Reelle/komplexe Zahlen und Vollständigkeit

Die folgenden Fragen/Aussagen sind mit ja“/ wahr“oder nein“/ falsch“ zu beant”
”
”
”
worten. Da wir den Stoff der Analysis 1 behandeln, ist im weiteren davon auszugehen
dass die Folgen, Reihen, Definitionsbereiche usw. in N, Z, Q, R oder C bzw. Teilmengen
sind, es sei denn es ist etwas anderes vermerkt. Zudem betrachten wir auf diesen Mengen
immer die beiden in Kapitel 1&2 eingeführten Absolutbeträge als Norm.
Reelle/komplexe Zahlen und Vollständigkeit
Ja/Wahr
Nein/Falsch
1 Jede Menge M ⊂ R besitzt zumindest eine größte untere Schranke.
2 Jede endliche Menge M ⊂ R besitzt sowohl eine kleinste obere
als auch eine größte untere Schranke
3 Gilt für alle A, B ⊂ R die Gleichung sup(A · B) = sup A · sup B ?
4 In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele rationale Zahlen
5 In jedem abgeschlossenen Intervall liegen unendlich viele irrationale
Zahlen
6 Wenn a und b rational sind, so ist auch ab rational.
7 Wenn a und b ganze Zahlen sind, so ist ab eine ganze Zahl
8 Besitzt jede beschränkte Menge M ⊂ C ein Supremum?
9 Der Ausdruck z · z mit z ∈ C ist genau dann nicht reell, wenn
Im(z) > 0 ist.
10 Der Quotient wz mit w, z ∈ C ist genau dann reell wenn ein a ∈ R
existiert mit w = az.
11 Jede (unendlich feine) Intervallschachtelung in R besitzt genau eine
reelle Zahl die in all ihren Intervallen liegt.
12 Zu jedem a ∈ R gibt es genau eine (unendlich feine)
Intervallschachtelung, so dass a in all ihren Intervallen liegt.
13 Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer noch eine
rationale Zahl.
14 ∞ ∈ R da R ja vollständig ist.
15 Für alle komplexen Zahlen w, z gilt
√
wz =
√
w·
√
z
LÖSUNGEN: Reelle/komplexe Zahlen und Vollständigkeit
1 [FALSCH] Die Menge ] − ∞, 0] ⊂ R hat beispielsweise keine untere Schranke und damit
natürlich auch keine größte.
2 [WAHR] Jede endliche Teilmenge des R ist beschränkt und jede beschränkte Teilmenge des
R besitzt ein Supremum (kleinste obere Schranke) und ein Infimum (größte untere Schranke).
3 [NEIN] Dies gilt z.B. nicht für A = [−2, −1], B = [1, 2] denn
sup(AB) = sup([−4, −1]) = −1 6= −2 = −1 · 2 = sup(A) sup(B)
4 [FALSCH] Für a = b und a, b ∈ R ist ]a, b[= ∅ und enthält somit auch keine rationale Zahl.
Für a < b ist diese Aussage allerdings wahr.
5 [FALSCH] Da z.B. [1, 1] = {1} ebenfalls ein abgeschlossenes Intervall ist aber nur genau eine
rationale Zahl enthält. Wiederum ist diese Aussage für [a, b] mit a < b und a, b ∈ R wahr.
6 [FALSCH] Gegenbeispiel liefert unter anderem die irrationale Zahl
7 [FALSCH] Gegenbeispiel wäre unter anderem 2−1 =
1
2
√
2 = 21/2 ∈
/ Q.
∈
/ Z.
8 [NEIN] Genau genommen ist Supremum“ (und auch Infimum“) im Komplexen überhaupt
”
”
nicht definiert, da die Definition eine Ordnungsrelation voraussetzt.
9 [FALSCH] Für diesen Ausdruck haben wir gezeigt zz = |z| und damit ist er immer reell.
10 [FALSCH] Aber es fehlt nicht viel: Wir müssen nur z = 0 aussschließen und die Aussage ist
wahr.
11 [WAHR] So wurde R in der Vorlesung eingeführt wenn die Intervallgrenzen in Q sind. Da
zwischen allen reellen Zahlen (die nicht gleich sind) noch eine rationale liegt, gilt das auch für alle
reellen Intervallschachtelungen.
12 [FALSCH] Es gibt zum Beispiel für 0 ∈ R die beiden Invervallschachtelungen In := [− n1 , n1 ]
und Jn := [− n12 , n12 ] jeweils für n = 1, 2, 3, . . ..
13 [WAHR] Diese Aussage gilt für zwei beliebige verschiedene reelle Zahlen und damit insbesondere auch für zwei verschiedene rationale Zahlen. Ausserdem können wir ebenfalls direkt eine
angeben: a+b
2 .
14 [FALSCH] Da es keine Intervallschachtelung (ja noch nicht einmal ein einziges Intervall)
gibt das ∞ beinhaltet, ist ∞ trotz Vollständigkeit“ nicht in R.
”
15 [FALSCH] Als Gegenbeispiel dient das (mehr oder weniger bekannte)
p
√
√ √
1 = 1 = (−1)(−1) = −1 −1 = i · i = −1
Hier sieht man auch warum es eine gute Idee ist, bei negativen oder komplexen Zahlen auf das
Wurzel-Symbol zu verzichten.
2
Folgen
Ja/Wahr
Nein/Falsch
1 Jede konvergente Folge hat einen Grenzwert.
2 Es gibt Folgen mit mehr als einem Grenzwert.
3 Aus lim supn→∞ an = lim inf n→∞ an = c ∈ R folgt die Konvergenz der
Folge (an )n∈N gegen c.
4 Das N in der Definition von Konvergenz“ darf von ε abhängen.
”
5 Kann man den Grenzwert einer Folge ändern indem man endlich viele
ihrer Folgeglieder ändert?
6 Ist die Teilfolge einer Teilfolge auch Teilfolge der ursprünglichen Folge ? 7 Wenn eine Folge konvergiert, konvergieren dann auch alle ihre
Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert ?
8 Es gibt eine unbeschränkte konvergente Folge.
9 Es gibt Cauchy-Folgen die nicht konvergent sind.
10 Es gibt Cauchy-Folgen in C die nicht konvergent sind.
11 Gibt es Folgen mit unendlich vielen Häufungswerten ?
12 Jede Folge hat zumindest einen Häufungswert.
13 Jede konvergente Folge hat genau einen Häufungswert.
14 Sei (an )n∈N eine reelle und (bn )n∈N eine komplexe Folge, so folgt
limn→∞ (an · bn ) = limn→∞ (an ) · limn→∞ (bn )
15 Wenn (an )n∈N und (bn )n∈N reelle Folgen sind von denen (an )n∈N
bestimmt gegen ∞ divergiert, so divergiert auch an + bn .
16 Jede beschränkte Folge in R konvergiert.
17 Eine komplexe Folge konvergiert genau dann wenn ihr Real- und
Imaginärteil konvergiert.
18 Gilt für a, b ∈ [0, ∞[ die Konvergenz
√
n
n→∞
an + bn −−−→ b ?
3
LÖSUNGEN: Folgen
1 [WAHR] Das geht direkt aus der Definition von konvergent“ hervor.
”
2 [FALSCH] Solange wir uns in einem metrischen Raum bewegen ist der Grenzwert (falls er
existiert) eindeutig.
3 [WAHR] Zum Beispiel mit dem Einschlußkriterium beweisbar.
4 [WAHR] Das N unabhängig von ε zu wählen ist nur bei Folgen möglich die ab einem Index
konstant auf ihrem Grenzwert liegen.
5 [NEIN] Angenommen alle veränderten Folgeglieder liegen vor dem Index M ∈ N (es sind
endlich viele, also existiert M ), so wählen wir das N aus der Definition von Konvergenz einfach
immer größer als M .
6 [JA] Zwei streng monotone Abbildungen τ, µ : N → N bilden verkettet wieder eine streng
monotone Abbildung (τ ◦ µ) : N → N.
7 [JA] Die Annahme es gäbe eine Teilfolge die nicht gegen den GW der Folge konvergiert, führt
dazu dass die Folge nicht gegen ihren GW konvergieren kann.
8 [FALSCH] Wir wissen aus Satz 3.2 dass jede konvergente Folge beschränkt ist.
9 [WAHR] Zum Beispiel ist die Folge mit den Folgegliedern an := (1 + n1 )n in Q eine CauchyFolge aber nicht in Q konvergent da ihr Grenzwert nicht in Q liegt. (aus Z17: e ∈
/ Q)
10 [FALSCH] Da C vollständig ist, konvergiert dort jede Cauchy-Folge.
11 [JA] Ein Beispiel ist die Folge (0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . ), ein anderes
lernten wir in H21 kennen.
12 [FALSCH] Die Folge mit den Folgegliedern an := n für n ∈ N besitzt keinen Häufungswert.
13 [WAHR] Dieser Häufungswert ist der Grenzwert. Angenommen es gäbe einen weiteren, dann
gäbe es eine Teilfolge die gegen diesen und nicht den ursprünglichen GW konvergieren würde. Dies
ist ein Wiederspruch zur vorhergehenden Frage 7.
14 [FALSCH] Da wir nicht wissen ob die beiden Folgen überhaupt konvergieren.
15 [FALSCH] Angenommen an = n und bn = −n für n ∈ N, so ist an + bn = 0 für alle n ∈ N.
16 [FALSCH] Gegenbeispiel: an = (−1)n für n ∈ N.
17 [WAHR] Wurde in H12 gezeigt.
18 [FALSCH] Wir haben gezeigt, dass das nur gilt falls b ≥ a ist (H14).
4
Nicht vergessen: wir betrachten hier nur Potenzreihen der Form
punkt ist die Null).
P∞
n=0 an z
n
(d.h. der Entwicklungs-
Reihen
Ja/Wahr
1 Wenn (an )n∈N Cauchy-Folge ist, so ist
P∞
n=0 an
konvergent.
Nein/Falsch
3 Gibt es Reihen die absolut konvergent aber nicht konvergent sind ?
4 Wenn p(z) Potenzreihe mit Konvergenzradius R ist, so konvergiert
p für |z| ≤ R.
5 Es gibt eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R = 0.
6 Jede Potenzreihe p(z) konvergiert für z = 0.
7 Man kann den Wert einer Reihe verändern, wenn man endlich viele
Summanden ändert.
9 Der Konvergenzradius einer Potenzreihe mit reellen Koeffizienten ist
in R und in C gleich, wenn er existiert.
10 Der mit dem Quotientenkriterium errechnete Konvergenzradius
einer Potenzreihe stimmt immer mit dem Konvergenzradius des Wurzelkriteriums überein, falls beide Kriterien ein Ergebnis liefern.
an für jedes N ∈ N.
12 Ist das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen konvergent ?
13 Jede Reihe auf die das Leibniz-Kriterium anwendbar ist liefert
zugleich eine Intervallschachtelung für ihren Grenzwert.
14 Konvergiert jede Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzradius
(d.h. für |z| < R)absolut ?
15 Jede reelle oder komplexe Potenzreihe hat mindestens den Konvergenzradius 0.
2 Wenn
8 Wenn
P∞
n=0 an
11 Wenn
|an+1 |
|an |
P∞
konvergent ist, so ist (an )n∈N Nullfolge .
n→∞
−−−→ q mit q ≤ 1 gilt, dann konvergiert
n=0 an
konvergent ist, so auch
P∞
n=N
5
P∞
n=0 an .
LÖSUNGEN: Reihen
1 [FALSCH] Für die Konvergenz einer Reihe muss über eine Nullfolge summiert
an = 1
Pwerden.
∞
für alle n ∈ N ist eine Cauchy-Folge aber keine Nullfolge und damit konvergiert n=0 an nicht.
2 [WAHR] Das wurde in Korollar 5.2 gezeigt.
3 [NEIN] Aus der absoluten Konvergenz folgt die Konvergenz (Korollar 5.3)
4 [FALSCH] Wie z.B. in T24 gesehen, liefert der Konvergenzradius keinerlei Hinweise zum
Verhalten der Potenzreihe auf seinem Rand.
5 [WAHR] Betrachte beispielsweise
P∞
n=0 n
nzn
so ist
√
n
n→∞
nn = n −−−→ ∞ und damit R = 0.
6 [WAHR] Setzen wir z = 0 so erhalten wir die Reihe p(0) = a0 +
P∞
n=1 an 0
n
= a0 .
7 [WAHR] Das kann man zum
schön an der Exponentialfunktion sehen: 1 +
P
P∞ Beispiel
∞
1 n
1 n
n=1 n! 1 = exp(1) = e und 2 +
n=1 n! 1 = 1 + exp(1) = 1 + e.
8 [FALSCH] Wir betrachten die harmonische Reihe und sehen dass ihr Quotient
q = 1 konvergiert. Aber die harmonische Reihe konvergiert nicht.
1
n+1
1
n
gegen
9 [WAHR] Das ist insbesondere klar wenn man sich R ⊂ C in Erinnerung ruft.
10 [WAHR] Das muss so sein, da es sonst Reihen und ein Rq < x < Rw zwischen den Konvergenzradien Rq , Rw gibt für das das Wurzelkriterium divergenz aber das Quotientenkriterium
konvergenz liefern würden.
11 [WAHR] Das wird besonderst deutlich wenn man die Folgen der Partialsummen betrachtet.
12 [NEIN] Wie wir aus Z21 wissen benötigen wir dazu noch die absolute Konvergenz von
mindestens einer der Reihen. In H35 haben wir dazu auch ein Gegenbeispiel kennengelernt.
13 [WAHR] Das wurde in H36 behandelt.
14 [JA] Diese Aussage basiert darauf, dass für |z| < R das Wurzel-/Quotientenkriterium (für
Reihen, nicht Potenzreihen) anwendbar ist und damit die Reihe absolut konvergiert (z.B. Korollar
5.8 und 5.10).
15 [WAHR] Da in beiden Fällen nur mit Beträgen
gearbeitet wird und die Wurzel als nicht
P
n z n haben wir dann ebenfalls ein Beispiel
negativ definiert ist folgt ja bereits R ≥ 0. Mit ∞
n
n=1
für den Konvergenzradius R = 0. (Wurzelkriterium anwenden)
6
Stetigkeit
Ja/Wahr
Nein/Falsch
1 Wenn f : D → R stetig ist und (an )n∈N eine Folge, so gilt
limn→∞ f (an ) = f (limn→∞ an ).
2 Das δ in der ε-δ-Definition von Stetigkeit darf von der Stelle p
abhängen.
3 Kann f ◦ g oder g ◦ f (beide wohldefiniert) stetig sein, falls f stetig ist,
g aber nicht ?
4 Hat jede Funktion f :]0, 1[→ R die mindestens eine Nullstelle besitzt,
auch eine kleinste Nullstelle ?
5 Können unbeschränkte Funktionen gleichmäßig stetig sein ?
6 Jede stetige, monoton wachsende Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. 7 Jede Lipschitz-stetige Funktion ist auch gleichmäßig stetig.
8 Eine komplexe Potenzreihe p(z) mit Konvergenzradius R ∈]0, ∞[ ist für
alle z ∈ C mit |z| ≤ R stetig.
9 In R oder C folgt aus der Folgenstetigkeit einer Funktion auch ihre
ε-δ-Stetigkeit, aber nicht unbedingt umgekehrt.
10 Ob f : K → K stetig in x ∈ K ist, hängt nur von einer beliebig kleinen
Umgebung von x ab.
11 Beschränkte stetige Funktionen nehmen ihr Maximum/Minimum an.
12 Ob f : D → f (D) surjektiv ist hängt davon ab ob f stetig ist.
13 Wenn eine Funktion Lipschitz-stetig ist, so ist die Lipschitzkonstante L
eindeutig bestimmt.
14 Es seien f, g : [a, b] → R stetig mit f (a) > g(a) und f (b) < g(b),
dann folgt ∃x ∈ [a, b] : f (x) = g(x).
15 f :]0, ∞[→ R mit x 7→ xx kann stetig in den Punkt x = 0 fortgesetzt
werden.
16 Jedes Polynom p : R → R ungeraden Grades ist surjektiv.
7
LÖSUNGEN: Stetigkeit
1 [FALSCH] Eine fehlende Voraussetzung hierfür ist, dass (an )n∈N auch konvergiert. Falls das
nicht der Fall ist, kann man dem Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung eventuell keinen
sinnvollen Wert in R zuordnen. Zudem muss noch sichergestellt sein, dass alle an in D liegen.
2 [WAHR] Das δ darf für jede Stelle und für jedes ε neu gewählt werden (darf also von beidem
abhängen).
(
1
3 [JA] Für den Fall (f ◦ g) wäre x →
7 x2 und x →
7
−1
f
g
falls x ≥ 0
ein Beispiel und für den
falls x < 0
f
Fall (g ◦ f ) ebenso. Ein triviales Bsp. wäre ausserdem x 7→ 0 und g : R → R nicht stetig.
4 [NEIN] Gegenbeispiel ist x 7→ sin( x1 ) eingeschränkt auf ]0, 1[. Diese hat für alle k = 1, 2, 3, . . .
1
in x = kπ
Nullstellen. Diese Menge hat das Infimum 0, ist dort aber gar nicht definiert, hat also
auch keine kleinste Nullstelle. Ein weiteres (langweiligeres) Gegenbeispiel wäre x 7→ 0.
5 [JA] Hier genügt uns ein Beispiel: x 7→ x ist auf R unbeschränkt aber z.B. mit δ = ε/2
gleichmäßig Stetig.
6 [FALSCH] x 7→ c für ein c ∈ R ist stetig und monoton wachsend aber offensichtlich nicht
umkehrbar (da nicht injektiv).
7 [WAHR] Das haben wir in T27 gezeigt. Es wurde dabei δ =
ε
L
gewählt.
8 [FALSCH] Aber das liegt nur daran dass wir noch |z| = R ausschließen müssen ( auf dem
”
Rand des Konvergenzradius kann alles passieren“). Für |z| < R ist diese Aussage korrekt.
9 [FALSCH] Sowohl in R als auch in C ist Folgenstetigkeit und ε-δ-Stetigkeit äquivalent.
10 [WAHR] Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft (im Gegensatz zu beispielsweise gleichmäßiger
Stetigkeit oder Lipschitz-Stetigkeit). Das ist z.B. daran erkennbar dass wir das δ in der Definition
beliebig klein wählen können und damit eben nur diese beliebig kleine Umgebung von x betrachten.
11 [FALSCH] Gegenbeispiele wäre unter anderem f : [1, ∞[→ R mit x 7→
1
x
oder der arctan“.
”
12 [FALSCH] Durch diese Definition der Wertemenge ist sichergestellt dass f surjektiv ist,
unabhängig von seiner Stetigkeit.
13 [FALSCH] Gilt zum Beispiel für eine Funktion f : D → R und ein L > 0 ∀x, y ∈ D :
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| so gilt dies ebenso wenn wir L durch ein M > L ersetzen.
14 [WAHR] Nullstellensatz auf f − g anwenden. (Satz 6.7)
15 [WAHR] Der Grenzwert lässt sich leichter durch xx = ex ln(x) berechnen.
16 [WAHR] Für ein Polynom p(x) = an xn + · · · + a0 mit n ∈ N ungerade, gilt limx→±∞ p(x) =
±sgn(an )∞ und zusammen mit dem Zwischenwertsatz erhalten wir die Aussage.
8
Differentiation
Ja/Wahr
Nein/Falsch
1 Ist jede differenzierbare Funktion stetig ?
2 Jede streng monotone, differenzierbare Funktion f : R → R besitzt eine
differenzierbare Umkehrfunktion.
3 Folgt aus f : R → R streng monoton wachsend und differenzierbar
bereits f 0 (x) > 0 für alle x ∈ R ?
4 Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R stetig differenzierbar. Folgt aus
x ist Minimum von f“ bereits f 0 (x) = 0“?
”
”
5 Ist f : [1, 2] ∪ {3} ∪ [4, 5] → R, so kann f bei x = 3 nie differenzierbar sein. 6 Differenzierbare Funktionen sind gleichmäßig stetig.
7 Stetig differenzierbare Funktionen f : R → R mit beschränkter Ableitung sind Lipschitz-stetig.
8 Polynome vom Grad n sind genau n + 1-Mal stetig differenzierbar.
9 Sind f, g : R → R differenzierbar so ist f ◦ g und g ◦ f differenzierbar.
10 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist stetig.
(
0
11 Ist f : R → R mit fn (x) :=
xn
öfter als n-Mal stetig differenzierbar?
12 Ist der Satz von Rolle ein Spezialfall des Mittelwertsatzes ?
13 Ist jede rationale Funktion auf ihrem Definitionsbereich stetig
differenzierbar ?
14 Jede reelle Funktion f die beliebig oft stetig differenzierbar ist, besitzt
ein n ∈ N so dass f (n) konstant ist.
15 Es gibt Funktionen die auf ihrem gesamten Definitionsbereich sowohl
monoton wachsen als auch monoton fallen.
16 Seien f, g :]a, b[⊂ R → R zwei reelle stetig differenzierbare Funktionen mit
limx→a f (x) = ∞ und limx→a g(x) = 0 dann ist L’Hospital auf
limx→a f (x)g(x) anwendbar.
falls x < 0
und n = 1, 2, 3, . . .
falls x ≥ 0
9
LÖSUNGEN: Differentiation
1 [JA] Das ist gerade die Aussage des Satz 7.2.
2 [FALSCH] Als Gegenbeispiel wurde bereits die Funktion x 7→ x3 vorgestellt.
3 [NEIN] Auch hier ist x 7→ x3 ein Gegenbeispiel
4 [NEIN] Das Minimum kann durchaus auf dem Rand angenommen werden mit f 0 (x) 6= 0 an
dieser Stelle. Falls das Minimum allerdings innerhalb von I, d.h. nicht am Rand angenommen
wird, so hat diese Aussage Gültigkeit.
(a)
5 [WAHR] Betrachten wir den Grenzwert des Differenzenquotienten lim a→x f (x)−f
so bemerx−a
x6=a
ken wir dass es keine Folge an → x = 3 in [1, 2] ∪ {3} ∪ [4, 5] geben kann deren Folgeglieder alle
von x = 3 verschieden sind.
6 [FALSCH] Gegenbeispiel ist f : R → R mit x 7→ x2 . Diese Funktion ist nicht gleichmäßig
stetig aber differenzierbar.
7 [WAHR] Sei f : D → R die betrachtete Funktion. Die Lipschitz-Konstante L wird größer als
supx∈D |f 0 (x)| gewählt und die Ungleichung wird dann zusammen mit dem Mittelwertsatz gezeigt
(Satz 7.11).
8 [FALSCH] Polynome in R und in C sind immer beliebig oft stetig differenzierbar.
9 [WAHR] Diese Aussage beinhaltet der Satz 7.4 (Kettenregel).
10 [FALSCH] Ein Gegenbeispiel lernten wir in Z32 kennengelernt x2 sin( x1 )“.
”
(
0
falls x < 0
(n)
11 [NEIN] Nach n-maliger Differentiation bekommen wir fn (x) =
was auch
n! falls x ≥ 0
nicht stetig ergänzt werden kann.
12 [JA] Der Satz von Rolle ist der Mittelwertsatz mit der Zusatzbedingung f (a) = f (b).
13 [JA] Dieses Ergebnis liefert uns Satz 7.3 (iii).
14 [FALSCH] Ein wohlbekanntes Gegenbeispiel ist die Exponentialfunktion, für die für alle
n = 1, 2, 3 . . . gilt (ex )(n) = ex .
15 [WAHR] Erstaunlicherweise kann eine Funktion beide Eigenschaften zugleich haben. Das ist
genau dann der Fall wenn sie konstant ist.
16 [WAHR] Dieser kleine Trick ist sehr nützlich: Wir schreiben eine der beiden Funktionen
unter den Bruch, wobei egal ist mit welcher wir das machen: f (x)g(x) = g(x)
oder f (x)g(x) = f (x)
1
1 .
f (x)
g(x)
Auf diese Ausdrücke lässt sich dann l’Hospital anwenden und der Grenzwert wie gewohnt damit
berechnen.
10
Integralrechnung
Ja/Wahr
Nein/Falsch
1 Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion.
2 Es gibt Funktionen die genau eine Stammfunktion besitzen.
3 Jedes Polynom p : R → R besitzt eine Stammfunktion und diese ist
wiederum ein Polynom.
4 f : R \ {0} → R mit x 7→ x1 besitzt auf ] − ∞, 0[ keine Stammfunktion,
da der Logarithmus nicht für negative Zahlen definiert ist.
5 Es gibt stetige Funktionen deren Stammfunktion nicht stetig ist.
8 Sei a < b. Wenn f auf [a, b] eine Regelfunktion ist und f (x) > 0 für alle
Rb
x ∈ [a, b] gilt, dann gilt auch a f (x)dx > 0.
9 Wenn f : R → R auf [a, b] ⊂ R Regelfunktion ist, so gilt immer
Rb
R b+c
a f (x + c)dx = a+c f (x)dx.
10 Jede Stammfunktion einer nach unten durch die 1 beschränkten
Funktion ist, wenn sie existiert, streng monoton steigend.
für x ∈ [0, 1[
ist eine Treppenfunktion. für x = 1
für x ∈]1, 2]
6 Sei f : R → R mit Stammfunktion F : R → R, so gilt F (x) =
7 Sei a < b und f : [a, b] → R stetig, dann folgt aus
f (x) = 0 für alle x ∈ I.


0
11 f : [0, 2] → R mit f (x) := 10


1
11
Rb
a
Rx
0
f (t)dt.
|f (x)|dx = 0 auch
LÖSUNGEN: Integralrechnung
1 [WAHR] Aus Korollar 8.6 wissen wir: C([a, b]) ⊂ R([a, b]) für a < b und damit dass jede
stetige Funktion Regelfunktion ist und damit eine Stammfunktion besitzt.
2 [FALSCH] Wenn F eine Stammfunktion von f ist, so ist für jedes c ∈ R auch F + c eine
Stammfunktion von f . (Dies wurde bereits in Definition 7.13 behandelt)
3 [WAHR] Dass c +
überprüfen.
Pn
ak k
k=1 k x
mit c ∈ R Stammfunktion von
Pn
k=1 ak x
k−1
ist lässt sich leicht
4 [FALSCH] Eine Stammfunktion von x1 auf R \ {0} ist ln(|x|) welche ebendort definiert ist und
abgeleitet auf R \ {0} mit x1 übereinstimmt.
5 [FALSCH] Da die Stammfunktion einer stetigen Funktion stetig differenzierbar ist, ist sie
insbesondere stetig.
Rx
6 [FALSCH] 0 f (t)dt ist eine Stammfunktion, kann sich aber von unserem F noch durch eine
Konstante unterscheiden.
7 [WAHR] Angenommen wir haben einen Punkt x̃ ∈ [a, b] mit |f (x̃)| > 0 dann gibt es aufgrund
der Stetigkeit ein δ > 0 mit ∀z ∈ [−δ + x̃, δ + x̃] : |f (z)| > |f (x̃)|
und damit
2
Z
b
Z
|f (t)|dt =
a
|a
−δ+x̃
δ+x̃
Z
Z
b
|f (t)|dt +
|f (t)|dt +
|f (t)|dt > 0
δ+x̃
{z
} | −δ+x̃{z
} |
{z
}
≥0
≥2δ·
|f (x̃)|
>0
2
≥0
wobei die beiden ≥“ aus Satz 8.3 (c) stammen und in der Mitte über eine konstante Funktion
”
(f (x̃) nicht von t abhängig!) auf einem Intervall mit Länge 2δ integriert wurde.
8 [WAHR] In Kürze: Wir können auch in diesem Fall zeigen, dass es ein δ > 0 und ein
x̃ ∈ [a, b] ∧ c > 0 gibt so dass f auf ] − δ + x̃, δ + x̃[ größer als c ist (ansonsten Wiederspruch
zur Existenz des beidseitigen Grenzwertes). Der Rest des Beweises verläuft analog zu Aussage 7
zuvor.
9 [FALSCH] Auch wenn f auf [a, b] Regelfunktion ist, so wird hier doch nicht unbedingt über
[a, b] sondern
 über [a + c, b + c] integriert. Gegenbeispiel: a = 0, b = 1, c = 1 und f : [0, 2] → R mit

0 falls x ∈ [0, 1[
f (x) := 1 falls x ∈ Q ∩ [1, 2]
. Diese ist auf [0, 1] Regelfunktion aber nach Satz 8.5 auf


0 falls x ∈ (R \ Q) ∩ [1, 2]
]1, 2] keine Regelfunktion. Mit dieser Wahl des a, b, c wird aber genau über [1, 2] integriert.
10 [WAHR] Wenn f nach unten durch 1 beschränkt ist und die Stammfunktion F besitzt, so
ist F 0 = f > 0 und damit ist F nach Korollar 7.12 + Bemerkung (1) streng monoton steigend.
11 [WAHR] Wer Wert an der Stelle x = 1 ist dafür ob es eine Treppenfunktion ist per Definition
irrelevant.
12
Trigonometrische Funktionen
Ja/Wahr
Nein/Falsch
1 Es gibt genau ein z ∈ C mit exp(z) = 0.
2 Ist die Funktion exp : C → C mit x 7→ exp(x) injektiv ?
π
2
4 Sinus und Cosinus sind auf ganz C definiert und dort überall stetig.
5 Der Arcuscosinus ist auf [−1, 1] streng monoton steigend.
6 Es gilt mit f = exp und g = ln: ∀x ∈ R : (f ◦ g)(x) = x = (g ◦ f )(x).
3 Gilt limx→∞ arctan(x) =
?
13
LÖSUNGEN: Trigonometrische Funktionen
1 [FALSCH] Wir nehmen an das sei Wahr für ein z ∈ C und sehen dann dass für alle w ∈ C
folgen würde exp(w) = exp(w − z + z) = exp(w − z) · exp(z) = 0 was ganz klar ein Wiederspruch
ist.
2 [NEIN] Direkt an der Regel ∀x ∈ R : exp(ix) = exp(i(2π + x)) zu sehen.
3 [JA] Wir wissen arctan : R →]− π2 , π2 [ ist als Umkehrfunktion von tan :] π2 , π2 [→ R surjektiv und
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ausserdem mit (arctan(x))0 = 1+x
2 > 0 streng monoton steigend. Das liefert bereits die Aussage.
4 [WAHR] Die Stetigkeit ist an ihrem Konvergenzradius zu erkennen. Definiert sind sie über
die Exponentialfunktion mit den Gleichungen
sin(z) =
eiz − e−iz
2i
cos(z) =
eiz + e−iz
2
welche leicht nachzurechnen sind.
5 [FALSCH] Als Umkehrfunktion des Cosinus der auf ]0, π[ eine Ableitung ungleich Null hat,
1
< 0 ist arccos auf ] − 1, 1[
ist arccos dort differenzierbar mit ∀x ∈] − 1, 1[: (arccos(x))0 = − √1−x
2
streng monoton fallend womit die Aussage wiederlegt ist. Prüft man die Randpunkte erhält man,
dass arccos auf [−1, 1] streng monoton fallend ist.
6 [FALSCH] Zwar ist für alle x ∈ R die Gleichung ln(exp(x)) = x korrekt, aber da ln :]0, ∞[→ R
ist der Ausdruck exp(ln(x)) für kein x ∈] − ∞, 0] definiert.
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