Zeigen Sie, dass für die beiden folgenden statist

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Dipl.-Math. Tobias Mielke
Dipl.-Wirtsch.-Math. Maryna Prus
Wintersemester 2010/11
Übungen zur Vorlesung “Mathematische Statistik”
Blatt 11
Aufgabe 31 (B)
Zeigen Sie, dass für die beiden folgenden statistischen Modelle (a) und (b) jeweils die
Statistik T (x) = maxi=1,...,n xi , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M , suffizient und vollständig ist.
(a) M = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn : xi 6= xj ∀ i 6= j } , Pϑ die Gleichverteilung auf
M ∩ {1, . . . , ϑ}n , ϑ ∈ Θ = {n, n + 1, n + 2, . . .} .
(b) M = Nn , Pϑ die Gleichverteilung auf {1, . . . , ϑ}n , ϑ ∈ Θ = N .
Zeigen Sie noch: In beiden Modellen existiert jeweils ein UMVUE für den reellen Parameter ϑ , (d.h. für γ(ϑ) = ϑ , die Funktion γ aufgefasst als γ : Θ −→ R).
Aufgabe 32 (A)
Betrachten Sie das statistische Modell mit n u.i.v. Rechteck-(0, ϑ)-verteilten reellen Zufallsvariablen, ϑ ∈ (0 , ∞) der Parameter.
(a) Ist die Statistik T1 (x) := x1 , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , vollständig ?
(b) Zeigen Sie, dass δ1 (x) := 2x1 und δ(x) := 2x , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , zwei
erwartungstreue Schätzer für ϑ sind, und berechnen Sie ihre Varianzfunktionen.
(c) Finden Sie den UMVUE δ ∗ für ϑ, und berechnen Sie seine Varianzfunktion.
Aufgabe 33 (C)
(a) Gegeben sei das statistische Modell mit n ≥ 2 u.i.v. Rechteck-(ϑ − 12 , ϑ + 12 )verteilten reellen Zufallsvariablen, ϑ ∈ (0 , ∞) der Parameter.
Betrachten Sie die beiden Statistiken T : (Rn , B n ) −→: (R2 , B 2 ) und
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U : (Rn , B n ) −→
³ (R, B ) , definiert ´durch
T (x) :=
min xi , max xi ,
i=1,...,n
i=1,...,n
U (x) := max xi − min xi .
i=1,...,n
i=1,...,n
Zeigen Sie: T ist suffizient, U ist verteilungsfrei und T, U sind bezgl. jeder Verteilung des Modells nicht stochastisch unabhängig.
(b) Gegeben sei das statistische Modell ( R2 , B 2 , (Pϑ )ϑ∈R\{0} ) , wobei
Pϑ := R(0, ϑ) ⊗ R(0, 1) , falls ϑ > 0 ;
Pϑ := R(ϑ, 0) ⊗ R(−1, 0) , falls ϑ < 0 .
Betrachten Sie die beiden reellen Statistiken
T (x) = x1
und U (x) := x2 ,
x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .
Zeigen Sie: T ist suffizient, T, U sind stochastisch unabhängig bezgl. jeder Verteilung Pϑ und U ist nicht verteilungsfrei.