Warum fällt ein Satellit nicht herunter?

W. Zimmermann 12.12.2010
Warum fällt ein Satellit nicht herunter?
Ein Satellit fliegt in seiner Umlaufbahn um
die Erde. Auf ihn wirken zwei Kräfte: Die
eine Kraft ist die "Fliehkraft", auch
"Zentrifugalkraft" genannt.
(Die Fliehkraft ist eine Trägheitskraft, die ein
Beobachter wahrnimmt, der sich in einem
rotierenden Bezugssystem befindet. Physikalisch
ausgedrückt wirkt hier die Zentripetal
petalkraft,
die
petal
den Körper (siehe Skizze) in die Umlaufbahn
zwingt. Wenn diese Kraft nicht da wäre, würde
der Satellit ja geradeaus davonfliegen.)
Beispiel für die Fliehkraft: Auf dem Karussell werden die Kinder nach außen gedrückt.
Die andere Kraft ist die Erdanziehungskraft.
Diese will den Satelliten auf den Erdboden fallen lassen.
Diese Gravitationskraft ist
immer da, wenn sich zwei
Massen gegenüberstehen. In
unserem Fall ist es die Erde
selbst und der Satellit.
Der Satellit bleibt dann in seiner Umlaufbahn, wenn beide Kräfte gleich
groß sind, also wenn die Fliehkraft gleich groß ist wie die
Erdanziehungskraft.
Berechnung der Umlaufzeit eines Satelliten
Aufgabe: Berechne die Umlaufzeit eines Satelliten in 350 km Höhe.
(Dies ist die Höhe der Internationalen Raumstation ISS.)
Wenn man nun die Fliehkraft gleich der Erdanziehungskraft setzt, kann
man daraus die Umlaufgeschwindigkeit für einen bestimmten Radius
berechnen, und damit auch die Umlauf-Zeit berechnen.
Man betrachtet die Erde und den Satelliten als Massepunkte.
In unserem Beispiel sind die Punkte:
• der Mittelpunkt der Erde und
• der Mittelpunkt des Satelliten.
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Folgende Werte sind aus Wikipedia entnommen:
m Erde = 6 ⋅ 10 24 kg
Masse der Erde:
Radius der Erde:
rErde
= 6350 km
Flughöhe des Satelliten über Erdoberfläche:
hSatellit = 350 km
Abstand Satellit zum Erdmittelpunkt:
r = rErde + hSatellit = 6350 km + 350 km = 6700 km
Zwei Massen ziehen sich an. Diese Kraft wird durch die
Massen-Anziehungs-Konstante beschrieben:
m3
G = 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅
kg ⋅ sec 2
Die Anziehungskraft zwischen Satellit und Erde ist abhängig von der Größe
der Massen und ihrem Abstand:
m ⋅m
FGravitationkraft = G ⋅ Erde Satellit
Schwerkraft (Gravitation)
r²
F = Kraft
Die folgende Formel beschreibt die „Fliehkraft“
(egal ob Karussell oder Satellit):
mSatellit ⋅ v ²
FZentripetalkraft =
Zentripetalkraft
r
v = Geschwindigkeit
Der Satellit bleibt dann genau auf seiner Bahn, wenn beide Kräfte gleich
groß sind:
F Zentripetalkraft = FGravitationkraft
mSatellit ⋅ v ²
r
Daraus folgt:
= G⋅
m Erde ⋅ mSatellit
r²
Diese Gleichung umgestellt für die Geschwindigkeit v:
m
v 2 = G ⋅ Erde
r
Jetzt noch die Zahlen einsetzen:
v =
6,67 ⋅ 10 −11 ⋅
m3
6 ⋅ 10 24 kg
⋅
kg ⋅ sec 2 6 700 000m
v = 7728,6 m/s
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Der Weg, den der Satellit fliegt, ist (näherungsweise) eine Kreisbahn:
Umfang = 2 ⋅ π ⋅ Radius
U = 2 ⋅π ⋅ r
U = 2 ⋅ π ⋅ 6 700 000 m = 42 097 342 m
Weiterhin wissen wir, dass sich die Geschwindigkeit berechnet:
Weg
s
Geschwindigkeit
=
v
=
Zeit
t
Wenn wir nun als „Weg“ den „Umfang“ der Kreisbahn setzen, und die
Formel nach „Zeit“ umstellen:
Umfang Kreisbahn
Zeit
=
Geschwindigkeit
t
=
U
v
=
42 097 342 m
m
7 728,6
sec
= 5447 sec = 90,7 min
Ergebnis:
Die ISS fliegt also in 90,7 Minuten einmal um die Erde.
Ihre Geschwindigkeit dabei beträgt 7728,6 m/sec
oder 27 823 km/h.
Quellen:
Wikipedia zu den Stichworten: Fliehkraft, Zentripetalkraft, Flughöhe ISS.
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