Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg

Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Vorlesung “Logik”
Sommersemester 2012
Universität Duisburg-Essen
Barbara König
Übungsleitung: Christoph Blume
Barbara König
Logik
1
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Motivation: Um die Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit einer
prädikatenlogischen Formel zu testen, müsste man ungeheuer viele
Strukturen durchprobieren.
Wir zeigen im folgenden, dass es reicht nur ganz bestimmte
Strukturen, sogenannte Herbrand-Strukturen—benannt nach dem
Logiker Jacques Herbrand—zu testen.
Diese können immer noch ein unendlich großes Universum haben
und unendlich viele sein, sind aber dennoch wesentlich
überschaubarer.
Darauf aufbauend kann dann ein automatisches Verfahren
entwickelt werden, dass mit Hilfe von Resolution die
Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen Formel überprüft.
Barbara König
Logik
175
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Definition (Herbrand-Universum)
Das Herbrand-Universum D(F ) einer geschlossenen Formel F in
Skolemform ist die Menge aller variablenfreie Terme, die aus den
Bestandteilen von F gebildet werden können. Falls in F keine
Konstante vorkommt, wählen wir zunächst eine beliebige
Konstante, zum Beispiel a, und bilden dann die variablenfreien
Terme.
D(F ) wird wie folgt induktiv definiert:
1
Alle in F vorkommenden Konstanten sind in D(F ). Falls F
keine Konstante enthält, so ist a in D(F ).
2
Für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
Terme t1 , . . . , tn in D(F ) ist der Term f (t1 , . . . , tn ) in D(F ).
Barbara König
Logik
176
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Universum
Beispiel: Bestimmen Sie die Herbrand-Universen zu folgenden
Formeln
F1 = ∀x P(f (x), g (a))
F2 = ∀x∀y Q(h(x, y ))
F3 = ∀x P(x)
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Strukturen
Definition (Herbrand-Struktur)
Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende
Struktur A = (UA , IA ) eine Herbrand-Struktur für F , falls
folgendes gilt:
1
UA = D(F ),
2
für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und
t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) ist f A (t1 , t2 , . . . , tn ) = f (t1 , t2 , . . . , tn ).
Idee: Jeder variablenfreie Term t wird “durch sich selbst”
interpretiert, d.h., A(t) = t. (Vermischung von Syntax und
Semantik.)
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Logik
178
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Strukturen
Für eine Herbrand-Struktur A vereinfacht sich das
Überführungslemma:
Lemma (Überführungslemma für Herbrand-Strukturen)
Sei A eine Herbrand-Struktur. Dann gilt für jede Formel F , jede
Variable x und jeden variablenfreien Term t:
A(F [x/t]) = A[x/t] (F ).
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik
Satz
Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar,
wenn F ein Herbrand-Modell besitzt.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik
Beispiel zum vorherigen Satz: Gegeben sei die Formel
F = ∀x P(x, f (x))
Aufgaben:
Bestimmen Sie ein beliebiges Modell A von F .
Anschließend definieren Sie ein Herbrand-Modell B von F ,
dessen Relation P B analog zu P A definiert ist. (So wie im
Beweis zum vorherigen Satz beschrieben.)
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Logik
181
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Definition (Herbrand-Expansion)
Sei F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ∗ eine Aussage in Skolemform. Dann ist
E (F ) die Herbrand-Expansion von F , definiert als
E (F ) = {F ∗ [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ] | t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F )}
Die Formeln in E (F ) entstehen also, indem die Terme in D(F ) in
jeder möglichen Weise für die Variablen in F ∗ substituiert werden.
Bemerkung: Da das Herbrand-Universum D(F ) abzählbar ist, ist
auch die Menge E (F ) abzählbar.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Wiederholung: Abzählbarkeit
Definition (Abzählbarkeit)
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung
f : N0 → M gibt. Das heißt es gibt eine (nicht notwendigerweise
konstruktive) Aufzählung f (0), f (1), f (2), . . . aller Elemente von
M, in der jedes Element von M mindestens einmal vorkommt.
Bemerkungen:
Beispiele für abzählbare Mengen sind N0 , Q (die Menge der
rationalen Zahlen bzw. Brüche) und die Menge aller Terme,
die aus einer endlichen Menge von Funktionssymbolen
gebildet werden. (Daher: ein Herbrand-Universum D(F ) ist
immer abzählbar.)
Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar.
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Logik
183
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Beispiel: Bestimme die Herbrand-Expansion der Formel
∀x∀y ∀zP(x, f (y ), g (z, x)).
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Logik
184
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Herbrand-Expansion
Idee: Behandle die Formeln in der Herbrand-Expansion wie
aussagenlogische Formeln. D.h., betrachte jedes auftauchende
Prädikat P(t1 , . . . , tn ) wie eine atomare Formel A.
Beispiel:
E (F ) = {F1 , F2 , . . . }.
Sei beispielsweise
F1 = (P(f (a), f (b)) ∨ Q(g (a, b)) ∨ P(a, b)) ∧ P(f (a), f (b)) .
|
{z
} | {z } | {z }
|
{z
}
A
B
C
A
Dies entspricht (A ∨ B ∨ C ) ∧ A.
Eine Formel in der Herbrand-Expansion ist erfüllbar, genau dann,
wenn sie im aussagenlogischen Sinne erfüllbar ist.
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Logik
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Satz von Gödel-Herbrand-Skolem
Satz (Gödel-Herbrand-Skolem)
Für jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfüllbar genau dann,
wenn die Formelmenge E (F ) (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar
ist.
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass F ein Herbrand-Modell besitzt
genau dann, wenn E (F ) erfüllbar ist.
Die Formel F habe die Form ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn F ∗ . Es gilt:
Barbara König
Logik
186
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Satz von Gödel-Herbrand-Skolem
A ist ein Herbrand-Modell für F
gdw. für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt:
A[y1 /t1 ][y2 /t2 ]...[yn /tn ] (F ∗ ) = 1
gdw. für alle t1 , t2 , . . . , tn ∈ D(F ) gilt:
A(F ∗ [y1 /t1 ][y2 /t2 ] . . . [yn /tn ]) = 1
gdw. für alle G ∈ E (F ) gilt A(G ) = 1
gdw. A ist ein Modell für E (F )
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Logik
187
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Satz von Herbrand
Satz (Herbrand)
Eine Aussage F in Skolemform ist unerfüllbar genau dann, wenn es
eine endliche Teilmenge von E (F ) gibt, die (im aussagenlogischen
Sinn) unerfüllbar ist.
Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von
Gödel-Herbrand-Skolem und des Endlichkeitssatzes.
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Logik
Endlichkeitssatz
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei
{F1 , F2 , F3 , . . . } eine Aufzählung von E (F ).
Algorithmus von Gilmore
Eingabe: F
n := 0;
repeat
n := n + 1;
until (F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn ) ist unerfüllbar;
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
Barbara König
Logik
189
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Bemerkungen zum Algorithmus von Gilmore:
Man wählt eine beliebige unendliche Aufzählung F1 , F2 , F3 , . . .
aller Formeln in E (F ).
Dabei muss nur darauf geachtet werden, dass jede Formel
irgendwann in dieser Aufzählung vorkommt. Das ist möglich,
da E (F ) abzählbar ist.
Es dürfen Formeln mehrfach vorkommen. Das ist insbesondere
immer dann so, wenn E (F ) endlich ist.
Wenn alle Formeln in einer endlichen Menge E (F )
abgearbeitet sind, dann kann der Algorithmus auch stoppen
und “erfüllbar” ausgeben.
Barbara König
Logik
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe des Algorithmus von Gilmore, dass
folgende Formeln
F = ∀x∀y (¬P(f (f (x))) ∧ P(f (y )))
G = ∀x (P(f (x)) ∧ ¬P(x))
unerfüllbar sind.
Barbara König
Logik
191
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Aus dem Satz von Herbrand folgt:
Falls die Formel F unerfüllbar ist, so stoppt der Algorithmus
von Gilmore nach endlicher Zeit und gibt unerfüllbar aus.
Falls der Algorithmus von Gilmore unerfüllbar ausgibt, so ist F
tatsächlich unerfüllbar.
Wenn F jedoch erfüllbar ist, so gibt es keine Garantie dafür, dass
der Algorithmus jemals terminiert.
Es kann auch gezeigt werden, dass es tatsächlich keinen
Algorithmus gibt, der das Unerfüllbarkeitsproblem der
Prädikatenlogik löst und immer mit der korrekten Antwort
(unerfüllbar bzw. erfüllbar) terminiert.
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Logik
192
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Algorithmus von Gilmore
Semi-Entscheidbarkeit (informell)
Sei M ⊆ X eine Menge (auch Sprache oder Problem genannt). Die
Menge M heißt semi-entscheidbar, wenn es einen Algorithmus A
gibt, der
ein Element x ∈ X als Eingabe nimmt und
genau dann, wenn x ∈ M gilt, terminiert und “x ist in M
enthalten” zurückgibt.
Der Algorithmus A muss jedoch nicht terminieren, wenn x 6∈ M
gilt. Falls A auch in diesem Fall terminiert und “x ist nicht in M
enthalten” zurückgibt, so heißt M entscheidbar.
Bemerkung: die Begriffe Entscheidbarkeit und
Semi-Entscheidbarkeit werden detailliert in der Vorlesung
“Berechenbarkeit und Komplexität” besprochen.
Barbara König
Logik
193
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semi-Entscheidbarkeitssätze
Satz (Semi-Entscheidbarkeit)
Folgende Probleme sind semi-entscheidbar, jedoch nicht
entscheidbar:
(a) Das Unerfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(b) Das Gültigkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(c) Das Folgerungsproblem für prädikatenlogische Formeln.
(d) Das Äquivalenzproblem für prädikatenlogische Formeln.
Barbara König
Logik
194
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Semi-Entscheidbarkeitssätze
Beweis:
(a) Das Problem ist nicht entscheidbar (ohne Beweis). Der
Algorithmus von Gilmore kann es jedoch “semi-entscheiden”.
(b) F gültig gdw. ¬F unerfüllbar.
(c) F |= G gdw. F → G gültig.
(d) F ≡ G gdw. F ↔ G gültig.
Barbara König
Logik
195
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolution in der Prädikatenlogik
Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis
aber unbrauchbar, weil er zuviele Formeln erzeugt und nicht
zielgerichtet arbeitet.
Daher ist unser Programm der nächsten Stunden:
Wie sieht Resolution in der Prädikatenlogik aus?
Barbara König
Logik
196
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Wiederholung: Resolution in der Aussagenlogik
Resolutionsschritt:
{L0 , . . . , L0m , ¬A}
{L1 , . . . , Ln , A}
TTTT
TTTT
TTTT
TTT
1
jj
jjjj
j
j
j
jjj
jjjj
{L1 , . . . , Ln , L01 , . . . , L0m }
Mini-Beispiel:
{¬A, B}
II
II
II
II
I
{A}
zz
zz
zz
z
z
{B} QQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQQ
QQ
{¬B}
Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn die leere
Klausel abgeleitet werden kann.
Barbara König
Logik
197
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Anpassung des Algorithmus von Gilmore
Algorithmus von Gilmore:
Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei
{F1 , F2 , F3 , . . . , } eine Aufzählung von E (F ).
Eingabe: F
n := 0;
repeat n := n + 1;
until (F1 ∧ F2 ∧ . . . ∧ Fn ) ist unerfüllbar;
(dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik,
beispielsweise Wahrheitstafeln, getestet werden)
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
“Mittel der Aussagenlogik”
Unerfüllbarkeitstest
wir verwenden Resolution für den
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Logik
198
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Definition von Res(M) (Wiederholung)
Definition
Sei M eine Klauselmenge. Dann ist Res(M) definiert als
Res(M) = M ∪ {R | R ist Resolvent zweier Klauseln in M}.
Außerdem setzen wir:
Res 0 (M) = M
Res n+1 (M) = Res(Res n (M))
für n ≥ 0
und schließlich sei
Res ∗ (M) =
[
Res n (M).
n≥0
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Logik
199
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionsalgorithmus
Sei F1 , F2 , . . . weiterhin die Aufzählung der Herbrand-Expansion.
Grundresolutionsalgorithmus
Eingabe: eine Aussage F in Skolemform
i := 0;
M := ∅;
repeat
i := i + 1; M := M ∪ Fi ; M := Res∗ (M)
until ∈ M
Gib “unerfüllbar” aus und stoppe.
Warum der Name Grundresolution? Im Gegensatz zu späteren
Verfahren werden Terme ohne Variable (= Grundterme)
substituiert, um die Formeln der Herbrand-Expansion zu erhalten.
Barbara König
Logik
200
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionssatz
Aus dem Grundresolutionsalgorithmus ergibt sich folgender Satz:
Grundresolutionssatz
Eine Aussage in Skolemform F = ∀y1 . . . ∀yk F ∗ mit der Matrix F ∗
in KNF ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine Folge von
Klauseln K1 , . . . , Kn gibt mit der Eigenschaft:
Kn ist die leere Klausel
Für i = 1, . . . , n gilt:
entweder ist Ki eine Grundinstanz einer Klausel K ∈ F ∗ ,
d.h. Ki = K [y1 /t1 ] . . . [yk /tk ] mit ti ∈ D(F )
oder Ki ist (aussagenlogischer) Resolvent zweier Klauseln
Ka , Kb mit a < i und b < i
Weglassen von Klauseln und Resolutionsschritten, die nicht zur
Herleitung der leeren Klausel beitragen.
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Logik
201
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionsalgorithmus
Beispiel: Zeigen Sie mit Hilfe von Grundresolution, dass folgende
Formel in Klauselform unerfüllbar ist.
{{P(f (x)), Q(x)}, {¬P(f (g (y )))}, {¬Q(g (a))}}
Barbara König
Logik
202
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionssatz
Bei der Grundresolution kann man unnötigerweise in Sackgassen
laufen.
Beispiel:
{P(f (x)), Q(x)}
{¬P(f (g (y )))}
RRR
RRR
RRR
R
[x/g (f (a))] RRRR
{¬Q(g (a))}
{{
{{
{
{{
{{
{
{Q(g (f (a)))} {{
{{
{{
{
{{
{{
[y /f (a)]
?
Besser wäre gewesen, die Variable x durch g (a) anstatt durch
g (f (a)) zu ersetzen. Aber woher kann man das vorher wissen?
Barbara König
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203
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Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Grundresolutionssatz
Idee: Variablen nur noch so weit “wie nötig” durch Terme ersetzen.
Statt Grundtermen Terme mit Variablen verwenden.
{P(f (x)), Q(x)}
{¬P(f (g (y )))}
RRR
RRR
RRR
R
[x/g (y )] RRRR
{¬Q(g (a))}
{{
{{
{
{{
{{
{
{Q(g (y ))} {{{ []
{{
{{
[y /a]
{
{
{{
[]
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204
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Wiederholung: Substitutionen
Eine Substitution sub ist eine Abbildung von Variablen auf Terme.
F sub: Anwendung der Substitution sub auf die Formel F
t sub: Anwendung der Substitution sub auf den Term t
Eine Substitution kann auch als Folge von Ersetzungen beschrieben
werden:
[x/f (z)] [y /g (a, z)] [z/h(w )]
entspricht folgender entflochtener Substitution:
[x/f (h(w )), y /g (a, h(w )), z/h(w )].
Ersetzungen werden von links nach rechts durchgeführt!
Verknüpfung von Substitutionen: sub 1 sub 2 (zuerst wird sub 1
angewandt, anschließend sub 2 ).
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205
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Vertauschen von Substitutionen
Vertauschen von Substitutionen
Regel für das Vertauschen von Substitutionen:
[x/t]sub = sub[x/t sub],
falls x in sub nicht vorkommt, d.h. weder ersetzt noch eingesetzt
wird.
Beispiele:
[x/f (y )] [y /g (z)] = [y /g (z)][x/f (g (z))]
| {z }
sub
aber: [x/f (y )] [x/g (z)] 6= [x/g (z)][x/f (y )]
| {z }
sub
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206
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Definition (Unifikation)
Gegeben sei eine Menge L = {L1 , . . . , Lk } von Literalen. Eine
Substitution sub heißt Unifikator von L, falls
L1 sub = L2 sub = · · · = Lk sub
Das ist gleichbedeutend mit |Lsub| = 1, wobei
Lsub = {L1 sub, . . . , Lk sub}.
Ein Unifikator sub von L heißt allgemeinster Unifikator von L, falls
für jeden Unifikator sub 0 von L gilt, dass es eine Substitution s gibt
mit sub 0 = sub s.
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207
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Beispiele: Bestimmen Sie die allgemeinsten Unifikatoren folgender
Mengen (falls sie existieren):
{P(x), P(f (y ))}
{P(x), Q(y )}
{Q(x, f (x)), Q(y , g (y ))}
{P(x), P(f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(g (z), f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(g (y ), f (x))}
{Q(x, f (y )), Q(f (y ), z), Q(z, f (x))}
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Logik
208
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikator/Allgemeinster Unifikator
Bemerkungen:
Eine Menge von Literalen kann mehrere allgemeinste
Unifikatoren haben.
Beispielsweise sind sowohl [y /f (x)] als auch [x/z][y /f (z)]
allgemeinste Unifikatoren von {P(f (x)), P(y )}.
Alle allgemeinsten Unifikatoren kann man jedoch durch
einfache Variablenumbenennung ineinander umformen.
Eine Menge L von (mehr als zwei) Literalen kann unter
Umständen nicht unifizierbar sein, auch wenn alle Paare von
Literalen unifizierbar sind.
Beispiel: {Q(x, f (y )), Q(f (y ), z), Q(z, f (x))}
Barbara König
Logik
209
Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikationsalgorithmus
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: eine Literalmenge L 6= ∅
sub := []; (leere Substitution)
while |Lsub| > 1 do
Suche die erste Position, an der sich zwei Literale L1 , L2
aus Lsub unterscheiden
if keines der beiden Zeichen ist eine Variable
then stoppe mit “nicht unifizierbar”
else Sei x die Variable und t der Term im anderen Literal
(möglicherweise auch eine Variable)
if x kommt in t vor
then stoppe mit “nicht unifizierbar”
else sub := sub [x/t]
Ausgabe: sub
Barbara König
Logik
210
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Unifikationsalgorithmus
Beispiel: Wende den Unifikationsalgorithmus auf folgende
Literalmenge an
L = {¬P(f (z, g (a, y )), h(z)), ¬P(f (f (u, v ), w ), h(f (a, b)))}
Bemerkung: hier sind a, b Konstanten und y , z, u, v , w Variablen
Barbara König
Logik
211
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Korrektheit des Unifikationsalgorithmus
Satz (Korrektheit des Unifikationsalgorithmus)
Der Unifikationsalgorithmus terminiert immer und gibt bei
Eingabe einer nicht-unifizierbaren Literalmenge “nicht
unifizierbar” aus.
Wenn eine Menge L von Literalen unifizierbar ist, dann findet
der Unifikationsalgorithmus immer den allgemeinsten
Unifikator von L.
Das bedeutet unter anderem auch, dass jede unifizierbare Menge
von Literalen einen allgemeinsten Unifikator hat (Unifikationssatz
von Robinson).
Barbara König
Logik
212
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Definition (Prädikatenlogischer Resolvent)
Eine Klausel R heißt prädikatenlogischer Resolvent zweier Klauseln
K1 , K2 , wenn folgendes gilt:
Es gibt Substitutionen s1 , s2 , die Variablenumbenennungen
sind, so dass K1 s1 und K2 s2 keine gemeinsamen Variablen
enthalten.
Es gibt Literale L1 , . . . , Lm aus K1 s1 und Literale L01 , . . . , L0n
aus K2 s2 , so dass L = {L1 , . . . , Ln , L01 , . . . , L0n } unifizierbar ist.
Sei sub der allgemeinste Unifikator von L.
(L bezeichnet das negierte Literal L.)
Es gilt
R = ((K1 s1 − {L1 , . . . , Lm }) ∪ (K2 s2 − {L01 , . . . , L0n }))sub.
Barbara König
Logik
213
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Schreibweise:
Zu resolvierende Literale unterstreichen und
Substitutionen angeben
Beispiel:
{P(x), P(f (y )), Q(x, y )}
{¬P(f (g (x)))}
TTTT
TTTT
TTTT
s1 = []
TTT
sub = [x/f (g (z)), y /g (z)]
mm
mmm
m
m
mm
mmm s2 =[x/z]
{Q(f (g (z)), g (z))}
Hinweis: Es gibt noch zwei weitere Möglichkeiten, einen
prädikatenlogischen Resolutionsschritt mit diesen Klauseln
auszuführen.
Barbara König
Logik
214
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
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Herbrandtheorie und Resolution
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Aufgabe
Sind diese Klauseln resolvierbar?
Wieviele mögliche Resolventen gibt es?
K1
{P(x), Q(x, y )}
{Q(g (x)), R(f (x))}
{P(x), P(f (x))}
K2
{¬P(f (x))}
{¬Q(f (x))}
{¬P(y ), Q(y , z)}
Barbara König
Logik
Möglichkeiten
215
Aussagenlogik
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Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Prädikatenlogische Resolution
Beispiel: Leiten Sie aus folgender Klauselmenge die leere Klausel
her (diesmal mit prädikatenlogischer Resolution anstatt
Grundresolution).
{{P(f (x)), Q(x)}, {¬P(f (g (y )))}, {¬Q(g (a))}}
Barbara König
Logik
216
Aussagenlogik
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Herbrandtheorie und Resolution
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Korrektheit und Vollständigkeit
Zwei Fragen:
Wenn man mit prädikatenlogischer Resolution aus einer
Formel F die leere Klausel ableiten kann, ist F dann
unerfüllbar? (Korrektheit)
Kann man für eine unerfüllbare Formel F immer durch
prädikatenlogische Resolution die leere Klausel herleiten?
(Vollständigkeit)
Obiges ist zwar bereits für die Grundresolution bekannt, aber noch
nicht für die prädikatenlogische Resolution.
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Logik
217
Aussagenlogik
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Lifting-Lemma
Lifting-Lemma
Seien K1 , K2 zwei
prädikatenlogische Klauseln und
seien K10 , K20 zwei Grundinstanzen
hiervon, die aussagenlogisch
resolvierbar sind und den
Resolventen R 0 ergeben.
Dann gibt es einen
prädikatenlogischen Resolventen R
von K1 , K2 , so dass R 0 eine
Grundinstanz von R ist.
Barbara König
Logik
K1 @
K10
K2
@@
@@
@@
@
~~
~~
~
~
~~
0
K2
R
@@
~
@@
~
@@
~~
@ ~~~
R0
—: Resolution
→: Substitution
218
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Herbrandtheorie und Resolution
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Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Beispiel zum Lifting-Lemma
{P(f (x)), Q(x)}
{¬P(f (g (y )))}
SSS
SSS
SSS
[x/g (a)]
SSS
SS
{P(f (g (a))), Q(g (a))}
nnn
nnn
n
n
n
nnn
{Q(g (y ))}
SSS
SSS
SSS
SSS
SS
[y /a]
{¬P(f (g (a)))}
nn
nnn
n
n
nn
nnn
[y /a]
{Q(g (a))}
Barbara König
Logik
219
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
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Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolutionssatz
Resolutionssatz der Prädikatenlogik
Sei F eine Aussage in Skolemform mit einer Matrix F ∗ in KNF.
Dann gilt: F ist unerfüllbar genau dann, wenn ∈ Res ∗ (F ∗ ).
(Dabei bezeichnet Res die Bildung aller möglichen
prädikatenlogischen Resolventen.)
Für den Beweis des Resolutionssatzes benötigen wir noch den
Begriff des Allabschlusses . . .
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Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Resolutionssatz
Für eine Formel H mit freien Variablen x1 , . . . , xn bezeichnen wir
mit
∀H = ∀x1 ∀x2 . . . ∀xn H
ihren Allabschluss.
Sei F eine Aussage in Skolemform und sei F ∗ deren Matrix in
KNF, so gilt:
^
∀K
F ≡ ∀F ∗ ≡
K ∈F ∗
Beispiel:
F ∗ = P(x, y ) ∧ ¬Q(y , x)
F
≡ ∀x∀y (P(x, y ) ∧ ¬Q(y , x)) ≡ ∀x∀yP(x, y ) ∧ ∀x∀y (¬Q(y , x))
Barbara König
Logik
221
Aussagenlogik
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Verfeinerung der Resolution (Ausblick)
Probleme bei der prädikatenlogischen Resolution:
Zu viele Wahlmöglichkeiten
Immer noch zu viele Sackgassen
Kombinatorische Explosion des Suchraums
Lösungsansätze:
Strategien und Heuristiken: Verbieten bestimmter
Resolutionsschritte, Suchraum wird dadurch eingeschränkt
Vorsicht: Die Vollständigkeit darf dadurch nicht verloren gehen!
Barbara König
Logik
222
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Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Ist die Klauselmenge
{{P(f (x))}, {¬P(f (x)), Q(f (x), x)}, {¬Q(f (a), f (f (a)))},
{¬P(x), Q(x, f (x))}}
unerfüllbar?
Barbara König
Logik
223
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Wir betrachten folgende Klauselmenge (Beispiel aus dem
Schöning):
F
= {{¬P(x), Q(x), R(x, f (x))}, {¬P(x), Q(x), S(f (x))}, {T (a)},
{P(a)}, {¬R(a, x), T (x)}, {¬T (x), ¬Q(x)}, {¬T (x), ¬S(x)}}
und zeigen ihre Unerfüllbarkeit mit Hilfe des
Resolutionstheorembeweisers otter (siehe auch die Vorstellung
von otter im Kapitel “Aussagenlogik”).
Barbara König
Logik
224
Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Wir betrachten folgende prädikatenlogische Formel:
F = ∀x(P(x) → P(f (x)))
Ist diese Formel gültig, erfüllbar oder unerfüllbar?
Was passiert, wenn Sie als Eingabe für einen
Resolutionstheorembeweiser (wie beispielsweise otter)
verwendet wird?
Diese Formel ist erfüllbar: otter leitet immer neue Klauseln ab
und terminiert nicht.
Barbara König
Logik
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Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Das Affe-Banane-Problem (Teil 1)
(A1) Ein Tier, das Arme hat und nahe bei einem Ding ist,
kann das Ding erreichen.
(A2) Ein Tier auf einem hohen Gegenstand, der unter den
Bananen steht, ist nahe bei den Bananen.
(A3) Wenn ein Tier in einem Raum einen Gegenstand zu
einem Ding schiebt, die beide im Raum sind, dann ist
das Ding nahe am Boden oder der Gegenstand ist
unter dem Ding.
(A4) Wenn ein Tier einen Gegenstand ersteigt, ist es auf
dem Gegenstand.
(A5) Der Affe ist ein Tier, das Arme hat.
Barbara König
Logik
226
Aussagenlogik
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Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Das Affe-Banane-Problem (Teil 2)
(A6) Der Stuhl ist ein hoher Gegenstand.
(A7) Die Bananen sind ein Ding.
(A8) Der Affe, die Bananen und der Stuhl sind im Raum.
(A9) Der Affe kann den Stuhl unter die Bananen schieben.
(A10) Die Bananen sind nicht nahe am Boden.
(A11) Der Affe kann den Stuhl ersteigen.
(S?) Kann der Affe die Bananen erreichen?
Barbara König
Logik
227
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Beispiele
Schema für die Lösung solcher Probleme:
Seien A1 , . . . , An die Axiome oder Voraussetzungen und
S die Schlussfolgerung.
Um zu zeigen, dass
A1 ∧ · · · ∧ An → S
gültig ist, zeigen wir, dass
A1 ∧ · · · ∧ An ∧ ¬S
unerfüllbar ist.
Barbara König
Logik
228
Aussagenlogik
Prädikatenlogik
Grundbegriffe, Äquivalenz und Normalformen
Herbrandtheorie und Resolution
Grundlagen der Logik-Programmierung und Ausblick
Anwendungen
Anwendungen der prädikatenlogischen Resolution
Theorembeweiser: Beweis von Sätzen aus der Mathematik
Verifikation: Beweis der Korrektheit von Programmen
Schlussfolgerung in Expertensystemen
Planungssysteme
Logik-Programmierung (PROLOG)
siehe nächstes Kapitel
Bemerkung: Neben Resolution gibt es noch weitere Methoden, die
Unerfüllbarkeit prädikatenlogischer Formeln zu zeigen,
beispielsweise mit Hilfe von Tableau-Beweisen.
Barbara König
Logik
229

Zugehörige Unterlagen

11. Übungsblatt - Logik und Sprachtheorie / Mathematische Logik

Ubungsblatt 8 - Universität Siegen

Normalformen

Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg

Zugehörige Unterlagen

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Vorlesung “Logik” Sommersemester 2012 Universität Duisburg

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