Lösungshinweise und Ergebnisse

Mathe I für Naturwissenschaften
24.11.16
Dr. Christine Zehrt
Hinweise und Ergebnisse zur Übung 10
Uni Basel
Besprechung der Lösungen: 28./29. November 2016 in den Übungsstunden
Lösungshinweise
Aufgabe 1
(a) Wie im Beispiel auf Seite 120 des Skripts. Gesucht ist eine Parametergleichung der
Schnittgeraden.
(b) Am einfachsten gibt man die beiden Ebenen durch Parametergleichungen an. Der Ortsvektor und der eine Richtungsvektor der Ebenen kann so gewählt werden, dass die angegebene
Gerade auf den Ebenen liegt. Bei der Wahl des zweiten Richtungsvektors ist man frei.
Aufgabe 2
(a) Die Geraden sind parallel oder identisch, wenn der eine Richtungsvektor ein Vielfaches
vom anderen ist. Ev. hilft eine Skizze für die Ebene, die man am einfachsten durch eine
Parametergleichung beschreibt.
(b) Die allgemeine Koordinatengleichung einer Ebene lautet ax + by + cz + d = 0 für a, b, c, d
in R. Dass die Ebene die x-Achse in x = A schneidet, bedeutet, dass der Punkt (A, 0, 0)
auf der Ebene liegt. Analog liegen die Punkte (0, B, 0) und (0, 0, C) auf der Ebene. Dies
genügt, um a, b, c, d zu bestimmen.
Aufgabe 3
(a) Die Vektorgleichung nach ~x auflösen und ~u, ~v einsetzen.
(b) Die Länge von ~v gemäss Formel von Seite 121 des Skripts. Hat ~v die Länge 2, dann ist
“der halbe Vektor” 12 ~v parallel zu ~v und hat die Länge 1. Wie erhält man also einen zu
~v parallelen Vektor der Länge 1 ?
Aufgabe 4 (Zusatzaufgabe)
Jeder Punkt auf der xy-Ebene hat die Koordinaten (x, y, 0). Für welches t der Parametergleichung von g2 erhält man also einen Punkt auf der xy-Ebene?
Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe)
(a) Für die Parametergleichung braucht man den Ortsvektor ~u eines Punktes P auf der
Geraden und einen Richtungsvektor ~v längs der Geraden. Man kann also zwei Punkte
−→
−→
P , Q auf der Geraden frei wählen und ~u =OP und ~v =P Q nehmen.
(b) Die Gerade ist also durch die beiden Gleichungen x = 3 − 5t und y = 8 + 6t, für t ∈ R,
bestimmt. Diese beiden Gleichungen können (durch gleichzeitige Elimination von t) auf
eine Gleichung reduziert werden, die direkt die gesuchte Koordinatengleichung ist.
Ergebnisse
Aufgabe 1
(a) Eine mögliche Parametergleichung der Schnittgeraden lautet
   
 
x
1
−1
~r = y  = −2 + t −5 .
z
0
1
(b) Zum Beispiel


 
 
7
−4
1
E1 : ~r = −5 + s −2 + t 0
0
0
1


 
 
7
−4
0
und E2 : ~r = −5 + s −2 + t 1
0
0
1
Der Ortsvektor und der erste Richtungsvektor sind gleich dem Ortsvektor und dem Richtungsvektor der Geraden.
Aufgabe 2
(a) Der eine Richtungsvektor ist ein Vielfaches (Faktor −1) vom anderen. Die Geraden sind
also parallel oder identisch. Für die Punkte P = (3, 4, 1) auf g1 und Q = (5, 1, 7) auf g2
gilt
 
2
−→
P Q= −3 .
6
−→
Der Vektor P Q ist also kein Vielfaches der Richtungsvektoren. Die Geraden g1 und g2
sind daher parallel (und nicht identisch).
Die Ebene kann nun zum Beispiel durch die Parametergleichung
 
 
 
3
−2
2
~r = 4 + s  1  + t −3
1
−1
6
beschrieben werden, wobei der erste Richtungsvektor der Richtungsvektor von g1 ist und
−→
der zweite Richtungsvektor P Q ist.
(b)
x
A
+
y
B
+
z
C
− 1 = 0, bzw. BCx + ACy + ABz − ABC = 0
4
5
Aufgabe 3
 25 
2

(a) ~x = 15
(~u + ~v ) = 
2
3
2
5
(b) Länge k~v k =
p
12 + 52 + (−3)2 + 22 =
√
39.
Parallel zu ~v der Länge 1 ist der Vektor
√1 ~
v
39
=
√1
39
1
5
−3
2
.
Aufgabe 4 (Zusatzaufgabe)
In der Parametergleichung von g2 muss t = −7 gewählt werden, damit der Punkt auf der
Geraden die Koordinate z = 0 hat. Damit ergibt sich x = −9 und y = 8. Das heisst, der
Schnittpunkt ist (−9, 8, 0).
Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe)
(a) Zum Beispiel liegen die Punkte P = (3, 0) und Q = (−1, −7) auf der Geraden. Wir
erhalten damit die Parametergleichung
−→
−→
−4
3
x
, t∈R.
+t
=OP +t P Q=
~r =
−7
0
y
Eine andere Wahl von P und Q ergibt eine andere Parametergleichung.
tungsvektor ist jedoch bis auf ein Vielfaches eindeutig bestimmt.
Der Rich-
(b) Wir addieren 6 mal die Gleichung x = 3 − 5t und 5 mal die Gleichung y = 8 + 6t und
erhalten 6x + 5y = 18 + 40 = 58. Also ist
6x + 5y − 58 = 0
eine Koordinatengleichung der Geraden.