Grundlagen der Informatik -

Logik – Zusammenfassung
Logik: Sprache zur exakten Darstellung (Modellierung) von
Infomation (Wissen)
Exakte Darstellung erlaubt maschinelle Repräsentation und
Verarbeitung des Wissens
nebenbei: Informatik-typische Prinzipien
I
Trennung von Syntax (Form) und Semantik (Bedeutung)
(wie in Programmiersprachen)
I
Terme und ihre Darstellung in Baumstrukturen, induktive
Definitionen und Auswertung
I
Abstraktion ermöglicht Anwendung von Standardverfahren
(z.B. Wahrheitswerttabellen, Resolution, SAT-Solver)
Inhalt
Aussagenlogik
I
Syntax
I
Semantik
I
Anwendungen
I
semantische Äquivalenz, Normalformen, Minimierung
I
semantisches Folgern
I
syntaktisches Ableiten (Resolution)
I
Grenzen der Ausdrucksfähigkeit
Prädikatenlogik der ersten Stufe
I
Syntax
I
Semantik
I
Anwendungen
I
semantische Äquivalenz, Pränex-Normalform
I
Ausdrucksfähigkeit, Unentscheidbarkeit
Aussagenlogik – Syntax
Menge P von Aussagenvariablen
Junktoren t, f (nullstellig), ¬ (einstellig), ∨, ∧, →, ↔ (zweistellig)
Menge AL(P) aller aussagenlogischen Formeln mit
Aussagenvariablen aus P induktiv definiert:
1. P ⊆ AL(P)
2. {t, f} ⊆ AL(P)
3. mit {ϕ, ψ} ⊆ AL(P) gilt auch
{¬ϕ, ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ, ϕ → ψ, ϕ ↔ ψ} ⊆ AL(P)
Aussagenlogik – Semantik
Wahrheitswerte 0, 1
Belegung der Aussagenvariablen W : P → {0, 1}
Fortsetzung auf Formeln W : AL(P) → {0, 1} durch
W (t) = 1
W (f) = 0
W (¬ϕ) = 1 − W (ϕ)
W (ϕ ∨ ψ) = max{W (ϕ), W (ψ)}
W (ϕ ∧ ψ) = min{W (ϕ), W (ψ)}
W (ϕ) heißt Wert von ϕ unter W .
Wahrheitswerttabelle der Formel ϕ ∈ AL(P) enthält den Wert
von ϕ unter allen möglichen Belegungen W : P → {0, 1} (jede
Zeile eine Belegung).
Belegung W : P → {0, 1} ist genau dann Modell (erfüllende
Belegung) für ϕ ∈ AL(P) (bzw. Φ ⊆ AL(P)), wenn W (ϕ) = 1
(bzw.für jede Formel ψ ∈ Φ gilt W (ψ) = 1).
Aussagenlogik – mehr Semantik
Modellmenge einer aussagenlogischen Formel ϕ ∈ AL(P)
Mod(ϕ) = {W : P → {0, 1} | W (ϕ) = 1}
Modellmenge einer aussagenlogischen Formelmenge
Φ ⊆ AL(P)
Mod(Φ) = {W : P → {0, 1} | für jede Formel ϕ ∈ Φ gilt W (ϕ) = 1}
Formel ϕ ∈ AL(P) heißt
erfüllbar , falls ein Modell (eine erfüllende Belegung) für ϕ
existiert,
unerfüllbar , falls kein Modell (keine erfüllende Belegung) für
ϕ existiert,
allgemeingültig falls jede Belegung W : P → {0, 1} die Formel
ϕ erfüllt.
Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P) heißen genau dann (semantisch)
äquivalent, wenn Mod(ϕ) = Mod(ψ).
Aussagenlogik – äquivalentes Umformen
prominente Äquivalenzen:
I
Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetze,
I
deMorgan, Entfernung von Doppelnegationen,
I
Nachbarschaftsregel (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ b) ≡ b
Junktorbasis: Menge J von Junktoren, so dass zu jeder Formel
ϕ ∈ AL(P) eine äquivalente Formel ϕ ∈ AL(P) existiert, die nur
Junktoren aus J enthält.
z.B: {¬, ∨, ∧}, {¬, ∨}, {NAND}
Normalformen: CNF, DNF, NAND-NF
DNF-Minimierung: KV-Diagramme,
Quine-McCluskey-Verfahren
Anwendungen in technischer Informatik, Modellierung
Semantisches Folgern
Formel ψ ∈ AL(P) folgt (semantisch) genau dann aus der
Formelmenge Φ ⊆ AL(P) ( Φ |= ψ), wenn Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ)
Satz:
Φ |= ψ gilt genau dann, wenn Φ ∪ {¬ψ} unerfüllbar ist.
Syntaktisches Ableiten – Resolution
Formel ψ ∈ AL(P) ist genau dann aus der Formelmenge
Φ ⊆ AL(P) ableitbar ( Φ `R ψ), wenn die leere Klausel durch
Resolution aus der Formelmenge Φ ∪ {¬ψ} abgeleitet werden
kann.
Formelmenge Φ ∪ {¬ψ} in Klauselform (Menge von
Disjunktionen)
Resolutionsregel:
(a ∨ b) ∧ (¬b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (¬b ∨ c) ∧ (a ∨ c)
(ermöglicht das Hinzufügen der Resolventen zu Formelmenge)
Ableiten durch Resolution passt zum semantischen Folgern,
weil für alle Formelmengen Φ ⊆ AL(P) und alle Formeln
ψ ∈ AL(P) gilt
Φ |= ψ gdw. Φ `R ψ
Entscheidbarkeit der Aussagenlogik
Satz:
Für jede Formel ϕ ∈ AL(P) lässt sich durch einen Algorithmus
entscheiden, ob ϕ allgemeingültig, erfüllbar oder unerfüllbar ist.
Prädikatenlogik (der ersten Stufe)
Modellierung von Eigenschaften und Beziehungen zwischen
Elementen eines Bereiches
ermöglicht die Beschreibung von Beziehungen zwischen
Elementen unendlicher Mengen (z.B. )
N
vereinfacht die Beschreibung von Beziehungen zwischen
Elementen großer endlicher Mengen (z.B. Schachbrett)
Anwendungen in Modellierung, formaler Darstellung von
Wissen, abstrakte Datentypen, Programmspezifikation und
-verifikation
Prädikatenlogik – Syntax
Signatur Σ = (ΣF , ΣR )
Menge X von Individuenvariablen
Menge Term(ΣF , X ) der Terme
Menge Atom(Σ, X ) der Atome (einfachste Formeln)
Quantoren ∀, ∃
Menge FO(Σ, X ) der prädikatenlogischen Formeln
Prädikatenlogik – Semantik
Σ-Strukturen S = (S, JKS )mit
I
nichtleerer Trägermenge S
I
Zuordnung JKS einer Bedeutung zu den Symbolen der
Signatur
Belegungen β : X → S der Individuenvariablen
Interpretation (S, β)
Wert JsK(S,β) von Termen und Formeln in Interpretationen
analog zur Aussagenlogik:
I
Modelle, Modellmengen
I
erfüllbare, unerfüllbare, allgemeingültige Formeln
I
semantische Äquivalenz, äquivalente Umformungen
Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik
Satz:
Es existiert kein Algorithmus, der für jede beliebige Formel
ϕ ∈ FO(Σ, X ) entscheidet, ob ϕ allgemeingültig ist.
Ich wünsche viel Erfolg bei der Prüfung am
9.2.2009 ab 9:00 Uhr in der Mehrzweckhalle
(Sporthalle Dr.-Friedrichs-Ring) !