Logik und Beweise - Institut für Mathematik

Fachschaft Mathematik
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Warm-Up
WS 2015/16
Musterlösungen
der Warm-Up Hausaufgaben
Logik und Beweise
1. Zeigt, dass für alle reellen Zahlen a, b ≥ 0 gilt:
p
√
√
| a − b| ≤ |a − b|.
√
√
Lösung zu
1. Für ap
= b ist die Aussage klar, daher sei a 6= b. Dann ist a 6= b und
√
√
da | a − b| ≥ 0 und |a − b| ≥ 0, gilt
p
√
√
|a − b|
| a − b| ≤
2
p
√
√ √
√
√
√
⇐⇒
| a − b|2 ≤
|a − b| = |a − b| = | a − b|| a + b|
√
√
√
√
√
√
√
√
⇐⇒
| a − b| ≤ | a + b| = a + b = | a| + | b|
Und letzteres gilt wegen der Dreiecksungleichung.
2. Zeigt, dass für alle reellen Zahlen x, y folgendes gilt:
|x + y| + |x − y| ≥ |x| + |y|.
Lösung zu 2.
4-Ungl. 1
1
1
|x| = |2x| = |x + y + x − y| ≤
(|x + y| + |x − y|)
2
2
2
4-Ungl. 1
1
1
1
|y| = |2y| = |x + y − x + y| ≤
(|x + y| + |y − x|) = (|x + y| + |x − y|)
2
2
2
2
1
1
=⇒ |x| + |y| ≤ (|x + y| + |x − y|) + (|x + y| + |x − y|) = |x + y| + |x − y|
2
2
3. Beweist indirekt: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
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Lösung zu 3. Y
Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen P. Dann ist deren
Produkt n =
p ebenfalls endlich. Insbesondere ist n + 1 eine natürliche Zahl, die
p∈P
von allen Zahlen aus P mit Rest 1 geteilt wird. Demnach ist n + 1 teilerfremd zu allen
Primzahlen. Dann ist n + 1 aber selbst prim, denn die einzigen Teiler von n + 1 sind sie
selbst und die 1. Damit gibt es einen Widerspruch zur Annahme n + 1 ∈
/ P. Folglich kann
es nicht nur endlich viele Primzahlen geben.
4. Beweist indirekt: |x| < 1 =⇒ 4 + 2x − 2x2 > 0.
Lösung zu 4. Angenommen, es sei 4 + 2x − 2x2 ≤ 0. Dann gilt:
4 + 2x − 2x2 ≤ 0
⇐⇒
⇐⇒
x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) ≥ 0
x−2≤0 ∧ x+1≤0 ∨ x−2≥0 ∧ x+1≥0
⇐⇒
(x ≤ −1) ∨ (x ≥ 2)
=⇒
(x ≤ −1) ∨ (x ≥ 1)
|x| ≥ 1
=⇒
5. Zusatzaufgabe: Karlchen geht zu einer Wahrsagerin. Sie soll ihm sagen, ob seine zukünftige Frau, die er noch nicht kennt, reich sein wird. Die Wahrsagerin sieht in die
Kristallkugel und liest daraus die folgende Beschreibung von Karlchens Zukünftiger vor:
a) „Sie ist vollschlank und musikalisch.“
b) „Sie ist fröhlichen Gemüts, und falls sie vollschlank ist, dann ist sie nicht ehrgeizig.“
c) “Sie ist von großer Statur, und sie hat weder ein hübsches Gesicht, noch ist sie
sportlich.“
d) „Sie ist nicht reich, und falls sie intelligent ist, dann ist sie nicht berufstätig.“
e) „Sie ist nicht fröhlichen Gemüts“
f) „Sie ist ehrgeizig und sie ist nicht blond.“
g) „Sie ist intelligent und sie ist nicht von großer Statur.“
h) „Sie ist nicht musikalisch, aber sie ist blond und sie ist sportlich.“
i) „Sie ist berufstätig und hat ein hübsches Gesicht.“
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Karlchen, den diese Auskunft nicht befriedigt, sagt: „Da stimmt doch etwas nicht.“
Darauf die Wahrsagerin: „Sie haben recht. Ich habe von der verkehrten Seite in die Kugel
geschaut. Daher ist von jeder der neun Aussagen das logische Gegenteil wahr.“
Wird nun Karlchens Zukünftige reich sein, oder nicht? Begründet!
Lösung zur Zusatzaufgabe Der Lösungsmöglichkeiten gibt es viele. Ein Ansatz:
Aufstellen atomarer Aussagen der Form „Karlchens zukünftige ist/hat . . . “:
A
B
C
D
=
b
=
b
=
b
=
b
E
F
G
H
„vollschlank“
„musikalisch“
„fröhlichen Gemütes“
„ehrgeizig“
=
b
=
b
=
b
=
b
„großer Statur“
„hübsches Gesicht“
„sportlich“
„reich“
I
J
K
=
b „intelligent“
=
b „berufstätig“
=
b „blond“
Umformulieren der Aussagen a)-i) in Logische Aussagen mit Negation:
a)
b)
c)
d)
e)
original
A∧B
C ∧ (A → ¬D)
E ∧ ¬F ∧ ¬G
¬H ∧ (I → ¬J)
¬C
negiert
¬A ∨ ¬B
¬C ∨ (A ∧ D)
¬E ∨ F ∨ G
H ∨ (I ∧ J)
C
f)
g)
h)
i)
original
D ∧ ¬K
I ∧ ¬E
¬B ∧ K ∧ G
J ∧F
negiert
¬D ∨ K
¬I ∨ E
B ∨ ¬K ∨ ¬G
¬J ∨ ¬F
Wir nehmen ab jetzt nur noch die negierten Aussagen und schließen durch die folgenden
Abtrennregeln
• A ∧ B folgt A
und
• (A ∨ B) ∧ (¬A) folgt B
A ∧ B folgt B
und
(¬A ∨ B) ∧ A folgt B
(1) e) und b) ⇒ A ∧ D
(5) D und f) ⇒ K
(2) A ∧ D ⇒ A
(6) ¬B und h) ⇒ ¬K ∨ ¬G
(3) A ∧ D ⇒ D
(7) K und ¬K ∨ ¬G ⇒ ¬G
(4) A und a) ⇒ ¬B
(8) ¬G und c) ⇒ ¬E ∨ F
An dieser Stelle kommt man so nicht weiter. Es interessiert uns nur ob Karlchens Zukünftige reich sein wird, also ob H wahr ist oder nicht. Daher bietet es sich an zu versuchen,
eine der Annahmen H bzw. ¬H zum Widerspruch zu führen.
Nehme man an, dass sie nicht reich sein wird. Es gelte also ¬H.
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Nach (d) folgt dann I ∧ J und deshalb sowohl I, als auch J. Wegen J folgt dann mit i)
auch ¬F . Außerdem gilt wegen I und (g) auch E.
Nun gilt also E und ¬F . Dies steht aber im Widerspruch zu der in (8) hergeleiteten
Aussage ¬E ∨ F .
Folglich kann ¬H nicht gelten und es müsste H gelten.
Damit dies auch wirklich gelten kann, müssen wir noch zeigen, dass auch die Annahme
H nicht widersprüchlich und damit das Rätsel überhaupt lösbar ist. Hierfür reicht es eine
Belegung anzugeben, die alle (negierten) Aussagen a)-i) erfüllt.
Ein Beispiel dafür wäre die Annahme A ∧ ¬B ∧ C ∧ D ∧ E ∧ F ∧ ¬G ∧ H ∧ I ∧ ¬J ∧ K.
Sie wird also reich sein.1
1
Zudem wird sie vollschlank, unmusikalisch, fröhlichen Gemüts, ehrgeizig, unsportlich und blond sein. Über
ihre Intelligenz, Berufstätigkeit und Statur und darüber, ob sie ein hübsches Gesicht haben wird, können
keine eindeutigen Aussagen getroffen werden.
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