Lineare temporale Aussagenlogik

Ludwig-Maximilians-Universität München
Institut für Informatik
Dr. S. Merz
SS 2001
Begleitblatt 2
Temporale Logik
Lineare temporale Aussagenlogik
Sprache
Sei V eine (höchstens abzählbar unendliche) Menge von atomaren Aussagen.
Eine (Basis-) Sprache LLTL (V) (kurz: LLTL ) der (linearen) temporalen Aussagenlogik ist gegeben
durch:
Alphabet:
• alle Elemente von V,
• die Zeichen
false, →, d, 2, (, ).
Induktive Definition der Formeln:
1. Jede atomare Aussage v ∈ V ist eine Formel.
2. false ist eine Formel.
3. Sind A und B Formeln, so ist auch (A → B ) eine Formel.
4. Ist A eine Formel, so sind auch dA und 2A Formeln.
Abkürzungen:
• ¬, ∨, ∧, ↔, true:
• 3A
wie in klassischer Aussagenlogik
für ¬2¬A
Semantik
Eine temporale Struktur (Kripke-Struktur) für LLTL ist eine unendliche Folge K = (η0 , η1 , η2 , . . .) von
Abbildungen ηi : V → {f, t}. Die ηi heißen Zustände; η0 heißt Anfangszustand der Struktur K.
Sei K temporale Struktur für LLTL . Induktive Definition von Ki (F ) ∈ {f, t} für jede Formel F von
LLTL und jedes i ∈ N0 (“Wahrheitswert von F im Zustand ηi ”):
1. Ki (v ) = ηi (v ) für v ∈ V
2. Ki (false) = f
3. Ki (A → B ) = t
⇐⇒
Ki (A) = f oder Ki (B ) = t
4. Ki ( dA) = Ki+1 (A)
5. Ki (2A) = t
⇐⇒
Kj (A) = t für alle j ≥ i
Für die weiteren Operatoren gilt dann:
Ki (¬A) = t
Ki (A ∨ B ) = t
Ki (A ∧ B ) = t
Ki (A ↔ B ) = t
Ki (true) = t
Ki (3A) = t
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Ki (A) = f
Ki (A) = t oder Ki (B ) = t
Ki (A) = t und Ki (B ) = t
Ki (A) = Ki (B )
⇐⇒ Kj (A) = t für ein j ≥ i
Eine Formel A heißt gültig in der temporalen Struktur K (in Zeichen: |=
A), wenn Ki (A) = t ist für alle
K
i ∈ N0 . Die Formel A heißt allgemeingültig ( |= A), wenn |=
A gilt für alle K. A heißt erfüllbar, wenn
K
es eine temporale Struktur K und ein i ∈ N0 gibt mit Ki (A) = t. A folgt aus einer Formelmenge F
(F |= A bzw. B1 , . . . , Bn |= A), wenn |=
A gilt für jede temporale Struktur K mit |=
B für alle B ∈ F.
K
K
Lemma 2.1.1. Seien A und B Formeln, K = (η0 , η1 , η2 , . . .) und K0 = (η00 .η10 , η20 , . . .) temporale
Strukturen, und i ∈ N0 .
(a) Falls Ki (A) = t und Ki (A → B ) = t, so ist Ki (B ) = t.
(b) Falls ηj0 = ηi+j für alle j ∈ N0 , so ist K0j (A) = Ki+j (A) für alle j ∈ N0 .
Satz 2.1.2.
Falls |= A1 ∧ . . . ∧ An → B , so A1 , . . . , An |= B .
Satz 2.1.3.
A1 , . . . , An |= B genau dann, wenn |= 2A1 ∧ . . . ∧ 2An → B .
Satz 2.1.4.
Falls F |= A und F |= A → B , so F |= B .
Satz 2.1.5.
Falls F |= A, so gilt F |= dA und F |= 2A. (Insbesondere: A |= dA und A |= 2A.)
Satz 2.1.6.
|= A gilt genau dann, wenn ¬A nicht erfüllbar ist.
Beispiele von Formeln mit informeller Bedeutung
A → 2B
A → 3B
2(A → B )
2(A → 3B )
3(A ∧ d¬A)
32A
23A
Falls A gilt, so gilt ab sofort immer B .
Falls A gilt, so gilt irgendwann einmal (sofort oder in der Zukunft) B .
Wann immer (ab sofort) A gilt, gilt auch B .
Jedes Eintreten von A wird von einem Eintreten von B gefolgt.
Irgendwann einmal gilt A und unmittelbar danach nicht A.
Irgendwann einmal gilt A permanent.
Jeder zukünftige Zeitpunkt wird von einem Zeitpunkt gefolgt, zu dem A gilt.
D.h.: A gilt unendlich oft.
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