Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 4

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Martin Monath
17. November 2016
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 4
Aufgabe 1 (3+3=6 Punkte)
Erinnerung: Für eine beliebige Boolesche Formel ϕ ist D(ϕ) die Formel, die man erhält,
indem man in ϕ jedes ∧ durch ein ∨ und jedes ∨ durch ein ∧ ersetzt. N (ϕ) ist die Formel, die
man erhält, indem man in ϕ vor jede nicht negierte Aussagenvariable ein Negationszeichen
setzt und vor jeder negierten Aussagenvariable das Negationszeichen streicht. (Dies betrifft
nur Negationszeichen, die direkt vor einer Aussagenvariable stehen.)
Zeigen Sie, dass für alle Booleschen Formeln ϕ und ψ gilt:
(a) ¬ϕ äq D(N (ϕ)).
(b) (i) ϕ äq ψ ⇔ N (ϕ) äq N (ψ).
(ii) ϕ äq ψ ⇔ D(ϕ) äq D(ψ).
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik, der den Modus Ponens
ϕ, ϕ → ψ
ψ
als Regel enthält und in dem (für alle Formeln ϕ und ψ) ¬ϕ → (ϕ → ψ) beweisbar ist.
Zeigen Sie, dass K genau dann widerspruchsfrei ist, wenn es keine Formel ϕ gibt, sodass ϕ
und ¬ϕ beide K-beweisbar sind.
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Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei K ein Kalkül der Aussagenlogik über der Sprache {A0 , A1 , . . . , ¬, ∧, ∨, →, ↔, (, )}, d.h.
über den üblich definierten aussagenlogischen Formeln. Dabei soll gelten, dass jedes Axiom
von K allgemeingültig sei, jede Regel von K sei korrekt bzgl. Allgemeingültigkeit und für
jede Regel von K
(R)
ϕ1 , . . ., ϕn+1
ϕ
sei auch
ϕ1 , . . ., ϕn
(R0 ) ϕ
n+1 → ϕ
eine Regel von K. Zeigen Sie, dass K korrekt bzgl. Folgerungen ist.
Aufgabe 4 (2 Punkte)
Zeigen Sie nur mit Hilfe der Regelschemata im Shoenfield-Kalkül (siehe Kapitel 1.5, Folie
30): ϕ `S ¬¬ϕ.
Abgabe: Bis Donnerstag, den 24. November 2016, 14 Uhr in den Briefkästen im 1.
Obergeschoss des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Homepage der
Vorlesung:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ws16/mathlogik_ws16.html
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