Symbole und Mengen - Institut für Mathematik

Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
Vorlesung
Einführung in die mathematische
Sprache und naive Mengenlehre
Allgemeines
• RUD26 – Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ)
• RUD25 – Johann-von-Neumann-Haus
• Fachschaft – Menge aller Studenten eines Institutes
• Fachschaftsrat – gewählte Vertreter der Fachschaft
• c.t – cum tempore („mit Zeit“):
• s.t – sine tempore („ohne Zeit“):
Vorlesung beginnt 11:00 Uhr c.t., also 11:15 Uhr
Vorlesung beginnt pünktlich 11:00 Uhr
1 Grundlagen
1.1 Aufbau von Vorlesungen
Eine Vorlesung ist eine Folge von Definitionen, Sätzen mit Beweisen und Beispielen.
Notiert werden diese mit einer formalen Sprache, um eine höchstmögliche Exaktheit zu erreichen. Dabei geht leider oft die Anschaulichkeit verloren, so daß man die dahinter steckende
Idee erst wieder „herauskratzen“ muss.
In den Bezeichnungen finden oft sonst selten gebrauchte Alphabete und Typographien Verwendung. Besonders hervorzuheben ist hierbei das griechische Alphabet, welches jeder Mathematikstudent lernen sollte. Es folgen ein paar Beispiele:
ζ, Σ, Θ, a, ℵ, i, ∂, B, K
–1–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
Definitionen führen neue Begriffe sowie die Nutzung bereits bekannter Begriffe ein.
Beispiel
Der Durchschnitt zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente die in A
und B liegen.
Formale Schreibweise: A ∩ B := {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ein Satz ist eine bewiesene Aussage beziehungsweise eine Aussage mit Beweis. Je nach Bedeutung gibt es auch die Begriffe Lemma (Hilfssatz), Theorem (Hauptsatz), Korollar (unmittelbare
Folgerung), Proposition oder Bemerkung.
1.2 Symbole
Leider gibt es keine einheitliche Schreibweise, sprich jeder Dozent nutzt die Symbole, an die er
sich gewöhnt hat. Generell gilt jedoch: Ein Dozent in der Vorlesung darf mehr, als ein Student
in den Übungsaufgaben.
1.2.1 Definitionssymbole
:=
„ist definiert“
: ⇐⇒
– Definiendum (das zu definierende) steht links,
definiens (das Definierende) rechts.
„genau dann, wenn“ – per Definition gegebene Eigenschaft (Aussage)
1.2.2 erste Symbole
(a1 , a2 )
(a1 , a2 , a3 )
(a1 , a2 , . . . , an )
(a1 , a2 , . . . , an , . . .) = (ai )i∈N = (ai )∞
i=1
–
–
–
–
geordnetes Paar
Tripel
n-Tupel
Folge
ai := a1 + a2 + . . . + an
–
Summe
(für n < 1 spricht man von der leeren
Summe, welche zu 0 definiert wird)
ai := a1 · a2 · . . . · an
–
Produkt (für n < 1 ist das Produkt leer
und wird zu 1 definiert)
n
X
i=1
n
Y
i=1
–2–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
n! :=
n
Y
i = 1 · 2 · ... · n
–
Fakultät
n
n!
:=
k!(n − k)!
k
–
Binomialkoeffizient
a|k
–
a teilt k : ⇐⇒ Es gibt ein m ∈ Z
mit a · m = k (nur sinnvoll in N und Z)
–
Betrag von z
i=1
(
z, falls z ≥ 0
−z, sonst
max{a1 , . . . , an }
a = max{a1 , . . . , an }
|z| :=
–
das maximale Element (Maximum)
: ⇐⇒ a ∈ {a1 , . . . , an } und für alle i = 1, . . . , n
gilt ai ≤ a
–
das minimale Element (Minimum)
Schreibweisen: max an , min a
min{a1 , . . . , an }
n∈N
a∈N
a gerade
• 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
Beispiele
• (2i)i∈N = (0, 2, 4, 6, 8, . . .
•
4
X
1 1
1
205
1
=1+ + +
=
•
2
i
4 9 16
144
5
2
=
• 2 | 4,
5!
2!·3!
=
120
2·6
5 | 10,
= 10
12 | 144
i=1
•
n
X
ai =
i=0
•
n
X
i=1
n+1
X
ai−1 = an +
i=1
n
X
• |5| = 5, | − 103| = 103,
ai−1
• max{−3, 6, 10, 27, 4} = 27
i=1
!
i2
= (12 , 12 + 22 , 12 + 22 + 32 , . . .) = (1, 5, 14, 30, 55, . . .)
n∈N
–3–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
1.3 Elementare Aussagenlogik und die Symbole ¬, ∧ und ∨
Die Grundlagen hier dienen nur dem Verständnis. Sie sind zum Teil nicht ganz exakt.
Aussagen sind sprachliche Gebilde1 , denen, abhängig von einem Kontext, in sinnvoller Art
und Weise die Wahrheitswerte „wahr“ beziehungsweise „falsch“ zugeordnet werden können.
Beispiele
• „2 · 4 = 8“ ist eine wahre Aussage.
• „Bäume sind Säugetiere“ ist eine falsche Aussage.
• „2 · 4“ ist keine Aussage.
Verknüpfung von Aussagen
Aussagen können durch logische Operatoren (sogenannte Junktoren o. Konnektoren) miteinander zu komplexeren Aussagen verknüpft werden.
Negation:
Konjunktion:
Disjunktion/Alternative:
¬A
A∧B
A∨B
A ist nicht erfüllt
sowohl A als auch B sind erfüllt
A oder B oder beides ist erfüllt
˙ die Operatoren ¬,∧ und ∨ sind aber
Es gibt noch weitere Junktoren, z.B. =⇒ , ⇐⇒ oder ∨,
für alle Belange bereits ausreichend. Streng genommen reichen sogar ¬ und ∧ aus.
Wahrheitswertetabellen Die formale Bedeutung einer Verknüpfung von Aussagen, lässt sich
mittels einer Tabelle definieren, in dem man für jede möglich Belegung der verknüpften Aussagen mit Wahrheitswerten („wahr“ oder „falsch“) festlegt, was der Wert der Verknüpfung
sein soll.
Beispiele
Seien A und B zwei Aussagen: (w =
ˆ wahr, f =
ˆ falsch)
Belegungen
A
B
w
w
w
f
f
w
f
f
Wahrheitswerteverläufe
¬A A ∧ B
A∨B
f
w
w
f
f
w
w
f
w
w
f
f
Mittels solcher Wahrheitswertetabellen lassen sich in einfachen Fällen auch Beweise führen.
1
Hierbei können Elemente formaler und natürlicher Sprachen gemischt vorkommen
–4–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
2 Naive Mengenlehre
Die Frage, was genau eine Menge ist, ist eher philosophischer Natur (Cantor, 1895). Daher
beschäftigen wir uns vorerst mit naiver Mengenlehre:
Eine Menge sei eine Ansammlung von Objekten zusammengefasst zu einem Ganzen. Die Objekte werden Elemente genannt und können realer oder geistiger Natur sein. Wir notieren kurz
„x ∈ M “ für die Aussage „x ist ein Element der Menge M “.
Wünschenswert wäre ein Mengenbegriff, bei dem die Menge bereits eindeutig dadurch bestimmt
ist, welche Elemente sie enthält. Dies nennt man auch das Extensionalitätsprinzip (EXT):
(EXT)
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn Sie die selben Elemente haben.
Einfache Definitionen
Symbol
∅
N
x∈A
A⊆B
–
–
–
–
A ⊂ B, A ( B
A∩B
A∪B
A\B
A, AC , CA
–
–
–
–
–
A×B
–
P(A), 2A
–
|A|, #A, card(A) –
Erklärung
Formal
leere Menge
∅ := {}
Die natürlichen Zahlen (mit 0) N := {0, 1, 2, · · · }
x ist Element von A
A ist Teilmenge von B
A ⊆ B : ⇐⇒ Für jedes x ∈ A
gilt x ∈ B.
A ist echte Teilmenge von B
A ⊂ B : ⇐⇒ A ⊆ B ∧ A 6= B
Durchschnitt der Mengen
A ∩ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Vereinigung der Mengen
A ∪ B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Differenzmenge
A \ B := {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}
C
Komplement in Relation
A := {x ∈ T | x ∈
/ A}
zu einer Trägermenge T
Produktmenge,
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Menge der geordneten Paare
Potenzmenge von A
P(A) := {B | B ⊆ A}
Mächtigkeit von A,
bei endlichen Mengen:
Anzahl der Elemente
–5–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
Beispiele
Seien
A := {2 · x | x ∈ N} = {0, 2, 4, . . .},
B := {1, 2, 3, 4, 5},
C := {100, 723}
Dann gilt:
• A ⊆ N,
B ⊆ N,
C ⊆ N,
B*C
• A ∩ B = {2, 4}
• C ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 100, 723}
• B \ A = {1, 3, 5}
• AC = {2m + 1 | m ∈ N} = {1, 3, 5, . . .}
• B × C = {(1, 100), (2, 100), (3, 100), (4, 100), (5, 100),
(1, 723), (2, 723), (3, 723), (4, 723), (5, 723)}
• (A ∩ B) × (B \ A) = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5)}
• P(C) = 2C = {∅, {100}, {723}, {100, 723}}
• D := {f | f : {0, 1} → {0, 1}},
• E := {A, B, C, D},
(|D| = 4)
|E| = 4
3 Symbole des logischen Schließens =⇒ und ⇐⇒
Wir ergänzen nun noch ¬, ∨, ∧ um die Symbole =⇒ bzw. ⇐⇒ .
Implikation:
Äquivalenz:
A =⇒ B
A ⇐⇒ B
Wenn A, dann B.
A genau dann, wenn (gdw.) B.
Mit A =⇒ B ist es möglich auszudrücken, dass man von der Gültigkeit der Aussage A auf
die von B schließen kann bzw. mit A ⇐⇒ B, dass auch der Rückschluss möglich ist. Hierbei
sollte ein Schluss A =⇒ B, der von einer falschen Voraussetzung A (auch Prämisse) ausgeht
stets gültig sein.2 A =⇒ B sollte also nur dann Falsch sein, wenn die Prämisse A wahr, aber
die Konklusion B falsch ist.
2
Dieser Grundsatz heißt auch Ex falso quodlibet. Übertragen: „Aus Falschem folgt beliebiges.“
–6–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
A ⇐⇒ B soll hingegen gelten, wenn die beiden Aussagen A und B gleichwertig sind.
Wir definieren daher
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
A ⇐⇒ B
w
f
f
w
B =⇒ A
w
w
f
w
Wie man mit der letzten Spalte gut sieht, gilt A ⇐⇒ B genau dann, wenn A =⇒ B und
B =⇒ A gelten bzw. Formal:
(A ⇐⇒ B)
⇐⇒
((A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A))
(1)
Beliebte Fehler Auch wenn sich „ ⇐⇒ “ ähnlich wie „=“ verhält, sind die Symbole nicht
gleich. Ersteres steht nur zwischen zwei Aussagen und letzteres nur zwischen zwei Objekten
z.B. Zahlen, Mengen oder Funktionen. Die Verwechslung geschieht sehr häufige in den ersten
Übungsserien.
Auch ist es wenig Hilfreich solange umzuformen, bis man eine wahre Aussage wie „0=0“ erhält,
dabei aber nicht darauf zu achten, dass man nicht überall den Rückschluss ziehen kann. So ist
eine Schlussfolgerung der Form
2·x=4·x
=⇒ − x = x
=⇒ (−x)2 = x2
=⇒ x2 = x2
=⇒ 0 = 0
vollkommen korrekt, zeigt aber nicht, dass 2 · x = 4 · x Allgemeingültig ist.
Mit „ ⇐⇒ “ lässt sich (EXT) nun neu formulieren
(EXT∗ )
A = B : ⇐⇒ für jedes x gilt (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).
Genauso lässt sich „⊆“ formal definieren
A ⊆ B : ⇐⇒ für jedes x gilt (x ∈ A =⇒ x ∈ B).
Folglich mittels (1) kann man nun die folgende Form von (EXT) verbalisieren zu
–7–
Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2016/17
(EXT∗∗ )
A = B ⇐⇒ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).
Will man die Gleichheit zweier Mengen zeigen, so zeigt man daher oft stattdessen die beiden
„⊆“-Beziehungen.
Ein abschließendes Beispiel
Wir wollen das gelernte noch einmal demonstrieren, in dem wir mittels Wahrheitswertetabellen
die folgenden Aussage beweisen:
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
|
{z
} |
{z
}
=:C
=:D
Dafür muss man also zeigen, dass für ein beliebiges x die Aussage x ∈ C genau dann gilt, wenn
x ∈ D gilt
(schreiben in der Tabelle zur Verkürzung nur A statt x ∈ A, B statt x ∈ B ect.)
Sei x also beliebig
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∪B
w
w
w
f
A∩B
w
f
f
f
(A ∪ B) \ (A ∩ B)
f
w
w
f
(A \ B) ∪ (B \ A)
f
w
w
f
–8–
A\B
f
w
f
f
B\A
f
f
w
f