Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Motivation
x2 − x + 1 = 0
Lösung: x1/2
1
= ±
2
√ √
−3
1
3
=
±i
2
2
2
x 3 + 2x 2 + 1 = 0
drei Lösungen: ±1; 2 alle reel, aber der Lösungsweg geht über Wurzeln negativer Zahlen.
Grundlagen
Die Grundlage der komplexen Zahlen ist die abstrakte Größe i mit der Eigenschaft:
i 2 = −1, bzw. i (−i ) = +1
i = imaginäre Zahl!
Komplexe Zahlen sind die Menge aller Objekte der Form:
z = |{z}
a + |{z}
ib
mit a, b ∈
R
Realteil
Imaginaer teil
1. Grafische Interpretation:
Reelle Zahlen lassen sich auf einer Gerade ausdrücken:
komplexe Zahlen dagegen in einer Ebene - komplexe Ebene(Gaußsche
Ebene):
1
2. Zu jeder komplexen Zahl gibt es eine konjugiert komplexe Zahl z
z = a + ib
z = a − ib
z ist Spiegelung auf der reellen Achse.
3. Betrag: Der Betrag einer komplexen Zahl ist definiert als: |z| =
4. Gleichheit: z1 = z2 , wenn a1 = a2 und b1 = b2
2
√
a2 + b 2
Alternative Darstellungen
1. Trigonometrische Darstellung:
mit r und ϕ (siehe Grafische Interpretation)
√
r = |z| = a2 + b2
a
a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, tan ϕ =
b
z = a + ib = r cos ϕ + i sin ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ)
2. Exponentialdarstellung: e x , sinx, cosx lassen sich als komplexe Zahlen
definieren.
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r e iϕ
⇒ z = r e iϕ
Euler-Beziehung: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
⇒ e-Funktion lässt sich als Summe von sinus und cosinus schreiben.
⇒ Exponential- und trigonometrische Darstellung sind äquivalent.
Rechnen mit komplexen Zahlen
1. Additon und Substraktion:
z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 )
z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 )
Beispiel: z1 = 2 + 3; z2 = 1 − 4i
z1 + z2 = (2 + 1) + (3 − 4)i = 3 − 1i = 3 − i
z1 − z2 = (2 − 1) + (3 − (−4))i = 1 + 7i
2. Multiplikation:
z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) =
a1 a2 + ia1 a2 + ia2 b1 + ii b1 b2 = a1 a2 + i (a1 b2 + a2 b1 ) − b1 b2 =
a1 a2 − b1 b2 + i (a1 b2 + a2 b1 )
{z
}
|
|
{z
}
neuer
Realteil
neuer
Imaginaer teil
Beispiel: z1 = −1 + i ; z2 = 2 − 3i
z1 z2 = −2 + (−3i (−1)) + i (−3i ) + 2i = −2 + 3i + 3 + 2i = 1 + 5i
Spezialfall: z1 z1 = (a1 + ib1 )(a1 − ib1 ) =
a1 a1 + b1 b1 + i (a1 b1 − a1 b1 ) = a1 a1 + b1 b1
⇒ Imaginärteil fällt weg.
3
3. Division:
z1
a1 + ib1
=
(Erweiterung mit z2 )
z2
a2 + ib2
z1
a1 + ib1 a2 − ib2
(a1 + ib1 )(a2 − ib2 )
a1 a2 + b1 b2
a2 b1 − a1 b2
=
=
=
+i
2
2
2
2
z2
a2 + ib2 a2 − ib2
(a2 ) + (b2 )
(a2 ) + (b2 )
(a2 )2 + (b2 )2
Beispiele
1. e iπ = cos ϕ + i sin ϕ = cos π + i sin π = −1 + 0 = −1
e iπ = −1 Die schönste aller Formel“
”
3
2. (2−i ) = [(2−i )(2−i )](2−i ) = [4+(−i (−i ))+(−2i )+(−2i )](2−i ) =
(4 − 1 − 4i )(2 − i ) = (3 − 4i )(2 − i ) = 6 − 3i − 8i + (−4i (−i )) =
| {z }
−4
6 − 3i − 8i − 4 = 2 − 11i
3. z = −1 + i
in trigonometrischer
Darstellung:
√
√
2
2
mit r =√ a + b = 2; tan ϕ = ba = −1 ⇒ ϕ = 43 π
⇒ z = 2(cos 43 π + sin 34 π)
√ 3
in exponentieller Darstellung: z = 2e i 4 π
4. z = 6i =√0 + 6i
mit r = 36 = 6; ϕ = 90◦ = π2
π
⇒ z = 6(cos π2 + i sin π2 ) = 6i 2
1
1
5. |z| = (zz) 2 = (r|e iϕ{z
r e −iϕ}) = (r 2 ) 2 = r
e iϕ e −iϕ =1
√ 3
√
√
3
9
6. (−1 + i )3 = ( 2e i 4 π )3 = ( 2)3 e 3i 4 π = ( 2)3 e i 4 π
4