Endwert 4.1 Der Ein-Perioden-Fall

4-0
4-1
Kapitelübersicht
Kapitel
4
Kapitalwert und
Endwert
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4-2
4.1 Der Ein-Perioden-Fall
4.2 Der Mehr-Perioden-Fall
4.3 Diskontierung
4.4 Vereinfachungen
4.5 Der Unternehmenswert
4.6 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen
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4-3
4.1 Der Ein-Perioden-Fall:
Endwert
4.1 Der Ein-Perioden-Fall:
Endwert
Wenn man 10 000 € zu 5% Zinsen für ein Jahr anlegt,
wächst der angelegte Betrag auf 10 500 €
Im Ein-Perioden-Fall kann die Formel für FV so
geschrieben werden:
FV = C0 · (1 + r)T
500 € Zinsen (10 000 ⋅€· 0,05)
10 000 € ist die Rückzahlung der Hauptschuld (10 000 × 1)
10 500 € ist der Gesamtbetrag. Er kann auch wie folgt
berechnet werden:
10 500 = 10 000 · 1,05.
wobei C0 der Zahlungsstrom heute (Zeitpunkt 0) und
r der betreffende Zinssatz sind.
Der am Periodenende fällige Gesamtbetrag der Investition
heißt der Endwert (FV).
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4-5
4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert
4.1 Der Ein-Perioden-Fall: Barwert
Wenn einem 10 000 €, fällig in einem Jahr, bei heute
herrschenden Zinsen in Höhe von 5% geboten werden,
ist das Investment 9 523,81 € in heutigen € wert.
Im Ein-Perioden-Fall kann die Formel für PV so
geschrieben werden:
9523,81€ =
PV =
10000€
1, 05
Der Betrag, den ein Schuldner heute “beiseite legen”
müsste, um eine zugesagte Zahlung von 10 000 € in
einem Jahr leisten zu können, heißt der Barwert (PV)
von 10 000€.
Man bemerke, dass 10000 = 9523.81·1,05 gilt.
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C1
1+ r
wobei C1 der Zahlungsstrom im Zeitpunkt 1
und r der betreffende Zinssatz sind.
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1
4-6
4-7
4.1 Der Ein-Perioden-Fall:
Kapitalwert
Der Kapitalwert (NPV) einer Investition ist der Barwert
des erwarteten Zahlungsstromes abzüglich der Kosten
der Investition.
Angenommen, eine Investition verspreche 10 000 € in
einem Jahr und stehe für 9 500 € zum Verkauf. Der
Zinssatz betrage 5%. Sollte man zugreifen?
10000€
1, 05
NPV = −9500€ + 9523,81€
NPV = 23,81
4.1 Der Ein-Perioden-Fall:
Kapitalwert
Im Ein-Perioden-Fall kann die Formel für NPV so
geschrieben werden:
NPV = –Cost + PV
Wenn wir das Projekt der letzten Folie mit dem
positiven NPV nicht durchgeführt und statt
dessen unsere 9 500 € anderweitig zu 5%
investiert hätten, wäre unser FV niedriger als
10 000 €, die die Investition vesrpricht und wir
wären zweifelsfrei schlechter dran in Bezug
auch auf FV:
9500 ·1,05 = 9975 < 10000.
NPV = −9500€ +
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Ja!
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4-9
4.2 Der Mehr-Perioden-Fall:
Endwert
4.2 Der Mehr-Perioden-Fall: Endwert
Die allgemeine Formel für den Endwert einer Investition über viele Perioden kann so geschrieben werden:
FV = C0·(1 + r)T
Angenommen, Jürgen Ritter hätte bei Aktienemission
der Modigliani AG Aktien erworben. Gegenwärtig zahlt
MAG eine Dividende von 1,10 € je Aktie. Man erwartet,
dass die Dividende in den nächsten fünf Jahren um 40%
pro Jahr wächst.
Wie groß wird die Dividende in fünf Jahren sein?
Wobei gilt
C0 ist der Zahlungsstrom im Zeitpunkt 0,
r ist der betreffende Zinssatz und
FV = C 0×(1 + r)T
T ist die Anzahl der Perioden, über die das Geld
investiert wird.
5,92 = 1,10 · 1,405
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4-11
Endwert und Zinseszins
Endwert und Zinseszins
1,10€ ⋅1, 405
Man bemerke, dass die Dividende im fünften
Jahr, 5,92 €, ersichtlich höher als die Summe der
ursprünglichen Dividende zuzüglich fünf
Anstiege von 40% auf die ursprüngliche 1,10 €
Dividende:
1,10€ ⋅1, 40 4
1,10€ ⋅1, 403
1,10€ ⋅1, 40 2
1,10€ ⋅1, 40
1,10€ 1,54€
5,92 > 1,10 + 5·[1,10·0,40] = 3,30
0
Das liegt am Zinseszinseffekt.
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1
2,1 6 €
3, 02€
4, 23€
5, 92€
2
3
4
5
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2
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4-13
Barwert und Zinseszins
Wie lange muss man warten?
Wie lange dauert es bis 10000 € erreicht sind,
wenn man 5000 € heute auf ein Konto bei
einem Zinssatz von 10% einzahlt,?
T
10000€ = 5000€ ⋅1,10T
FV = C0 ⋅ (1 + r )
Wieviel muss ein Investor heute ”beiseite” legen,
um über 20 000 € in fünf Jahren verfügen zu
können, wenn der Zinssatz 15% beträgt?
PV
20000 €
0
1
2
99 4 3, 5 3 € =
2 00 0 0 €
1,1 5 5
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3
4
1,10T =
10000€
=2
5000€
log (1,10T ) = T ⋅ log (1,10 ) = log 2
5
T=
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ln 2
0.6931
=
= 7, 27 Jahre
ln (1,10 ) 0.0953
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4-15
Welcher Zinssatz reicht aus?
4.3 Zinsperioden
Angenommen, die Gesamtkosten eines
Universitätsstudiums betrügen 50000€ wenn Ihr
Kind in 12 Jahren Abitur macht. Sie haben heute
5000€ zur Investition zur Verfügung. Wie hoch muss
der Anlage-Zinssatz sein, um die betreffende Summe
bereit zu stellen?
Eine Investition m mal je Jahr für T Jahre zu
verzinsen, bedeutet für den Endwert:
m⋅T

r
FV = C0 1 + 
 m 
Ungefähr 21,15%.
T
FV = C 0 ⋅ (1 + r )
12
(1 + r ) =
50000€
= 10
5000€
1 12
r = 10
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Beispiel: Wenn man 50€ für 3 Jahre zu
12% bei halbjährlicher Zinsgutschrift
anlegt, wächst das Investment auf
12
50000€ = 5000€ ⋅ (1 + r )
(1 + r ) = 101 12
2⋅3
 0,12 
6
FV = 50€ ⋅ 1 +
 = 50€ ⋅1, 06 = 70,93€

2 
− 1 = 1, 2115 − 1 = 0, 2115
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4-17
Jährlicher Effektivzins
Jährlicher Effektivzins (Fortsetzung)
Mit Bezug auf das angeführte Beispiel ist eine
naheliegende Frage die nach der effektiven
jährlichen Verzinsung?
0,12 2⋅3
) = 50€ ⋅1, 066 = 70.93€
2
Der jährliche Effektivzins (EAR) ist der
jährliche Zinssatz, der nach 3 Jahren zu
demselben Endwert führen würde:
3
FV = 50€ ⋅ (1 + EAR ) = 70,93€
3
(1 + EAR ) =
3
50€ ⋅ (1 + EAR ) = 70,93€
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70,93€
50€
13
 70,93€ 
−1 = 0,1236
EAR = 
 50€ 
FV = 50€ ⋅ (1 +
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Also: Zu 12.36% bei jährlicher Zinsgutschrift zu
investieren, ist dasselbe, wie zu 12% mit
halbjährlicher Zinsgutschrift zu investieren.
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3
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Stetige Verzinsung (Fortgeschritten)
Jährlicher Effektivzins (Fortsetzung)
Gesucht sei der jährliche Effektivzins (EAR) eines
Kredits mit 18% nominal p.a. bei monatlicher
Zinsbelastung.
Damit liegt ein Kredit mit einem Monatszins von 1½
Prozent vor.
Die allgemeine Formel für den Endwert einer Investition mit stets
unmittelbarer Zinsgutschrift ergibt sich aus :
FVT = C0·erT
Hierbei ist
C 0 die Zahlung im Zeitpunkt 0,
r der Zinssatz p.a.,
T die Anzahl der Perioden, über die die Zahlung investiert wird
Der ist äquivalent zu einem Kredit mit einem jährlichen
Zins in Höhe von 19,56 Prozent.
n⋅m


1 + r 
 m 
e die Eulersche Zahl, ungefähr to 2.718. ex finden Sie als
Funktion auf jedem Taschenrechner.
12
 0,18 
12
= 1 +
 = 1, 015 = 1,19561817

12 
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4-21
Stetige Verzinsung (Fortgeschritten)
Stetige Verzinsung (Fortgeschritten)
Die allgemeine Formel für den Endwert einer Investition
mit stets unmittelbarer Zinsgutschrift ergibt sich aus
folgender Überlegung: Der Endwert im Zeitpunkt t
ändert sich durch Zuschreibung der Zinsen über den
Zeitraum ∆t zu
Grenzübergang führt auf eine Differentialgleichung
FVt +∆t − FVt dFVt
=
= r ⋅ FVt
∆t
dt
mit der Lösung
lim Λt →0
FVt +∆t − FVt = r ⋅ FVt ⋅∆t
FVt = c ⋅ e r⋅t
FV0 = C0
FVt +∆t − FVt
= r ⋅ FVt
∆t
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4-22
d.h. FVt = C0 ⋅ e r⋅t
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4-23
4.4 Vereinfachungen
Ewige Rente
4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt)
Allgemein
A constant stream of cash flows that lasts forever.
T
Ewig wachsende Rente
PV = ∑
Strom von Zahlungen, die mit einer konstanten Rate ewig
wachsen.
t =1
Ct
t
(1 + r )
Annuität
konstante Zahlung über eine feste Anzahl von Perioden.
Wachsende Annuität
Strom von Zahlungen, die mit einer konstanten Rate über eine
feste Anzahl von Perioden wachsen.
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4
4-24
4-25
4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt)
4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt)
Gleiche Zahlungen
Allgemeine Formel (“geometrische Reihe”)
T
PV = C ⋅ ∑
t =1
1
T
ST = ∑ q t ;
t
(1 + r )
t =1
T +1
t =1
t =2
ST ⋅ q − ST = qT +1 − q
Wachsende Zahlungen
t
(1 + g )
PV = C ⋅ ∑
t
t =1 (1 + r )
T
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T
ST ⋅ q = ∑ q t +1 = ∑ q t
⇒ ST =
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qT +1 − q
q −1
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4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt)
4.4 Vereinfachungen (fortgesetzt)
Allgemeine Formel (“geometrische Reihe”)
Allgemeine Formel (“geometrische Reihe”)
ST =
qT +1 − q
q −1
ST =
T +1
T
 1 
 1 
1

1− 
 −

1 + r 
1
1 + r 
1+ r
⇒ ST =
=
(1) q =
1
r
1+ r
−1
1+ r
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4-28
qT +1 − q
q −1
 1 + g T 
T +1
1 + g 
1+ g
 
 

 −
1−  1 + r  



 1+ r 
1+ g
1+ r



⇒ ST =
= (1 + g )⋅
( 2) q =
g
r−g
1+ r
−1
1+ r
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4-29
Ewige Rente
Ewige Rente: Beispiel
A constant stream of cash flows that lasts forever.
0
PV =
C
C
C
1
2
3
…
Welchen Wert hat ein Britischer Konsolen-Bond, der verspricht,
jedes Jahr £15 zu zahlen, jedes Jahr, bis die Sonne zum roten
Riesen wird und die Erde in einen Knusper-Chip verwandelt?
Der Zinssatz ist 10%.
C
C
C
+
+
+!
(1 + r ) (1 + r ) 2 (1 + r ) 3
0
The formula for the present valueT of a perpetuity is:
 1 
1− 
1 + r 
C
=
PV = C ⋅ limT →∞
r
r
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£15
£15
£15
1
2
3
PV =
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…
£15
= £150
0,10
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4-30
4-31
Ewig wachsende Rente
Ewig wachsende Rente : Beispiel
Endlos wachsender Strom von Zahlungen.
0
C
C·(1+g)
C·(1+g)2
1
2
3
C ⋅ (1 + g ) C ⋅ (1 + g )2
C
+
+
+!
(1 + r )
(1 + r )2
(1 + r )3
 1 + g T 
1− 


 
 
C
  1 + r  
= C ⋅ limT →∞ 
=
(r > g )
r−g
r−g
…
Die heutige Dividende beträgt 1,30€; es wird ein dauerhaftes
Wachstum der Dividende in Höhe von 5% erwartet.
Der Diskontierungssatz ist 10%; wie hoch ist der Wert dieses
versprochenen Dividendenstroms?
1,30€·1,05 1,30€·(1.05)2
1,30€ ·1,053
…
PV =
0
Die Formel für den Barwert einer ewig wachsenden Rente lautet:
PV =
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2
McGraw-Hill/Irwin
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3
1,30€
PV = 1, 05 ⋅
= 27,30€
0,10 − 0, 05
C
r−g
4-32
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4-33
Annuität
Annuität (Intuition)
Konstanter Strom von Zahlungen mit festem Horizont.
0
PV =
C
C
C
1
2
3
C
T
C
C
C
C
+
+
+!
(1 + r ) (1 + r ) 2 (1 + r ) 3
(1 + r )T
0
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4-34
C
C
1
2
3
T
Eine Annuität kann als Differenz zweier ewiger Renten
aufgefasst werden:
Die erste beginnt im Zeitpunkt 1 ,
die zweite beginnt im Zeitpunkt T + 1
1
 C 
1−
T
 
(1 + r )
C
r
PV = −
= C⋅
T
r (1 + r )
r
C
1 
PV = 1 −
r  (1 + r )T 
McGraw-Hill/Irwin
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C
!
C
!
Die Formel für den Barwert einer Annuität ist:
McGraw-Hill/Irwin
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4-35
Annuitäten in Excel
Annuität: Beispiel
Wenn Sie monatlich 400€ Ratenzahlung für ein Auto
erübrigen können: Wieviel Auto können Sie sich leisten
bei einem Ratenkredit von 36 Monaten bei 7% Zinsen?
$400
$400
$400
Wechsel zum Excel-Blatt
Die gefundene Formel für die Annuität heißt
„Rentenbarwertfaktor“
$400
1−
RBF =
!
0
1
2
3
36
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1
T
(1 + r )
r
T
=
(1 + r ) −1
T
r ⋅ (1 + r )
Der Kehrwert heißt „Wiedergewinnungsfaktor“

1
1 −
T

(1 + r )
WGF = 

r




400€ 
1
 = 12954.59€
PV =
1−
36 

0, 07 /12  (1 + 0, 07 12) 


McGraw-Hill/Irwin
Corporate Finance, 7/e
1
McGraw-Hill/Irwin
Corporate Finance, 7/e








−1
T
=
r ⋅ (1 + r )
T
(1 + r ) − 1
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6
4-36
4-37
Wie hoch ist der Barwert einer 4-jährigen Annuität in Höhe
von 100€ pro Jahr, deren erste Zahlung in, von heute aus gesehen,
zwei Jahren erfolgt (Zinssatz 9% p.a.)?
4
PV1 = ∑
t =1
100€ 100€ 100€ 100€ 100€
=
+
+
+
= 327,97€
1, 09t 1, 091 1, 092 1, 093 1, 094
Wachsende Annuität
Ein wachsender Strom von Zahlungen mit fester Laufzeit.
C
C·(1+g) C·(1+g)2
C·(1+g)T-1
!
0
297,22€
323,97€
100€
100€
0
1
2
327, 97€
PV =
= 297, 22€
0
1, 09
100€
3
McGraw-Hill/Irwin
Corporate Finance, 7/e
1
2
3
T
T −1
C
⋅
1
+
g
C
⋅
1
+ g)
(
)
(
C
PV =
+
+
!
+
T
(1 + r ) (1 + r )2
(1 + r )
Die Formel für den Barwert einer wachsenden
T
 
Annuität:
 
100€
4
5
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4-38
PV =
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C   1+ g 

1−
r − g  (1 + r )





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4-39
Barwert einer wachsenden Annuität
Sie bewerten Mieteigentum, das steigende Mieten abwirft. Die
Nettomiete ist jeweils am Ende des Jahres zahlbar. Die erste
Jahresmiete soll 8500€ betragen, die Miete soll jedes Jahr um
7% steigen. Wie hoch ist der Barwert des abzusehenden Einkommensstroms über die ersten 5 Jahre bei einem Zinssatz
von 12%?
Wachsende Annuität
Eine Betriebsrentenvereinbarung garantiere 20000€ pro
Jahr für 40 Jahre mit einem Inflationsausgleich von drei
Prozent pro Jahr. Wie hoch ist der Barwert bei Eintritt in
den Ruhestand bei einem Zinssatz von 10 percent?
8500€ ⋅1, 07 2 =
8500€ ⋅1, 07 4 =
8500€ ⋅1, 07 =
8500€ ⋅1, 073 =
8500€ 9095€ 9731, 65€ 10412,87€ 11141, 77€
0
1
34706,26€
2
3
McGraw-Hill/Irwin
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4
20000€
0
4-40
1
McGraw-Hill/Irwin
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20000€·1,0339
!
2
2 00 00 €
PV =
0,1 0 − 0, 0 3
5
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20000€·1,03
40
40


 

 1, 03  
1 −  1,1 0   = 2 65 12 1, 5 7€


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4-41
Barwert einer verzögerten wachsenden
Annuität
Ihr Unternhmen plant eine ordentliche Kapitalerhöhung; Sie sollen
eine Schätzung für einen angemessenen Emissionspreis vorlegen.
Es ist folgende Dividendenprognose gegeben:
Jahr:
1
2
3
4
Dividende pro
Aktie
1,50€
1,65€
1,82€
5% Wachstum
danach
Barwert einer verzögerten wachsenden
Annuität
Jahr
Zahlung
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1
2
3
1,50€
1,65€
1,82€
4
…
1,82€·1.05
Erster Schritt: Zeitstrahl zeichnen.
Zweiter Schritt: Was ist gegeben und
was soll gesucht und gefunden
werden?
Welcher Preis ist angemessen, wenn Investoren bei
diesem Risikoniveau 10% Rendite auf ihre Investition
erwarten?
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0
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7
4-42
4-43
Barwert einer verzögerten wachsenden
Annuität
Jahr
0
Zahlung
PV der
Zahlungen
P0 =
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4-44
1
2
1,50€
1,65€
4.5 Was ist ein Unternehmen wert?
Im Prinzip sollte ein Unternehmen den Barwert
seiner Cashflows wert sein.
Die Schwierigkeiten liegen in der Bestimmung
der Höhe, der zeitlichen Verteilung und des
Risikos dieser Cashflows.
3
1,82€ Dividende + P
= 1,82€ + 38,22€
32,81€
P3 =
1,82€ ⋅1,05
= 38, 22€
0,10 − 0,05
1,50€ 1,65€ 1,82€ + 38, 22€
+
+
= 32,81€
1,10 1,102
1,103
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4.6 Zusammenfassung und
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4-45
Schlussfolgerungen
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N
CN
Ct
C1
C2
+
+!+
= C0 + ∑
N
t
2
(1 + r ) (1 + r )
(1 + r )
t =1 (1 + r )
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4-46
4.6 Zusammenfassung und
Schlussfolgerungen (fortgesetzt)
Wir haben vier vereinfachende Formeln kennen gelernt:
C
Ewige Rente : PV =
r
C
Wachsende ew. Rente :PV =
r−g
C
1 
Annuität :PV = 1−
r  (1 + r )T 


T
C  1 + g  
Wachsende Annuität: PV =
1
−


r − g   1 + r  
Zwei grundlegende Konzepte, Barwert und Endwert,
wurden in diesem Kapitel eingeführt.
Zinssätze werden üblicherweise auf Jahresbasis (p.a.)
ausgedrückt, aber es gibt auch halbjährliche,
vierteljährliche, monatliche und sogar stetig
verrechnende Zinsarrangements.
Formel für den Netto-Barwert (Kapitalwert) einer Investition, die Ct € für die t=0,1,…,N Perioden (ein-)zahlt:
NPV = C0 +
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4-47
Problem 1
Sie haben 30000€ Verbindlichkeiten aus
Studiengebühren, die Sie monatlich innerhalb von 10
Jahren zurück zahlen sollen.
15000€ sind zu 7% p.a. finanziert.
8000€ sind zu 8% p.a. finanziert.
7000€ sind zu 15% p.a. finanziert.
Problem 2
Sie überlegen den Kauf einer auf US-Dollar lautenden Ausbildungsversicherung für Ihre 8-jährige Tochter. Sie soll ihr Studium
in genau 10 Jahren an einem amerikanischen College beginnen,
wobei die erste Gebührenzahlung von $12,500 am Beginn des
Jahres fällig ist. In den folgenden Studienjahren werden $15,000,
$18,000 und $22,000 fällig. Wieviel ist heute einzuzahlen, um die
Gebühren vollständig zu finanzieren? Der Rechnungszins ist 14%.
Wie hoch ist der Zinssatz für Ihr Portfolio insgesamt?
Hint: don’t even think about doing this:
= 15,000 × 7% + 8,000 × 8% + 7,000 × 15%
30,000
30,000
30,000
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Problem 3
Sie überlegen, ein neues Auto zu kaufen. Das jetzige haben Sie für
25000€ vor genau drei Jahren gekauft und zu 7% p.a mit einer
Laufzeit von 60 Monaten finanziert. Sie wollen abschätzen,
mit welcher Summe Sie den Kredit ablösen könnten, um den
benötigten Verkaufserlös für Ihr gebrauchtes Auto zu
bestimmen.
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Problem 4
Sie haben gerade Ihre erste Arbeitsstelle angetreten und wollen den
Eigenkapitalanteil für einen Hauskauf anzusparen beginnen. Sie
planen 20% des Kaufpreises anzusparen und den Rest durch
Bankdarlehen zu finanzieren.
Sie haben eine Investitionsgelegenheit, die 10% p.a verspricht.
Häuser Ihrer Vorstellung kosten gegenwärtig 100000€. Die
Immoblienpreise steigen z.Z. um 5% pro Jahr und Sie schätzen,
dass dieser Trend vorerst anhält.
Wieviel müssen Sie monatlich sparen, wenn Sie in 5 Jahren das
benötigte Eigenkapital beisammen haben wollen?
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