2. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logik“ - informatik.uni

Dipl.-Math. Ingmar Meinecke
Zimmer 3-50, Tel. 97-32345
[email protected]
SS 2005
Institut für Informatik
2. Übungsblatt zur Vorlesung
Logik“
”
Die Hausaufgaben dieser Serie sind vor der Vorlesung am 21.4. abzugeben. Bitte vermerken
Sie Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe auf jedem Blatt. Jede Lösung ist zu begründen. Das
nächste Übungsblatt erscheint am 28.4. Laden Sie es bitte von folgender Webseite herunter:
http://www.informatik.uni-leipzig.de/∼meinecke/ (dort auch weitere Infos).
10. Was ist an folgendem Schluss falsch?
Wenn Ernie Bert sein Quietscheentchen borgt, dann ist Bert glücklich. Da Ernie Bert
”
sein Quietscheentchen aber nicht gibt, ist Bert unglücklich.“
11. Eine Menge Φ von Formeln heißt erfüllbar, falls es eine Belegung f gibt, so dass f jede
Formel aus Φ erfüllt.
(a) Geben Sie eine dreielementige Formelmenge Φ an, so dass jede zweielementige
Teilmenge von Φ erfüllbar ist, Φ selbst jedoch nicht.
(b) Ist folgende Formelmenge Ψ erfüllbar?
Ψ = {p1 ∨ p2 , ¬(p2 ∧ p3 ), p3 ∨ p4 , ¬(p4 ∧ p5 ), . . . }
12. Zeigen Sie unter Verwendung der semantischen Äquivalenzen aus Satz 2.2 (und ohne
Verwendung von Wahrheitswerttabellen), dass gilt:
((p1 ∨ ¬(p2 ∧ p1 )) ∧ (p3 ∨ (p4 ∨ p3 )) ≡ (p3 ∨ p4 ) .
13. Formen Sie die Formel ¬(p → q) ∨ (q ∧ ¬r) in eine äquivalente DNF und KNF um.
14. (a) Gegeben sei unten stehende Wahrheitswerttabelle. Ermitteln Sie eine Formel, die
bei entsprechender Belegung den gleichen Wert wie in der Wahrheitswerttabelle
liefert.
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
h(p,q,r)
1
1
0
0
0
1
0
0
1
(b) Eine Menge von Junktoren J (logischen Verknüpfungszeichen) heißt vollständig,
wenn zu jeder Wahrheitswertefunktion h eine Formel ϕ, aufgebaut aus Propositionen und den Junktoren aus J, gefunden werden kann, so dass für jede Belegung f die Formel ϕ den gleichen Wahrheitswert liefert wie h. Zeigen Sie, dass
J = {¬, ∨, ∧} vollständig ist.
H-15. Sei Φ eine Menge von Formeln und Mod(Φ) die Menge aller Belegungen f mit f |= Φ.
Beweisen Sie, dass für beliebige Formeln ϕ, ψ die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) (ϕ → ψ) ist eine Tautologie.
(ii) (ϕ ∧ ¬ψ) ist nicht erfüllbar.
(iii) Mod({ϕ}) ⊆ Mod({ψ}).
H-16. (a) Sei Z die Menge der Grundsymbole des Aussagenkalküls (vgl. Def. 1.1) und F
die Menge aller Formeln der Aussagenlogik. Definieren Sie rekursiv eine Funktion
h : F → P(Z), die jeder Formel die Menge der in ihr vorkommenden Symbole
zuordnet.
(b) Können Sie auch eine Funktion definieren, die jeder Formel ϕ für jedes Symbol
sogar die Häufigkeit seines Vorkommens in der Formel ϕ zuordnet? Falls ja, geben
Sie Wertebereich und Definition einer solchen Funktion an.
H-17. Beweisen Sie für beliebiges n und beliebige Formeln ψ, ϕ1 , . . . , ϕn die semantische Äquivalenz
!
n
n
_
_
ψ∧
ϕi ≡
(ψ ∧ ϕi ) .
i=1
i=1
H-18. Wir betrachten (Abkürzungen von) Formeln, die nur die Junktoren ∧, ∨, ¬ enthalten.
Für jede solche Formel % definieren wir die duale Formel %d durch:
pdn := pn
d
für alle atomaren Formeln pn ,
d
(ϕ ∨ ψ) := (ϕ ∧ ψ d ),
(ϕ ∧ ψ)d := (ϕd ∨ ψ d ),
(¬ϕ)d := ¬(ϕd ).
Zeigen Sie, dass ϕ ≡ ψ genau dann, wenn ϕd ≡ ψ d .
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