Klasse 11 Cardanische Formel und komplexe Zahlen Für

Klasse 11
Cardanische Formel und komplexe Zahlen
Für Gleichungen 3. Grades gibt der 1501 geborene Girolamo Cardano eine Lösungsformel
an. (Leichtsinnigerweise hatte ihr Entdecker, Nicolo Tartaglia, sie ihm in Form eines
Gedichtes zukommen lassen, und Cardano veröffentlichte sie dann unter seinem Namen,
was einen längeren Streit nach sich zog.)
Cardano zeigt, dass jede Gleichung 3. Grades
y 3 + ry 2 + sy + t = 0, r, s, t ∈ R
r
durch die Substitution y = x − in die Form
3
x3 + ax = b, a, b ∈ R
gebracht werden kann.
Zu letzterer Gleichung lautet nun eine Lösung
v
v
s s u
u
2
2
u
u
a 3
3
b
b
a
b
b
3
3
t
t
x=
+
+
+
−
+
.
2
2
3
2
2
3
Wir testen die Formel an zwei Beispielen:
x3 − 3x = 2, ⇔ a = −3, b = 2
v
v
s s u
u
3
2
3
2
u
u
2
2
−3
2
2
−3
3
3
t
t
x=
+
+
+
−
+
2
2
3
2
2
3
q
q
√
√
3
3
= 1+ 1−1+ 1− 1−1=1+1=2
Die weitere Doppellösung x = −1 kann dann durch Polynomdivision ermittelt werden.
x3 − 13x = 12, ⇔ a = −13, b = 12
v
v
s s u
u
3
2
3
2
u
u
12
12
−13
12
12
−13
3
3
t
t
x=
+
+
+
−
+
2
2
3
2
2
3
s
s
r
r
1225
1225
3
3
= 1+ −
+ 1− −
27
27
Hier geht es für uns nicht mehr weiter, schon die letzte Zeile ist eine unerlaubte Schreibweise.
Andererseits hat die Gleichung aber sicher die Lösungsmenge L = {−3; −1; 4}. Denn
man kann wie folgt faktorisieren:
x3 − 13x − 12 = (x + 3) (x + 1) (x − 4) .
Man nannte den hier auftretenden Fall den ,,Casus irreduzibilis“.
Cardano hatte im Gegensatz zu uns keinerlei Hemmungen, mit negativen Radikanden zu
Arbeiten, wie folgende überlieferte Rechnung (aus der ,,Ars magna“ von 1545) zeigt:
,,Stellt man die Aufgabe, 10 in zwei Teile zu zerlegen, dass deren Produkt . . . 40 ist, so
ist es klar, dass dieser Fall unmöglich ist. Aber lasst uns trotzdem rechnen: Wir teilen 10
in zwei gleiche Teile, das macht 5. Wir quadrieren die Teile, das macht 25. Subtrahiere
40 – wenn du willst – von den erhaltenen 25, was -15 ergibt. Addiert und subtrahiert man
die Quadratwurzel
√ daraus zu 5,
√ so erhält man Teile (von 10), deren Produkt 40 ist. Diese
sind also 5 + −15 und 5 − −15.“