Komplexe Zahlen - Institut für Mathematik - Humboldt

Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2015/16
Übungsaufgaben
Komplexe Zahlen
Aufgabe 1 Bringe folgende komplexe Zahlen in
√ !
1
3
z1 = − +
i
z2 = z +
2
2
z4 =
die Koordinatenform q = a + ib.
1
,
z̄
(1 + 2i)2 − (1 − i)3
(3 + 2i)3 − (2 + i)2
z ∈ C \ {0}
z3 = z̄ 2 +
1
z2
(Zusatz da sehr Zeitaufwendig)
Lösung: z1 ist bereits in Form.
a + ib
a
b
1
= a + ib + 2
=a+ 2
+i b+ 2
z2 = a + ib +
a − ib
a + b2
a + b2
a + b2
z̄ 2
z̄ 2
1
1
1
z3 = z̄ 2 + 2 2 = z̄ 2 + 4 = z̄ 2 1 + 4 = (a2 − b2 ) 1 + 4 − i2ab 1 + 4
z · z̄
|z|
|z|
|z|
|z|
1 −1 + 6i −2 − 7i
1 44 − 5i
22
5
−1 + 6i
= ·
·
= · 2
=
−i
z4 =
−12 + 42i
6 −2 + 7i −2 − 7i
6 2 + 72
159
318
Aufgabe 2 Bringe folgende komplexe Zahlen in die Exponentialform q = |q|eiϕ .
√
1 + 3i
1−i
z1 =
z2 =
2
1+i
Lösung:
s
|z1 | =
i π3
z1 = 1 · e ,
3
z2 = −i = 1 · ei 2 π ,
√
12 + ( 3)2
=
4
1
π
1
da cos =
3
2
3π
da cos
=0
2
–1–
√
12 + 1 2
=√
= |z2 |
12 + 1 2
√
π
3
und sin =
3
2
3π
und sin
= −1
2
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Aufgabe 3 Berechne folgende komplexe Potenzen
(a) z1 = ( 35 − 45 i)2
√
(b) z2 = (
3
2
+ i 21 )18
Lösung:
(a) z1 = ( 35 − 45 i)2 =
√
(b) Für
3
2
32
5
−2·
3
5
· 45 i + ( 45 i)2 =
9
25
−
24
25 i
−
16
25
7
= − 25
−
+ i 12 = a · eiφ gilt a = 1 und ϕ = cos−1 (cos(ϕ)) =
24
25 i
√
cos−1 ( 23 )
=
π
6
1
z
<
also
π
z2 = (e 6 i )1 8 = e3πi = −1
Aufgabe 4 Gib alle komplexen Zahlen an, die z 3 = 8 erfüllen.
Lösung: Es gilt 8 = 8 · ei·0 . Dann haben alle 3. Wurzeln die Form
√
3
8 · ei·
k·2π
3
Also sind die Wurzeln gegeben als
z1 = 2
z2 = 2 · e
2π
i
3
z3 = 2 · e
4π
i
3
Aufgabe 5 Zeichne folgende Mengen in ein Gaußsche Zahlenebene.
M1 = {z ∈ C | |z − 1| = |z + 1|}
M2 = z ∈ C | Re
Lösung:
–2–
1
2
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M1 : |z − 1| = |z + 1|
⇐⇒ |a − 1 − ib| = |a + 1 − ib|
p
p
⇐⇒ (a − 1)2 + b2 = (a + 1)2 + b2
⇐⇒ (a − 1)2 + b2 = (a + 1)2 + b2
⇐⇒ a2 − 2a = a2 + 2a
M2 :
⇐⇒ 0 = 4a =⇒ z = (0, b)
1
1
a − ib
=
= 2
z
a + ib
a + b2
a
=⇒ Re z1 = 2
a + b2
Re
1
z
<
1
2
⇐⇒ 2a < a2 + b2
⇐⇒ 1 < (a − 1)2 + b2
Aufgabe 6 Überprüfe folgende Aussagen:
(a) |z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2
Beweis.
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
|z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2
!
(z + w) · (z + w) + (z − w) · (z − w) = 2 |z|2 + |w|2
(z + w)(z̄ + w̄) + (z − w)(z̄ − w̄) = 2 |z|2 + |w|2
z z̄ + z w̄ + wz̄ + ww̄ + z z̄ − z w̄ − wz̄ + ww̄ = 2 |z|2 + |w|2
2z z̄ + 2ww̄ = 2 |z|2 + |w|2
z−w = 1 =⇒ |w| = 1 ∨ |z| = 1
(b) 1 − w̄z Beweis.
z−w |z − w|
1 − w̄z = 1 ⇐⇒ |1 − w̄z| = 1 ⇐⇒ |z − w| = |1 − w̄z|
–3–
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Da der Betrag einer komplexen Zahl stets positiv ist, ist die Quadrierung der letzten
Gleichung eine Äquivalenzumformung.
(c)
⇐⇒
|z − w|2 = |1 − w̄z|2
⇐⇒
(z − w)(z − w) = (1 − w̄z)(1 − w̄z)
⇐⇒
(z − w)(z̄ − w̄) = (1 − w̄z)(1 − wz̄)
⇐⇒
z z̄ − wz̄ − z w̄ + ww̄ = 1 − z w̄ − wz̄ + z z̄ww̄
⇐⇒
0 = 1 − |z|2 − |w|2 + |z|2 |w|2
⇐⇒
0 = (1 − |z|2 ) − |w|2 (1 − |z|)
⇐⇒
0 = (1 − |z|2 )(1 − |w|2 )
1+i
1−i
2
= −1
Beweis.
1+i
1−i
2
= −1 ⇐⇒
1+i 1+i
·
1−i 1+i
2
= −1 ⇐⇒
1 + 2i − 1
1 − i2
2
= −1
i2 = −1
⇐⇒
Alternative: aus Aufgabe 2: z2 =
1+i
1−i
⇐⇒
1−i
1+i
= −i dann:
2
= −1 ⇐⇒
1
1−i
1+i
12
= −1
−1
Aufgabe 7 Für welche z ∈ C gilt
1+z
1−z
2
= −1.
Beweis. Sei z = a + ib mit a, b ∈ R.
–4–
!2
= −1 ⇐⇒
1
−i
2
= −1
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Bemerke b 6= 0, weil die Aufgabe x2 = −1 keine Lösung in R besitzt. Es folgt
1+z 2
1 + a + ib 2
−1 =
⇐⇒ −1 =
1−z
1 − a − ib
2
(1 + a) + 2(1 + a)(ib) + (ib)2
−1 =
(1 − a)2 − 2(1 − a)(ib) + (ib)2
−(1 − a)2 + 2(1 − a)(ib) − (ib)2 = (1 + a)2 + 2(1 + a)(ib) + (ib)2
(∗)
⇐⇒
⇐⇒
Vergleiche die imaginären Anteile:
2(1 + a)(ib) = 2(1 − a)(ib) ⇐⇒ 2 + 2iab = 2 − 2iab =⇒ a = 0
Alternative (bis hier): Verwende Aufgabe 5 Rechnung für M1 :
1+z
1−z
2
= −1 ⇐⇒ (1 + z)2 = −(1 − z)2 =⇒ |1 + z|2 = |1 − z|2
3) M1
=⇒ Re(z) = a = 0
2
2
2
(1 + z) = −(1 − z) ⇐⇒ 1 + z = −1 − z 2
in (∗)
o. (∗∗)
=⇒
−1 + b2 = 1 − b2 ⇐⇒ 2b2 = 2 ⇐⇒ b = ±1 =⇒ z = ±i
–5–
(∗∗)