mit Wertevorrat V.
Folgt aus x1 ≠ x2 , x1, x2 ∈ D, immer f(x1) ≠ f(x2) , so gibt es eine
Funktion f –1 mit Definitionsbereich V und Wertevorrat D derart, daß
f –1(f(x)) = x , x ∈ D, und
f(f –1(y)) = y , y ∈ V.
f –1 heißt Umkehrfunktion von f.
Beispiel 1.10 : f(x) = x2, x ∈ [0, ∞);
⇒ f –1(x) =
D = V = [0, ∞) .
x.
Beachte : Auf ganz IR hat f(x) = x2 keine Umkehrfunktion.
Graph(f –1) : Spiegelung von Graph(f) an der Winkelhalbierenden y = x :
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Definition 1.11 : Eine Funktion f heißt
(a) monoton wachsend (fallend), wenn
x1 < x2 ∈ D ⇒ f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)).
(b) streng monoton wachsend (fallend), wenn
x1 < x2 ∈ D ⇒ f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Satz 1.12:
f : [a, b] 
→ IR sei stetig .
Dann ist V = [c, d] , c ≤ d geeignet.
f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f –1 auf V, wenn f auf D
streng monoton (wachsend oder fallend) ist.
f –1 ist dann auf V ebenfalls stetig und streng monoton (wachsend oder
fallend).
Siehe hierzu die Beispiele 1.7 und 1.9.
Definition 1.13 :
W f ⊂ Dg :
f : Df 
→ Wf ,
g : Dg 
→ Wg .
h(x) : = g(f(x)) , x ∈ Df . h = g ° f auf Dh = Df.
„ ° “ : Komposition oder Hintereinanderausführung von f und g.
– 21 –
Beispiel 1.14 :
g(x) =
f(x) = 1 + x2, Df = IR , Wf = [1, ∞) = { x | x ≥ 1 }.
1
, Dg = IR + = { x | x > 0 }, Wg = IR + .
x
2
f
g
x |
→ 1 + x |→

1
, d.h.
1+ x2
(g ° f)(x) = g(f(x)) =
Satz : f : Df 
→ Wf ,
Wf ⊂ Dg .
1
, Dg °
1+ x2
g : Dg 
→ W g ,
f
= Df = IR .
Wf ⊂ Dg .
Ist f stetig in x ∈ Df und g stetig in f(x) (∈ Wf ⊂ Dg) ,
so ist g ° f stetig in x .
§2 Potenzen, Exponentialfunktion und Logarithmus
2.1 :
(a) Nichtnegative ganzzahlige Potenzen
Definition : a ∈ IR ; a0 : = 1, an : = a
⋅K
⋅3
a , n ∈ IN : = {1, 2, . . .} .
1
4
24
n − mal
IN heißt Menge der natürlichen Zahlen.
Betrachte die Potenzfunktionen f : IR → IR
f(x) = xn, x ∈ IR ; n ∈ IN0 = {0, 1, 2, . . .} .
– 22 –
(b) Negative ganzzahlige Potenzen
f : IR \ {0} → IR
f(x) =
1
xn
= : x – n, x ≠ 0, n ∈ IN .
az , z ∈ ZZ : = { . . . , – 2, – 1, 0, 1, 2, . . . }, ist also für alle
a ∈ IR \ {0} definiert. ZZ heißt Menge der ganzen Zahlen.
(c) Wurzeln
Betrachte auf [0, ∞) die Umkehrfunktion f –1 von f(x) = xn :
f –1 (y) = :
1
n
y = : y n , y ≥ 0 ; n ∈ IN \ {1}.
– 23 –
(d) Rationale Potenzen
Q
I :={
z
| z ∈ ZZ , n ∈ IN } heißt Menge der rationalen Zahlen .
n
r
h(x) : = x = x
z
n
z
 1
z
: =  x n  , x > 0 ; r = ∈ Q
I.
n
 
1
h = g ° f mit f(x) = x n und g(u) = uZ .
Für a ∈ (0, ∞) ist also ar für alle rationalen r definiert. Es gelten
folgende
2.2
Potenzgesetze :
a, b > 0 ; r, s ∈ Q
I:
(i) ar⋅as = ar+s ;
(iii) (ar)s = ar⋅s
a0 = 1 ⇒ (ii) a– r =
1
ar
(iv) ar⋅br = (a⋅b)r
Wir wollen nun ar unter Einhaltung der Potenzgesetze für alle reellen r
definieren.
Hierzu bedienen wir uns der Exponentialfunktion exp(x), die man über
exp : IR → (0, ∞)
eine sogenannte Potenzreihe einführen kann :
exp(x) : = 1 + x +
x2
x3
xn
+
+...+
+... (=
2
6
n!
xn
) , x ∈ IR ,
∑
n =0 n!
∞
wobei 0! : = 1 und n! : = 1 ⋅ 2 ⋅ . . . ⋅ n, n ∈ IN .
– 24 –
D = IR
V = IR + = (0, ∞)
Die Exponentialfunktion hat folgende Eigenschaft:
Satz 2.3 : (a) exp(s + r) = exp(s)⋅exp(r) , für alle s, r ∈ IR .
Hieraus ergibt sich
(b) exp(s⋅q) = (exp(s))q für alle s ∈ IR und q ∈ Q
I.
Setze e : = exp(1) =
∞
1
∑ n!
= 2,71828 . . .
Dann erhält man:
n =0
(c) exp(q) = exp(1⋅q) = (exp(1))q = eq , q ∈ Q
I.
Dies führt zur
Definition 2.4 : (a) (exp(s))r : = exp(s⋅r), s, r ∈ IR , speziell:
(b) er = (exp(1))r : = exp(r), r ∈ IR .
Aus Satz 2.3 und (a) ergeben sich folgende Rechenregeln:
es+r = es⋅ er ; (es)r = es⋅r , s, r ∈ IR .
– 25 –
0n
= 1
n =1 n!
∞
e0 = 1 + ∑
2.5
x>0:
(„00 = 1“, 0n = 0 für n ≥ 1)
xn
> 1 (> 0)
n =1 n!
∞
ex = 1 + ∑
⇒ e–x = exp(– 1⋅x) = (exp(x)) –1 =
1
1
= x ∈ (0, 1).
exp(x ) e
Insbesondere : ex > 0 für alle x ∈ IR .
x>0:
ex =
xn
1
–x
> 1 + x x
→ ∞ ⇒ e = x x
→ 0
∑
→∞
→∞
e
n = 0 n!
∞
x a ex ist streng monoton wachsend über IR .
exp(x) = ex hat deshalb eine Umkehrfunktion :
ln(x) : = exp– 1(x) , x ∈ IR + = (0, ∞).
ln(x) heißt natürlicher Logarithmus oder
Logarithmus zur Basis e .
⇒
eln(x) = x, 0 < x < ∞ ;
⇒
ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 .
ln(ex) = x, x ∈ IR .
Satz 2.6 :
(a)
x a ln(x) ist streng monoton wachsend über (0, ∞).
(b)
→ – ∞ ; ln(x) x
→ ∞ .
ln(x) x
→0
→∞
Aus den Rechenregeln für er ergeben sich folgende
2.7
Rechenregeln für ln(x) :
(a)
ln(x⋅y) = ln(x) + ln(y) ,
(b)
ln( )
= – ln(x) ,
0<x<∞.
(c)
ln(xy)
= y⋅ln(x) ,
0 < x < ∞ , y ∈ IR .
1
x
0 < x, y < ∞ .
– 26 –
2.8
Es sei nun a ∈ (0, ∞) . Da a = eln(a), erhält man
ar = er⋅ln(a) ( = exp(r⋅ln(a) ) für r ∈ IR .
Für ar, r ∈ IR , gelten dieselben Potenzgesetze 2.2, wie im Falle r ∈Q
I.
2.9
Für
a ∈ (0, ∞) \ {1}
ist
x a ax
streng monoton
(wachsend für 1 < a < ∞ und fallend für 0 < a < 1) über IR
und besitzt deshalb eine Umkehrfunktion
loga(x) (Logarithmus zur Basis a) , x ∈ IR + = (0, ∞).
Speziell : (a) Natürlicher Logarithmus :
ln(x) = loge(x)
(b) Dekadischer Logarithmus : lg(x) = log10(x)
– 27 –
Satz 2.10 :
loga(x) =
ln(x )
, x ∈ IR + , a ∈ (0, ∞) \ {1} .
ln(a )
Speziell :
lg(x) = 0,4342945 · ln(x)
ln(x) = 2,3025850 · lg(x)
Beweis :
(loga ( x ))(ln(a ))
loga ( x )
= x = eln(x)
⇒
(loga(x))(ln(a)) = ln(x) ⇒ loga(x) =
ln(x )
ln(a )
e
= a
x h −1
, x ∈ IR + ,
h →0 h
Bemerkung 2.11 : ln(x) = lim
ex
d.h.
=
l
 x
lim 1 +  , x ∈ IR ,
l→∞
l
ln(x ) ist eine Art "0 - ter" Potenz 
 von x .
e x ist eine Art " ∞ - er" Potenz 
ln(x) wächst langsamer und ex schneller
als jede positive Potenz von x :
ln(x )
lim
= 0
x →∞ x r
xr
lim x = 0
x →∞ e
und
für alle r > 0 .
Beispiel 2.12 : Das Malthus – Modell für Populationswachstum ;
exponentielles Wachstum
N(t) sei die Größe einer Population zum Zeitpunkt t, t ≥ 0 .
N(0) = N0 sei bekannt.
Der Zuwachs der Population im Zeitintervall (t, t + h] sei :
N(t + h) – N(t) ≈ a · N(t)·h , a > 0 .
⇒
Momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt t :
n(t) = a · N(t) .
– 28 –
⇒
N(t) = N0·ea·t , t ≥ 0 .
a heißt Malthusscher Parameter
Thomas Malthus (1798)
Eine Bakterienkultur startet mit N0 = 1000 Individuen. a = 0,1.
N(t) = 1000·e0,1·t Bakterien , t ≥ 0 , z.B. :
N(1) = 1000·e0,1 = 1105 Bakterien.
T2 sei die Zeit bis zur Verdopplung der Population, d.h.
N(t + T2) = 2·N(t) für alle t ≥ 0.
⇒ N(t) · e a⋅T2 = 2·N(t) oder T2 =
Speziell : T2 =
ln(2)
a
ln(2)
= 10·ln(2) = 6,931.
0,1
Bemerkung 2.13 : Exponentielles Wachstum ist in der Natur nur für eine
kurze Zeitspanne möglich.
– 29 –
Beispiel Kap.1, 1.6 :
Abbau der Konzentration einer giftigen Substanz im Körper eines Tieres:
c(t) = c0e – α t , t ≥ 0 , α > 0.
Die momentane Rate des Abbaus rc(t) ist proportional zur vorhandenen
Konzentration des Giftes :
rc(t) = α · c(t) , t ≥ 0 . c(0) = c0 .
(Malthus – Modell mit negativem Parameter a = – α)
Zur Erinnerung : T =
ln 2
, wobei T die Halbwertszeit des Abbaus ist.
α
§3 Die trigonometrischen Funktionen (Kreisfunktionen)
3.1 :
sin(x) (Sinus), cos(x) (Kosinus), tan(x) (Tangens) und cot(x)
(Kotangens) führen wir wie üblich am
Einheitskreis : K = {(u, v)| u2 + v2 = 1} ⊂ IR 2 : = {(u, v)| u, v ∈ IR }
ein. K hat die Fläche π und den Umfang 2·π .
Winkel werden dabei grundsätzlich im Bogenmaß gemessen !
Umrechnung vom Gradmaß α° zum Bogenmaß x :
360° =ˆ 2·π ; α° =
x
·
2⋅π
360° ; x =
α
·
360
2π .
– 30 –
Definiton 3.2 :
(a) (cos(x), sin(x)) sind die kartesischen Koordinaten des Punktes P
auf K (d.h. u = cos(x), v = sin(x)).
sin( x )
π

,
x ≠ + k ⋅ π

cos(x )
2
(b)
 k ∈ ZZ .
cos(x )
1
cot( x ) : =
=
, x ≠ k ⋅ π

sin( x ) tan( x )
tan( x ) : =
sin(x) und cos(x) haben die Periode 2π, tan(x) und cot(x) die Periode π.
– 31 –
.
Satz 3.3 :
(a) Satz des Pythagoras :
sin2(x) + cos2(x) = 1, x ∈ IR .
D.h. insbesondere :
| sin(x) | ≤ 1 , | cos(x) | ≤ 1, x ∈ IR .
π
) , – sin(x) = sin(x +π) , x ∈ IR .
2
(b)
cos(x) = sin(x +
(c)
sin( x ) = 0

für x = k·π ;
k
cos(x ) = (−1) 
(d)
sin(– x) = – sin(x) , cos(– x) = cos(x) , x ∈ IR .
sin( x ) = (-1) k 
π
+ k·π ; k∈ ZZ .
 für x =
2
cos(x ) = 0

Aus geometrischen Überlegungen ergeben sich folgende
Additionstheoreme :
cos(x + y) = cos(x)·cos(y) – sin(x)·sin(y)
sin(x + y) = sin(x)·cos(y) + cos(x)·sin(y) , x, y ∈ IR .
– 32 –
3.4 Bemerkung :
(a)
sin( x )
x
x
→ 1 ;
→0
1 − cos( x)
x
x
→ 0.
→0
Beweis : Vergleiche folgende Flächen :
A(∆ ABC) < A(Sektor ABC) < A(∆ ABD)
⇒ ½(1 ⋅ sin x) < ½(1 ⋅ x) < ½(1 ⋅ tan x)
⇒ sin x < x < tan x ( =
sin( x )
)
cos( x )
⇒ 1 <
x
1
<
sin( x )
cos( x )
⇒ 1 >
sin( x )
> cos x x
→ 1 ⇒ (a).
→0
x
(b)
1 − cos( x)
1 − cos 2 ( x)
sin( x)
1
=
=
⋅ sin( x) ⋅
x
(1 + cos x) x
x
1 + cos( x)
π
2
sin(x) und tan(x) sind auf [– ,
x
→ 1⋅0⋅½ = 0.
→0
π
π π
] (bzw. (– , )) streng monoton
2
2 2
wachsend und cos(x) und cot(x) auf [ 0, π ] (bzw. (0, π)) streng
monoton fallend. Wir definieren deshalb die inversen Funktionen :
arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x) (Arkus Sinus, . . . , u.s.w.)
π
2
arcsin : [– 1, 1] → [– ,
π
]
2
arcsin(x) = y ⇔ sin(y) = x
arccos : [– 1, 1] → [ 0, π ]
arccos(x) = y ⇔ cos(y) = x
– 33 –
arctan :
π
2
IR → (– ,
π
)
2
arctan(x) = y ⇔ tan(y) = x
3.5
arccos :
IR → [ 0, π ]
arccot(x) = y ⇔ cot(y) = x
Geometrische Deutung im rechtwinkligen Dreieck :
sin(α) =
a
b
, cos(α) =
c
c
tan(α) =
a
b
, cot(α) =
b
a
0<α<
π
2
– 34 –
3.6 Spezielle Reihenentwicklungen :
cos(x) =
sin(x) =
( −1) n 2 n
x
∑
n = 0 ( 2 n )!
∞
= 1–
x2
x4
+
– + . . . , x ∈ IR .
2!
4!
x3
x5
( −1) n
2 n +1
=
x
–
+
– + . . . , x ∈ IR .
x
∑
3!
5!
n = 0 ( 2n + 1)!
∞