Hilbertraum und lineare Operatoren im Hilbertraum

Hilbertraum und lineare Operatoren im Hilbertraum
Michael Zirpel ([email protected])
Im Folgenden ist mit dem Körper (K, +, 0, ·, 1) stets entweder K = C, der Körper der komplexen
Zahlen, oder K = R, der√Körper der reellen Zahlen gemeint. Für komplexe Zahlen z = x + iy ∈ C mit
x, y ∈ R bezeichnet i = −1 die imaginäre Einheit und z∗ = x − iy die konjugiert komplexe Zahl.
1
Hilbertraum
1.1
Vektorraum
(V, ⊕, 0, , K) ist ein Vektorraum über dem Körper (K, +, 0, ·, 1) genau dann, wenn folgende Forderungen erfüllt sind:
1. Zwischen den Elementen von V , den Vektoren, ist eine Addition ⊕ : V ×V → V definiert, sodass
(V, ⊕, 0) eine kommutative Gruppe ist, d.h. für alle ϕ, χ, ψ ∈ V gilt
(ϕ ⊕ χ) ⊕ ψ = ϕ ⊕ (χ ⊕ ψ)
ϕ ⊕χ = χ ⊕ϕ
ϕ ⊕0 = 0⊕ϕ = ϕ
∃(−ϕ) ∈ V : (−ϕ) ⊕ ϕ = 0
2. Zwischen den Vektoren und den Elementen von K, den Skalaren, ist eine Multiplikation :
K ×V → V definiert, die für alle ϕ, ψ ∈ V und alle a, b ∈ K folgende Bedingungen erfüllt
(a · b) ψ = a · (b ψ)
(a + b) ψ = (a ψ) ⊕ (b ψ)
a (ψ ⊕ ϕ) = (a ψ) ⊕ (a ϕ)
1ψ = ψ
In einem Vektorraum (V, ⊕, 0, , K) gilt für alle ϕ, ψ ∈ V und alle a, b ∈ K mit b 6= 0
0ϕ = 0
(−1) ϕ = (−ϕ)
a
aϕ +bψ = 0 ⇔ ψ = − ϕ
b
Wir werden im Folgenden die Sonderzeichen ⊕, , 0 weglassen und wie allgemein üblich einfach
+,·, 0 schreiben, also Vektorraum (V, +, 0, ·, K) und dabei in Kauf nehmen, dass der Unterschied
zwischen Körperaddition und Vektoraddition typografisch nicht dargestellt wird.
Eine Teilmenge T ⊆ V bezeichnet man als Teilvektorraum oder kürzer als Teilraum vom Vektorraum
(V, +, 0, ·, K), wenn (T, +, 0, ·, K) selbst ein Vektorraum ist, wobei + und · die entsprechenden Einschränkungen der Verknüpfungen von V auf T darstellen.
1
1.2
Skalarprodukt, Orthogonalität
Ein Skalarprodukt
auf einem komplexen Vektorraum (V, +, 0, ·, C) ist eine Abbildung h , i : V ×V →
C, (ϕ, χ) 7→ ϕ, χ , die für alle ϕ, χ, ψ ∈ V und a, b ∈ C folgende Bedingungen erfüllt:
ϕ, a · χ + b · ψ = a · ϕ, χ + b · ϕ, ψ
(1)
∗
ϕ, ψ = ψ, ϕ
(2)
ψ, ψ ≥ 0
(3)
ψ, ψ = 0 ⇒ ψ = 0
(4)
reellen Vektorraum (V, +, 0, ·, R) wird (2) durch die Forderung der Kommutativität ϕ, ψ =
Auf einem
ψ, ϕ ersetzt.
Ein Vektorraum mit Skalarprodukt (V, +, 0, ·, K, h, i) wird auch als Prähilbertraum bezeichnet bzw.
im komplexen Fall als unitärer Vektorraum, im reellen Fall als euklidischer Vektorraum.
Mit Hilfe des Skalarprodukts kann man einerseits die Orthogonalität von Vektoren ψ, ϕ ∈ V definieren durch
ψ ⊥ ϕ :⇔ ψ, ϕ = 0
(5)
andererseits die Länge bzw. Norm eines Vektors ψ ∈ V durch
p
kψk := hψ, ψi
1.3
(6)
Norm
Ist (V, +, 0, ·, K) ein Vektorraum über dem Körper K. Dann heißt eine Funktion
k k : V → R, ϕ 7→ kϕk
Norm und (V, +, 0, ·, K, k k) normierter Vektorraum gdw. für alle ϕ, ψ ∈ V , c ∈ K gilt
kϕk ≥ 0
(7)
kϕk = 0 ⇔ ϕ = 0
(8)
kcϕk = |c| kϕk
(9)
kϕ + ψk ≤ kϕk + kψk
(10)
Einen Vektor ψ ∈ V mit kψk = 1 bezeichnet man als normiert bzw. als Einheitsvektor.
Jeder Vektorraum mit Skalarprodukt (V, +, 0, ·, K, h, i) ist normiert mit der Norm kψk =
gilt dabei die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für alle ϕ, ψ ∈ V
ϕ, ψ ≤ kϕk kψk
p
hψ, ψi; es
(11)
Eine Norm k k : V → R auf einem komplexen Vektorraum (V, +, 0, ·, C) ist genau dann durch ein
Skalarprodukt gegeben, wenn für alle ψ, ϕ ∈ V die Parallelogrammidentität gilt
kψ + ϕk2 + kψ − ϕk2 = 2 kψk2 + 2 kϕk2
(12)
Für das zugehörige Skalarprodukt h , i : V ×V → C gilt dann die Polarisationsidentität
1
ψ, ϕ = (kψ + ϕk2 − kψ − ϕk2 + i kψ − iϕk2 − i kψ + iϕk2
4
2
(13)
1.4
Vollständigkeit, Banachraum, Hilbertraum
Ist V, +, 0, ·, K, ein normierter Vektorraum, so wird durch kϕ − χk ein Abstand zwischen Vektoren (eine Metrik) definiert. Mit Hilfe des Abstands kann wiederum die Konvergenz von Vektorfolgen
definiert werden: Ein Folge von Vektoren (ϕk ∈ V )k∈N konvergiert (in der Norm) gegen den Vektor
ϕ ∈ V genau dann, wenn
lim kϕk − ϕk = 0
(14)
k→∞
d.h. wenn die Folge der Abstände zu ϕ in den reellen Zahlen gegen 0 konvergiert. Man schreibt dann
auch lim ϕk = ϕ.
k→∞
Ein normierter Vektorraum V ist vollständig (man sagt dann auch normvollständig) wenn jede CauchyFolge von Vektoren aus V gegen einen Grenzwert in V konvergiert, d.h. wenn für jede Folge (ϕk ∈
V )k∈N gilt
lim ϕk − ϕ j = 0 ⇒ ∃ϕ ∈ V : lim ϕk = ϕ
(15)
j,k→∞
k→∞
Einen vollständigen, normierten Vektorraum bezeichnet man auch als Banachraum. Ist ein reeller
bzw. komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm
vollständig, also ein Banachraum, so bezeichnet man ihn als reellen bzw. komplexen Hilbertraum
(H , +, 0, ·, R, h , i) bzw.(H , +, 0, ·, C, h , i).
1.5
1.5.1
Beispiele für Hilberträume
Unitärer Vektorraum Cn
Der endlich-dimensionale Vektorraum Cn ist ein Hilbertraum. Er besteht aus n-Tupeln von komplexen
Zahlen (c1 , ..., cn ), c1 , ..., cn ∈ C, für die komponentenweise eine Addition und eine Multiplikation mit
Skalaren definiert ist
(c1 , ..., cn ) + (d1 , ..., dn ) := (c1 + d1 , ..., cn + dn )
(16)
a(c1 , ..., cn ) := (ac1 , ..., acn )
(17)
0 := (0, ..., 0)
(18)
Ein Skalarprodukt ist gegeben durch
n
(c1 , ..., cn ), (d1 , ..., dn ) =
∑ c∗k dk
(19)
k=1
1.5.2
Hilbertscher Folgenraum l 2
Den Vektorraum der komplexwertigen Zahlenfolgen (ck ∈ C)k∈N kann man als Fortsetzung C∞ von
Cn begreifen; die Addition, die Multiplikation mit Skalaren und der Nullvektor werden ebenso gliedweise definiert
(ck )k∈N + (dk )k∈N := (ck + dk )k∈N
(20)
a(ck )k∈N := (ack )k∈N
(21)
0 := (0, 0, ...)
(22)
Mit dem “Skalarprodukt”
(ck )k∈N , (dk )k∈N =
∞
n
k=1
k=1
lim ∑ c∗k dk
∑ c∗k dk := n→∞
3
(23)
gibt es allerdings das Problem, dass die unendliche Summe nicht immer konvergiert. Beschränkt man
sich aber auf Folgen, bei denen die Summe der Betragsquadrate konvergiert d.h.
∞
∑ |ck |2 < ∞
(24)
k=1
so ist auch das Skalarprodukt wohldefiniert und man erhält den Hilbertschen Folgenraum l 2 , einen
komplexen Hilbertraum. Dieser Raum lag implizit der Matrizenmechanik von Heisenberg, Born und
Jordan zugrunde.
1.5.3
Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen L 2 (Rn )
Die Funktionen der Form
ψ : Rn → C, (x1 , ..., xn ) 7→ ψ(x1 , ..., xn )
(25)
deren Betragsquadrat integrierbar ist, d.h.
ˆ
|ψ(x1 , ..., xn )|2 dxn < ∞
(26)
Rn
bilden einen Vektorraum über den komplexen Zahlen C, wenn man definiert
(ψ1 + ψ2 )(x1 , ..., xn ) := ψ1 (x1 , ..., xn ) + ψ2 (x1 , ..., xn )
(27)
(c ψ)(x1 , ..., xn ) := cψ(x1 , ..., xn )
(28)
0 := 0(x1 , ..., xn )
(29)
Ein (Pseudo-)Skalarprodukt wird definiert durch
ˆ
ψ1 , ψ2 := ψ1∗ (x1 , ..., xn )ψ2 (x1 , ..., xn )dxn
(30)
Rn
Dabei tritt das Problem auf, dass es von 0 verschiedene Funktionen gibt, deren Betragsquadrat 0
ergibt. Erst eine Äquivalenzklassenbildung ergibt ein echtes Skalarprodukt und führt zum Hilbertraum
L 2 (Rn ):
ˆ
|ψ1 (x1 , ..., xn ) − ψ2 (x1 , ..., xn )|2 dxn = 0
ψ1 ∼ ψ2 : ⇐⇒
(31)
Rn
Der Raum L 2 (Rn ) lag implizit der Schrödingerschen Wellenmechanik zugrunde.
1.6
Abgeschlossener Teilraum, Orthonormalbasis, Dimension
Einen Teilraum T ⊆ V eines vollständigen, normierten Vektorraums V, +, 0, ·, K, bezeichnet
man als abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge von Vektoren (ϕk ∈ T )k∈N mit lim ϕk =
k→∞
ϕ ∈ H der Grenzwert
ebenfalls in T liegt: ϕ ∈ T . Dies ist gleichbedeutend damit, dass auch
T, +, 0, ·, K,
ein vollständiger, normierter Vektorraum ist.
Die Schnittmenge einer Menge abgeschlossener Teilräume ist selbst wieder ein abgeschlossener Teilraum. Zur jeder Teilmenge M ⊆ V bezeichnen wir die Schnittmenge aller abgeschlossenen Teilräume, die M enthalten, mit [M]. Statt [{ϕ, χ, ...}] schreiben wir kürzer [ϕ, χ, ...]. [M] enthält neben allen
4
Linearkombinationen von Vektoren aus M auch die Grenzwerte von konvergenten Folgen dieser Linearkombinationen.
In einem Hilbertraums H bezeichnet man eine Menge O ⊂ H als Orthonormalbasis von H gdw.
sie aus paarweise orthogonalen Einheitsvektoren besteht d.h.
q
ϕ, ϕ = 1
(32)
ϕ ∈ O ⇒ ϕ =
ϕ, ψ ∈ O, ϕ 6= ψ ⇒ ϕ, ψ = 0
(33)
und [O] = H .
Jeder Hilbertraum hat eine Orthonormalbasis. Alle Orthonormalbasen eines Hilbertraums
haben die
gleiche Kardinalität, man bezeichnet diese als Dimension des Hilbertraums dim H = O.
1.7
Separabilität, abzählbare Orthonormalbasis
Ein Banachraum V, +, 0, ·, K, . ist separabel genau dann, wenn es eine abzählbar-unendliche
Menge M ⊆ V gibt, die dicht in V liegt, d.h. für jedes Element ϕ ∈ V und jede reelle Zahl ε > 0
gibt es ein Element χ ∈ M, sodass kϕ − χk < ε.
Ein Hilbertraum (H , +, 0, ·, K, h , i) ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare (d.h. endliche
oder abzählbar-unendliche) Orthonormalbasis gibt. Die Hilberträume l 2 und L 2 (Rn ) sind separabel.
In einem separablen Hilbertraum gibt es also eine Menge von Vektoren O = {β j ∈ H } j∈Id mit einer
Indexmenge Id = {1, ..., dimH } oder Id = N, sodass einerseits [O] = H und andererseits für alle
j, k ∈ Id gilt
β j , βk = δ j,k
(34)
wobei das Kroneckersymbol
δ j,k genau dann den Wert 1 hat, wenn j = k ist, und sonst den Wert 0.
Dabei gilt Id = dimH .
Dies bedeutet, jeder Vektor ψ ∈ H kann entweder als Linearkombination
n
ψ=
∑ c jβ j
j=1
oder als Grenzwert einer Folge von Linearkombinationen der Vektoren aus O dargestellt werden
n
ψ = lim
n→∞
∞
∑ c jβ j = ∑ c jβ j
j=1
j=1
mit β j ∈ O,c j ∈ K für alle j ∈ N. Um sowohl die endlich-dimensionalen als auch unendlich-dimensionalen
Hilberträume zu umfassen, schreiben wir im Folgenden einfach ∑und meinen damit entweder ∑dimH
j
j=1
∞
oder ∑ .
j=1
Die Koeffizienten c j ergeben sich durch das Skalarprodukt mit den Basisvektoren, es gilt für alle
j ∈ Id
β j , ψ = β j , ∑ck βk = ∑ck β j , βk = ∑ck δ j,k = c j
(35)
k
k
Daher kann man auch schreiben
ψ = ∑ β j, ψ β j
j
Dabei gilt
2
ψ = ∑ β j , ψ 2
j
5
k
1.8
Tensorprodukt
Das Tensorprodukt H = H1 ⊗ H2 zweier Hilberträume H1 , H2 ist ein Hilbertraum, der folgende
Bedingungen erfüllt:
1. Es gibt eine Abbildung (das Tensorprodukt von Vektoren)
⊗ : H1 × H2 → H , (ϕ, χ) 7→ ϕ ⊗ χ
(36)
bei der für alle ϕ, ϕ1 , ϕ2 ∈ H1 , χ, χ1 , χ2 ∈ H2 , c ∈ K gilt
(c · ϕ) ⊗ χ = ϕ ⊗ (c · χ) = c · (ϕ ⊗ χ)
(37)
(ϕ1 + ϕ2 ) ⊗ χ = (ϕ1 ⊗ χ) + (ϕ2 ⊗ χ)
(38)
ϕ ⊗ (χ1 + χ2 ) = (ϕ ⊗ χ1 ) + (ϕ ⊗ χ2 )
(39)
hϕ1 ⊗ χ1 , ϕ2 ⊗ χ2 i = hϕ1 , ϕ2 i · hχ1 , χ2 i
(40)
2. Sind O1 ⊂ H1 , O2 ⊂ H2 Orthonormalbasen der Hilberträume H1 , H2 , so ist {α ⊗ β |α ∈ O1 , β ∈
O2 } eine Orthonormalbasis von H .
Wegen (40) sind die Tensorprodukte der Vektoren der Orthonormalbasen von H1 , H2 ebenfalls orthogonal und normiert. Die 2. Bedingung gewährleistet, dass sie den ganzen Raum H aufspannen.
Mit Hilfe der Produkte der Vektoren der Orthonormalbasis kann man den Produktraum konstruieren,
indem man alle Linearkombinationen und Cauchy-konvergenten Folgen derselben betrachtet.
Für endlich-dimensionale Hilberträume H1 , H2 gilt
dimH1 ⊗ H2 = dimH1 · dimH2
Das Tensorprodukt separabler Hilberträume ist separabel.
Nicht jeder Vektor ψ ∈ H = H1 ⊗H2 ist ein Produktvektor, z.B. lässt sich eine Linearkombinationen
aus Produkten wie ψ = c1 ϕ1 ⊗ χ1 + c2 ϕ2 ⊗ χ2 im Allgemeinen nicht in Faktoren zerlegen.
Den Hilbertraum L 2 (Rn ) kann man als Tensorprodukt auffassen: Für alle n, m ∈ N gilt L 2 (Rn+m ) =
L 2 (Rn ) ⊗ L 2 (Rm ) .
2
Lineare Operatoren im Hilbertraum
p
Im Folgenden ist (H , +, 0, ·, C, h , i) ein komplexer, separabler Hilbertraum, ϕ = hϕ, ϕi für
ϕ ∈ H die vom Skalarprodukt induzierte Norm.
2.1
Linearer Operator
Ein linearer Operator A in H ist eine Abbildung, die auf einer Teilmenge D(A) ⊆ H , dem Definitionsbereich bzw. der Domäne von A, definiert ist
A : D(A) → H , ϕ 7→ Aϕ
(41)
und linear ist, d.h. für alle ϕ, ψ ∈ D(A) und alle a, b ∈ C gilt
A(aϕ + bψ) = aAϕ + bAψ
6
(42)
Es ist zu beachten, dass zwei lineare Operatoren A, B in H nur dann gleich sind, wenn sie den
gleichen Definitionsbereich und für alle ϕ ∈ D(A) = D(B) gilt, dass Aϕ = Bϕ. Gilt D(A) ⊆ D(B)
und für alle ϕ ∈ D(A) Aϕ = Bϕ, so bezeichnet B als Fortsetzung von A in D(B).
Ein linearer Operator in H ist dicht definiert gdw. D(A) in H dicht liegt, d.h.
∀ϕ ∈ H ∀ε ∈ R, ε > 0 ∃ψ ∈ D(A) : kϕ − ψk < ε
(43)
Die Menge der dicht definierten linearen Operatoren in H bezeichnen wir mit D(H ).
2.2
Überall definierte lineare Operatoren
Mit L (H ) ⊆ D(H ) bezeichnen wir die Menge der überall auf H definierten linearen Operatoren,
d.h. A ∈ L (H ) ⇔ D(A) = H . (Es handelt sich dabei gerade um die beschränkten Operatoren auf
H , s.u.).
Diese Operatoren bilden selbst wieder einen Vektorraum, wenn man Addition und Multiplikation mit
Skalaren folgendermaßen definiert: Für alle c ∈ C, A, B ∈ L (H )
(A + B) : H → H , ϕ 7→ (A + B)ϕ = Aϕ + Bϕ
(44)
(cA) : H → H , ϕ 7→ (cA)ϕ = cAϕ
(45)
Zwischen linearen Operatoren A, B ∈ L (H ) kann man außerdem eine Multiplikation definieren
durch
(AB) : H → H , ϕ 7→ A(Bϕ)
(46)
und erhält eine Algebra.
Eine Algebra (A , +, 0, ·, K, ◦) über dem Körper K ist ein Vektorraum (A , +, 0, ·, K) über dem Körper
K, in dem zusätzlich eine Multiplikation ◦ definiert ist, sodass für alle X,Y, Z ∈ A und c ∈ K gilt
(X ◦Y ) ◦ Z = X ◦ (Y ◦ Z)
(47)
X ◦ (Y + Z) = X ◦Y + X ◦ Z
(48)
(X +Y ) ◦ Z = X ◦ Z +Y ◦ Z
(49)
X ◦ (c Y ) = c (X ◦Y )
(50)
Gilt für alle X,Y ∈ A das Kommutativgesetz
X ◦Y = Y ◦ X
(51)
so bezeichnet man die Algebra als kommutativ. Ein Element E ∈ A bezeichnet man als Einselement,
wenn für alle X ∈ A gilt
E ◦X = X ◦E = X
(52)
Man schreibt dann auch einfach 1. Existiert ein Einselement 1 ∈ A , spricht man von einer Algebra
mit Einselement (“unital algebra”)(A , +, 0, ·, K, ◦, 1).
In L (H ) definiert die identische Abbildung
1 : H → H , ϕ 7→ 1(ϕ) = ϕ
7
(53)
ein Einselement und(L (H ), +, 0, ·, C, ◦, 1) ist eine Algebra mit Einselement über den komplexen
Zahlen. Die Multiplikation ist i.A. nicht kommutativ. Zwei Operatoren A, B ∈ L (H ) kommutieren
gdw. AB = BA, man bezeichnet
[A, B] := AB − BA
als den Kommutator von A und B.
Für Operatoren A, B ∈ D(H ), die nicht überall definiert ist, kann man i.A. keine Addition oder Multiplikation definieren. Haben sie den gleichen Definitionsbereich, ist immerhin die Addition definiert,
sodass man einen einen Vektorraum erhält: Man schreibt dann auch C = aA + bB mit D(C) = D(A) =
D(B) für beliebige a, b ∈ C. Eine Multiplikation zwischen den Operatoren ist aber auch in diesem
Fall meist nicht möglich, da i.A. Bϕ ∈
/ D(A)1 .
2.3
Abgeschlossenheit und Stetigkeit
Ein linearer Operator A ∈ D(H ) ist abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge von Vektoren
(ϕk ∈ D(A))k∈N mit lim ϕk = ϕ ∈ H , bei der auch die Bilder konvergieren lim Aϕk = ψ ∈ H , der
k→∞
Grenzwert ϕ zum Definitionsbereich gehört ϕ ∈ D(A) und ψ = Aϕ gilt.
k→∞
Jeder Operator A ∈ L (H ) ist stetig (und daher auch abgeschlossen): Konvergiert eine Folge (ϕk ∈
H )k∈N gegen einen Grenzwert lim ϕk = ϕ ∈ H , so konvergieren die Bilder gegen das Bild des
k→∞
Grenzwertes lim Aϕk = Aϕ.
k→∞
2.4
Matrixdarstellung eines linearen Operators
Gilt für Operatoren A, B ∈ D(H ) mit gleichem Definitionsbereich für alle ϕ, ψ ∈ D(A) = D(B)
ϕ, Aψ = ϕ, Bψ
(54)
so folgt A = B. Dies ermöglicht die Definition von linearen Operatoren mit Hilfe der Skalarprodukte.
Mit einer Orthonormalbasis {β j ∈ H } j∈Id ⊆ D(A) im Definitionsbereich des Operators A ∈ D(H ),
kann man dem Operator eine quadratische Matrix zuordnen durch
(a j,k ) = β j , Aβk
(55)
Die Zuordnung ist injektiv: Gilt für alle k, j ∈ Id
(a j,k ) = β j , Aβk = (b j,k ) = β j , Bβk
(56)
so ist A = B. Die Matrixelemente a j,k hängen allerdings von der gewählten Orthonormalbasis {β j ∈
H } j∈Id ab.
Die Anwendung des Operators A auf einen beliebigen Vektor ϕ ∈ D(A) in ψ = Aϕ kann mittels der
Basisdarstellung
ϕ = ∑ ck βk , ψ = ∑ d j β j
k
k
durch
d j = ∑ a j,k ck
(57)
k
beschrieben werden. Für die Multiplikation von Operatoren A, B ∈ L (H ) in C = ABergibt sich
(c j,n ) = ∑ a j,k bk,n
k
Dies sind gerade die üblichen Regeln der Matrixmultiplikation.
1 Man
benötigt daher auch eine andere Definition für das “Kommutieren” zweier Operatoren (s.u.).
8
(58)
2.5
Adjunktion, selbstadjungierte und normale Operatoren
Gilt für die linearen Operatoren A, B in H für alle ψ ∈ D(A), ϕ ∈ D(B)
hϕ, Aψi = Bϕ, ψ
(59)
so bezeichnet man B als adjungierten Operator zu A. Ist A ∈ D(H ), so ist der adjungierte Operator
B eindeutig bestimmt und man schreibt B = A† (bzw. B = A∗ )
Ein Operator A ∈ D(H ) ist genau dann abgeschlossen, wenn A†† = A und damit D(A) = D(A† ). Gilt
bei einem abgeschlossenen Operator A ∈ D(H ) A† Aϕ = A A† ϕ für alle ϕ ∈ D(A), so bezeichnet man
ihn als normal.
Ein Operator linearer Operator in H ist selbstadjungiert, wenn A ∈ D(H ) und A = A† . Jeder selbstadjungierte Operator ist normal und abgeschlossen. Die Menge der selbstadjungierten Operatoren
O(H ) wird in der Quantenmechanik zur Darstellung der Observablen verwendet.
Eine Involution in einer Algebra (A , +, 0, ·, K, ◦) ist eine bijektive Abbildung
∗
: A → A , X 7→ X ∗
bei der für alle X,Y ∈ A und c ∈ K gilt
X ∗∗ = X
(60)
(X +Y )∗ = X ∗ +Y ∗
(61)
(X Y )∗ = Y ∗ X ∗
(62)
(c · X)∗ = c∗ X ∗
(63)
Dabei bezeichnet c∗ die konjugiert komplexe Zahl zu c, bei reellen Zahlen gilt c∗ = c.
In einer Algebra (A , +, 0, ·, K, ◦, 1) mit Involution ∗ : A → A bezeichnet man Elemente X ∈ A als
• normal gdw. XX ∗ =X ∗ X,
• unitär gdw. XX ∗ =X ∗ X=1,
• hermitesch gdw. X = X ∗ ,
• Projektor gdw. X = X 2 = X ∗ ,
• positiv gdw. ∃Y ∈ A : X = YY ∗ = Y ∗Y
Man schreibt bei einem positiven Element X ∈ A auch X ≥ 0. Mit Hilfe der Positivität kann man in
A eine partielle Ordnungsrelation definieren, für alle X,Y ∈ A
X ≤ Y :⇔ Y − X ≥ 0
(64)
Die Involution ∗ : A → A kann als Verallgemeinerung der Konjugation komplexer Zahlen betrachtet
werden. Die hermiteschen Elemente übernehmen die Rolle der reellen Zahlen. Dies zeigt auch folgender Zusammenhang: Zu jedem Element Z ∈ A existieren hermitesche Elemente X,Y ∈ A , sodass
gilt
Z = X + iY
(65)
nämlich X = 21 (Z ∗ + Z),Y = 21 i(Z ∗ − Z). Dabei ist Z ∗ = X − iY . Ist Z normal, so gilt XY = Y X und
ZZ ∗ = X 2 +Y 2 ist positiv. Ist Z hermitesch, so ist Z 2 positiv.
9
In der Algebra (L (H ), +, 0, ·, C, ◦, 1) der beschränkten Operatoren im Hilbertraum H ist die Adjunktion
†
: L (H )→ L (H ), A 7→ A†
eine Involution, die selbstadjungierten Operatoren sind darin die hermiteschen Elemente.
Die Darstellung (65) kann aber auch auf abgeschlossene Operatoren im Hilbertraum verallgemeinert werden: Zu jedem abgeschlossenen Operator Z ∈ D(H ) existieren selbstadjungierte Operatoren
X,Y ∈ D(H ) mit D(X) = D(Y )= D(Z), sodass gilt
Z = X + iY
(66)
nämlich X = 21 (Z † + Z),Y = 12 i(Z † − Z).
2.6
Beschränkte lineare Operatoren, Norm
Ein linearer Operator A∈ D(H ) ist beschränkt gdw. es eine reelle Zahl s > 0 gibt, sodass für alle
ϕ ∈ D(A) gilt
kAϕk ≤ s kϕk
(67)
Für beschränkte Operatoren A ∈ D(H ) kann man eine Operatornorm als kleinste obere Schranke
definieren
A := inf{s ∈ R|s > 0, ∀ϕ ∈ D(A) : kAϕk ≤ s kϕk}
(68)
Jeder Operator A ∈ L (H ) ist beschränkt. Zu jedem beschränkten Operator A ∈ D(H ) gibt es
genau einen Operator
à ∈L (H ), der eine Fortsetzung von A in H ist, sodass für alle ϕ ∈ D(A) gilt
Ãϕ = Aϕ und A = Ã. Man identifiziert à daher einfach mit A.
L (H ) wird oftmals als die Menge der beschränkten Operatoren auf
H definiert und ist mit der
obigen Operatornorm ein normierter Vektorraum L (H ), +, 0, ·, C, . und sogar ein Banachraum.
In einem endlich-dimensionalen Hilbertraum sind alle linearen Operatoren beschränkt.
2.7 C∗ -Algebra der beschränkten linearen Operatoren
Ist in einer Algebra
(A , +, 0, ·, K, ◦) eine Norm k k : A → R, X 7→ kXk definiert, sodass
A , +, 0, ·, K, ein Banachraum ist, und gilt für alle X,Y ∈ A
XY ≤ X Y (69)
so
bezeichnet
man
(A , +, 0, ·, K, ◦, k k)
Banachalgebra.
Ist
in
einer
Banachalgebra(A , +, 0, ·, K, ◦, k k) eine Involution ∗ : A → A definiert und gilt für alle X ∈ A
∗ X = X (70)
∗ 2
X X = X (71)
so bezeichnet man (A , +, 0, ·, K, ◦, k k , ∗ ) als C∗ -Algebra bzw. falls ein Einselement existiert
(A , +, 0, ·, K, ◦, 1, k k , ∗ ) als C∗ -Algebra mit Einselement.
Die beschränkten Operatoren L(H ) auf einem Hilbertraum H bilden eine C∗ -Algebra mit Einselement L (H ), +, 0, ·, C, ◦, 1, ., † .
10
In einer C∗ -Algebra (A , +, 0, ·, K, ◦, k k , ∗ ) ist aufgrund der Norm die Konvergenz von Folgen definiert und man kann Funktionen von Operatoren durch Potenzreihen definieren, wie z.B. die Exponentialfunktion
n
∞
1
1
(72)
exp(X) = ∑ X k = lim ∑ X k
n→∞
k=1 k!
k=1 k!
Dabei hilft der Satz: Konvergiert für eine Folge komplexer Zahlen {ck ∈ C}k∈N die Potenzreihe
∞
f (x) =
∑ ck xk
(73)
k=1
für alle x ∈ C mit x ≤ r > 0 (man bezeichnet r als Konvergenzradius), so konvergiert auch die
entsprechende Operatorreihe
∞
f (X) =
∑ ck X k
(74)
k=1
für alle X ∈ A mit X ≤ r. Bei der Potenzreihe der Exponentialfunktion im Beispiel ist der Konvergenzradius ∞, die Reihe konvergiert daher für alle X ∈ A .
Für unbeschränkte Operatoren D(H ) benötigt man Konvergenzbegriffe, die über die Normkonvergenz hinausgehen. Eine Folge von Operatoren (Ak ∈ D(H ))k∈N konvergiert gegen den Operator
A ∈ D(H )
wenn für alle ϕ ∈ D(A)
stark,
lim kAk ϕ − Aϕk = 0
k→∞
schwach,
wenn für alle ϕ ∈ D(A) und ψ ∈ H
lim Ak ϕ, ψ = Aϕ, ψ
k→∞
(75)
(76)
Die starke Konvergenz impliziert die Schwache. Für Folgen beschränkter Operatoren impliziert die
Normkonvergenz die Starke und die Schwache.
2.8
Besondere Operatoren
In der C∗ -Algebra L (H ), +, 0, ·, C, ◦, 1, ., † der beschränkten Operatoren sind positive Operatoren, Projektoren und unitäre Operatoren bereits definiert. Die Definitionen dieser Operatoren auf
einem Hilbertraum können jedoch formal auf D(H ) ausgedehnt werden, wobei Projektoren und unitäre Operatoren immer beschränkt sind. Alle diese Operatoren haben aber auch gewisse Eigenschaften
in der Wirkung auf die Vektoren des Hilbertraums, die hier angesprochen werden sollen.
2.8.1
Positive Operatoren, Partielle Ordnung, Effektoperatoren
Ein Operator A ∈ D(H ) ist positiv (positiv semidefinit), man schreibt auch A ≥ 0, gdw. A = A† und
für alle ϕ ∈ D(A) gilt
ϕ, Aϕ ≥ 0
(77)
Für jeden normalen Operator B ∈ D(H ) gilt B† B = BB† ≥ 0. Ein Operator A ∈ L (H ) ist genau
dann positiv, wenn es einen Operator B∈ L (H ) gibt, für den gilt
A = BB† = B† B
11
(78)
Mit Hilfe der Positivität kann man für Operatoren A, B ∈ L (H ) eine partielle Ordnungsrelation
definieren
A ≤ B :⇔ B − A ≥ 0
(79)
Für alle A, B ∈ L (H ) gilt
A ≤ B ⇒ A ≤ B
(80)
Einen Operator F ∈ D(H ) bezeichnet man als Effektoperator gdw.
0≤F ≤1
(81)
und die Menge der Effektoperatoren auf H mit F (H ). Es gilt F (H ) ⊆ L (H ). Mit F ∈ F (H )
ist also auch 1 − F ∈ F (H ).
Mit F1 , F2 ∈ F (H ) ist auch jede konvexe Linearkombination F = p1 F1 + p2 F2 mit p1 , p2 ≥ 0 und
p1 + p2 ≤ 1 ein Effektoperator F ∈ F (H ).
2.8.2
Projektionsoperatoren
Ein linearer Operator P∈ D(H ) ist ein Projektionsoperator oder Projektor gdw. er selbstadjungiert
und idempotent ist d.h.
P = P† = P2
(82)
Die Menge der Projektionsoperatoren auf H wollen wir mit P(H ) bezeichnen. Es gilt P(H ) ⊆
L (H ). Mit P ∈ P(H ) ist auch 1 − P ∈ P(H ). Da jeder Projektionsoperator positiv ist, gilt
0≤P≤1
(83)
Somit ist jeder Projektionsoperator auch ein Effektoperator. Ist P 6= 0 gilt P = 1.
Zu jedem Projektionsoperator P ∈ P(H ) gehört umkehrbar eindeutig ein abgeschlossener Teilraum
von H
TP = {Pϕ|ϕ ∈ H }
(84)
sodass für alle ψ∈ H gilt
ψ ∈ TP ⇔ Pψ = ψ
(85)
Ist der zum Projektionsoperator P ∈ P(H ) gehörige Teilraum TP eindimensional, so gilt mit einem
Einheitsvektor ϕ ∈ TP für alle ψ ∈ H
Pψ = ϕ, ψ ϕ
(86)
ϕ ϕ geschrieben, was dann elegant
Wir schreiben dann P[ϕ]. In derDiracnotation
wird
auch
P
=
[ϕ]
zum Skalarprodukt P[ϕ] ψ = ϕ ϕ ψ führt.
Zwei Projektoren P, Q ∈ P(H ) sind orthogonal zueinander gdw. PQ = 0. Es gilt dann
PQ = 0 ⇔ ∀ψ ∈ TP , ϕ ∈ TQ : ψ, ϕ = 0
12
(87)
2.8.3
Unitäre Operatoren, unitäre Transformationen
Ein linearer Operator U ∈ D(H ) ist unitär gdw. für alle ϕ, ψ ∈ D(U) gilt
hUϕ,Uψi = hϕ, ψi
(88)
Ein unitärer Operator U∈ D(H ) ist daher normal und beschränkt. Es gibt somit eine eindeutige
Fortsetzung U ∈ L (H ) mit U † = U −1 . Ein linearer Operator U∈ L (H ) ist unitär gdw.
U U † = U †U = 1
(89)
Es folgt, dass U † = U −1 und U = 1.
Eine unitäre Transformation ϕ → Uϕ erhält das Skalarprodukt und damit die Orthogonalitätsbeziehungen ebenso wie die Norm.
Durch eine unitäre Transformation U ∈ L (H )
werden
Orthonormalbasen in Orthonormalbasen
Gilt für alle j, k ∈ I und β j ∈ H dass β j , βk = δ j,k so gilt dies auch für alle βk0 = U βk :
überführt:
β j0 , β 0 k = δ j,k . Gilt für ψ, ϕ ∈ H und A ∈ L (H )
ψ = Aϕ
(90)
so gilt mit einer unitären Transformation U der Vektoren ψ, ϕ → ψ 0 = Uψ, ϕ 0 = Uϕ wegen Uψ =
U A U −1 U ϕ mit dem transformierten Operator A0 = U A U −1 die Beziehung
ψ 0 = A0 ϕ 0
(91)
Gibt es daher zu zwei Operatoren A, B ∈ D(H ) eine unitäre Transformation U ∈ L (H ) sodass
B = U A U −1
(92)
so bezeichnet man A und B als unitär äquivalent.
2.9
Tensorprodukt von Operatoren
Sei H = H1 ⊗ H2 das Tensorprodukt zweier separabler Hilberträume. Es gibt zu je zwei linearen
Operatoren A ∈ D(H1 ),B ∈ D(H2 ) einen linearen Operator C in H , so dass für alle ϕ ∈ D(A),χ ∈
D(B) gilt
C(ϕ ⊗ χ) = (Aϕ) ⊗ (Bχ)
(93)
Man bezeichnet man C als das Tensorprodukt von A und B und schreibt
C = A⊗B
(94)
Für alle X,Y ∈ D(H1 ), V,W ∈ D(H2 ) und c ∈ C gilt:
X ⊗V ∈ D(H )
(95)
c · (X ⊗V ) = (c · X) ⊗V = X ⊗ (c ·V )
(96)
(X +Y ) ⊗V = (X ⊗V ) + (Y ⊗V )
(97)
X ⊗ (V +W ) = (X ⊗V ) + (X ⊗W )
(98)
(X ⊗V )† = (X † ⊗V † )
(99)
13
und für alle X,Y ∈ L (H1 ), V,W ∈ L (H2 ) und c ∈ C
X ⊗V ∈ L (H )
(100)
(X ⊗V )(Y ⊗W ) = (X Y ) ⊗ (V W )
X ⊗V = X V (101)
(102)
Daher sind die Tensorprodukte von selbstadjungierten Operatoren selbstadjungiert, die von unitären
Operatoren unitär, und die von Projektionsoperatoren Projektionsoperatoren.
Man kann jeden Operator X ∈ L (H1 ⊗ H2 ) als Summe von Tensorprodukten schreiben, d.h.
X=
∑ ∑ c j,k A j ⊗ Bk
(103)
j∈I1 k∈I2
mit A j ∈ L (H1 ), B j ∈ L (H2 ) und c j,k ∈ C für alle j ∈ I1 , k ∈ I2 und abzählbaren Indexmengen I1 , I2
.
2.10
Spektrum und Spektraldarstellung
2.10.1
Eigenwerte und Eigenvektoren eines Operators
Gilt für einen Operator A ∈ D(H ) mit einem a ∈ C und einem ϕ ∈ H mit ϕ 6= 0
Aϕ = aϕ
(104)
so bezeichnet man ϕ als Eigenvektor von A zum Eigenwert a.
Sind ϕ, χ ∈ H Eigenvektoren von A zum gleichen Eigenwert a, so ist auch jede Linearkombination
cϕ + dχ mit c, d ∈ C (und cϕ + dχ 6= 0) ein Eigenvektor zum Eigenwert a.
Bei einem abgeschlossenen Operator A ∈ D(H ) gehört zu jedem Eigenwert ein abgeschlossener
Teilraum von Eigenvektoren (und dem Nullvektor), der Eigenraum Ta ∈ T (H ). Die Dimension
des Eigenraums dimTa bezeichnet man als Vielfachheit bzw. Multiplizität des Eigenwerts. Mit dem
Projektionsoperator Pa ∈ P(H ) auf den Eigenraum zum Eigenwert a gilt für alle ϕ ∈ H
APa ϕ = aPa ϕ
(105)
Für abgeschlossene Operatoren folgt aus (104)
A† ϕ = a∗ ϕ
(106)
Die Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators sind daher alle reell (a = a∗ ).
Bei jedem normalen Operator A ∈ D(H
) †sindEigenvektoren
ϕ, χ ∈
H zu
verschiedenen
Eigenwer
† ϕ = a∗ a χ, ϕ = b∗ b χ, ϕ = a∗ b χ, ϕ =
ten a,
b
∈
C
orthogonal.
Denn
wegen
χ,
A
Aϕ
=
χ,
AA
b∗ a χ, ϕ folgt χ, ϕ = 0 wenn a 6= b; für die zugehörigen Eigenraumprojektoren gilt dann Pa Pb = 0.
14
2.10.2
Spektrum eines Operators
Die Eigenwertgleichung (104) kann man auch in folgender Form schreiben
(A − a1)ϕ = 0
(107)
Ein linearer Operator (A − a1), der mit gegebenen a ∈ C diese Gleichung erfüllt, kann nicht invertierbar sein: Denn (A − a1)−1 0 müsste den Vektor ϕ ergeben, was für lineare Abbildungen unmöglich
ist, da der Nullvektor immer auf sich selbst abgebildet wird.
Das Spektrum eines Operators A ∈ D(H ) ist
σ (A) = C \ a ∈ C|(A − a1)−1 ∈ L (H )
(108)
Alle Eigenwerte eines Operators gehören zum Spektrum
(A − a1)ϕ = 0 ⇒ a ∈ σ (A)
(109)
Sie bilden das sogenannte Punktspektrum, es ist in einem separablen Hilbertraum immer endlich
oder abzählbar unendlich. In endlich-dimensionalen Hilberträumen treten nur Punktspektren auf. Im
unendlich-dimensionalen Hilbertraum gibt es aber Operatoren, bei denen auch Werte zum Spektrum
gehören, die keine Eigenwerte sind und die sogar ein Kontinuum bilden können.
Ein Wert a ∈ C gehört genau dann zum Spektrum eines normalen Operators A ∈ D(H ), wenn es
eine Folge von Einheitsvektoren (ϕk ∈ H )k∈N gibt, sodass gilt
lim k(A − a1)ϕk k = 0
k→∞
(110)
Diese Folge (ϕk ∈ H )k∈N enthält “Quasieigenvektoren” zum “Quasieigenwert” a.
Für alle A ∈ L (H ) und alle Polynome P(A) = ∑k ck Ak mit ck ∈ C gilt
σ (P(A)) = P(σ (A))
2.10.3
(111)
Spektren spezieller Operatortypen
Für abgeschlossene Operatoren A ∈ D(H ) gilt
a ∈ σ (A) ⇔ a∗ ∈ σ (A† )
(112)
Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators A ∈ D(H ) ist reell
A = A† ⇒ σ (A) ⊆ R
(113)
Das Spektrum eines positiven Operators A ∈ D(H ) ist nicht-negativ
A ≥ 0 ⇒ a ∈ σ (A) ⇒ a ≥ 0
(114)
Das Spektrum eines beschränkten Operators A ∈ L (H ) ist kompakt und es gilt
a ∈ σ (A) ⇒ a ≤ A
(115)
Für das Spektrum eines Effektoperators E ∈ L (H ) gilt daher
a ∈ σ (E) ⇒ 0 ≤ a ≤ 1
(116)
15
Projektionsoperatoren P ∈ P(H ) haben ein reines Punktspektrum mit σ (P) = {0, 1} für 0 6= P 6= 1,
σ (1) = {1}, σ (0) = {0}.
Das Spektrum eines unitären Operators U ∈ L (H ) liegt auf dem komplexen Einheitskreis
c ∈ σ (U) ⇒ c = 1
(117)
Für eine C∗ -Algebra mit Einselement (A , +, 0, ·, K, ◦, 1, k k , ∗ ) ist das Spektrum σ (X) eines Elements
X ∈ A definiert durch
σ (X) = K \ x ∈ K | (X − x1)−1 ∈ A
(118)
und ist eine nicht-leere, beschränkte und geschlossene Menge. Es gilt für alle X ∈ A
x ∈ σ (X) ⇒ x ≤ X 2.10.4
(119)
X = X ∗ ⇒ σ (A) ⊆ R
(120)
X ≥ 0 ⇒ σ (A) ⊆ R+
0
(121)
X = X ∗ = X 2 ⇒ σ (X) ⊆ {0, 1}
X ∗ = X −1 ⇒ σ (X) ⊆ {x ∈ K | x = 1}
(122)
(123)
Spektraldarstellung normaler Operatoren mit reinem Eigenwertspektrum
Jeder normale Operator A ∈ L (H ) mit einem reinen Punktspektrum σ (A) ⊆ C kann in der Form
A=
∑
(124)
aPa
a∈σ (A)
dargestellt werden, wobei Pa ∈ P(H ) für alle a ∈ σ (A) den Projektionsoperator auf den zu a gehörenden Eigenraum bezeichnet.
Die Projektoren {Pa }a∈σ (A) müssen eine orthogonale Zerlegung der Einheit (orthogonal decomposition of identity, ODI) bilden, d.h. es gilt für alle a, b ∈ σ (A)
a 6= b ⇒ Pa Pb = 0
(125)
Pa = 1
∑
(126)
a∈σ (a)
Für jeden Vektor ϕ ∈ H gilt dann wie behauptet
Aϕ = A(
∑
a∈σ (A)
Pa )ϕ =
∑
a∈σ (A)
APa ϕ =
∑
aPa ϕ
(127)
a∈σ (A)
Es gibt wegen (126) sogar eine vollständige Orthonormalbasis {ϕk ∈ H }k∈ID von Eigenvektoren mit
Aϕk = ak ϕk , die allerdings nicht notwendigerweise alle zu verschiedenen Eigenwerten gehören.
2.10.5
Spektraldarstellung normaler Operatoren
Für normale Operatoren A ∈ D(H ) mit beliebigem Spektrum σ (A) ⊆ C kann diese Spektraldarstellung verallgemeinert werden zu
16
ˆ
A=
(128)
a dPa
σ (A)
Dieses Integral kann für beschränkte Operatoren A ∈ L (H ) etwa in folgendem Sinne verstanden
werden: Es gibt eine zu A gehörende Spektralfamilie P(A) ⊆ P(H ) paarweiser kommutierender
Projektionsoperatoren und für jedes ε > 0 eine Menge von Spektralwerten Sε ⊆ σ (A) mit einer passenden orthogonale Zerlegung der Einheit {Pa ∈ P(A)}a∈Sε , sodass mit dem normalen Operator
Aε =
∑ aPa
(129)
A − Aε < ε
(130)
a∈Sε
gilt
Für unbeschränkte Operatoren A ∈ D(H ) muss man eine andere Form der Konvergenz verwenden
z.B. die schwache Konvwergenz: Für alle ϕ, ψ ∈ D(A) gilt
ϕ, A − Aε )ψ < ε
(131)
2.10.6
Projektionswertiges Maß (PVM)
Die Spektralfamilie P(A) eines selbstadjungierten Operators A ergibt sich durch ein projektionswertiges Maß PVM (projection valued measure), einer Abbildung der Borelmengen der reellen Zahlen
B(R) in die Projektoren des Hilbertraums P(H )
PA : B(R) → P(H ), B 7→ PA (B)
(132)
wobei für alle B,C ∈ B(R) gilt
PA (∅) = 0, PA (R) = 1
B ∩C = ∅ ⇒ PA (B)PA (C) = 0
und für alle Bk mit B j ∩ Bk = ∅ für k 6= j mit k, j ∈ I
[
Bk ) = ∑ PA (Bk )
k∈I
k∈I
PA (
Die Bilder kommutieren paarweise, für alle B,C ∈ B(R) gilt
PA (B)PA (C) = PA (C)PA (B)
Jede Partition von R aus Borelmengen, {Bk ∈ B(R)}k∈I mit R =
mit k 6= j, hat als Bild eine orthogonale Zerlegung der Einheit
Bk undBk ∩B j
k∈I
{PA (Bk )}k∈I .
S
= Ø für alle k, j ∈ I
Die Spektralfamilie eines beliebigen selbstadjungierten Operators A ist die Menge aller Bilder von
Borelmengen
P(A) = PA (B(R))
(133)
Jedes PVM definiert einen selbstadjungierten Operator A ∈ D(H ) mit dem Spektrum
σ (A) =
{B ∈ B(R)|B = B̄, PA (B) = 1}
\
(134)
Jede disjunkte Zerlegung des Spektrums S = {Bk ∈ B(R)}k∈I mit Bk ∩ B j = Ø für alle k, j ∈ I mit
k 6= j und ∪k∈I Bk = σ (A) hat als Bild eine orthogonale Zerlegung der Einheit {PA (Bk )}k∈I .
Gilt für ein a ∈ C, dass PA ({a}) 6= 0, so ist a ein Eigenwert und PA ({a}) = Pa der Projektor auf den
Eigenraum zum Eigenwert a. Gilt PA ({a}) = 0 aber PA (B) 6= 0 für jedes offene Intervall Ua mit a ∈ Ia ,
dann gehört a zum kontinuierlichen Spektrum.
17
2.10.7
Funktionen normaler Operatoren
Die Spektraldarstellung eines normalen Operators A ∈ D(H ) erlaubt es, für beliebige borelmessbare
Funktionen f : σ (A) → C die zugehörige Operatorfunktion zu definieren als
ˆ
f (A) =
f (a) dPa
(135)
σ (A)
Für Polynome und Potenzreihen von beschränkten Operatoren liefert diese Definition die gleichen
Ergebnisse wie die entsprechenden C*-algebraischen Definitionen.
Die Borelmessbarkeit der Funktion f garantiert, dass das Urbild einer Borelmenge B ∈ B(C) ebenfalls eine Borelmenge ist f −1 (B) ∈ B(C) , sodass sich das PVM von f (A) aus dem PVM von A ergibt
durch
Pf (A) : B(C) → P(H ), B 7→ Pf (A) (B) = PA ( f −1 (B))
(136)
Es folgt daher σ ( f (A)) = f (σ (A)) und P( f (A)) ⊆ P(A). Für jede disjunkte Zerlegung des Spektrums gilt dann mit fk ∈ Bk
f (A)S = ∑ fk Pf (A) (Bk ) = ∑ f (ak )PA ( f −1 (Bk ))
k∈I
(137)
k∈I
mit ak ∈ f −1 (Bk ).
Jede Indikatorfunktion IB : C→ C einer Borelmenge B ∈ B(C) ist borelmessbar. Die Anwendung von
IB auf einen Operator A ∈ D(H ) ergibt für alle B ∈ B(C) gerade das PVM des Operators
IB (A) = PA (B)
2.10.8
(138)
Unitäre Operatoren als Funktionen selbstadjungierter Operatoren
Zu jedem unitären Operator U gibt es einen selbstadjungierten Operator A ∈ D(H ) sodass gilt
U = eiA
(139)
Umgekehrt definiert dies auch für jeden selbstadjungierten Operator einen unitären Operator. (Diese
Zuordnungen sind allerdings nicht eindeutig).
2.10.9
Kommutierende normale Operatoren
Zwei Operatoren A, B ∈ L (H ) kommutieren gdw.
AB − BA = 0
(140)
Dies hat für normale Operatoren zur Folge, dass alle Projektoren ihrer Spektralfamilie kommutieren.
Für unbeschränkte Operatoren A, B ∈ D(H ) tritt das Problem auf, dass Aϕ nicht im Definitionsbereich von B liegen muss, selbst wenn ϕ ∈ D(A) ∩ D(B). Für normale Operatoren A, B ∈ D(H ) mit
D(A) 6= H oder D(B) 6= H definiert man daher, dass A, B genau dann kommutieren, wenn alle Projektoren ihrer Spektralfamilie paarweise kommutieren, d.h. für alle P ∈ P(A) und alle Q ∈ P(B) gilt
PQ = QP.
18
Es folgt sofort: Für einen normalen Operator A ∈ D(H ) kommutieren die Operatoren f (A), g(A) für
beliebige borelmessbare Funktionen f , g : C→ C.
Eine weitere Folgerung: Kommutierende normale Operatoren mit reinem Eigenwertspektrum haben
eine gemeinsame Orthonormalbasis von Eigenvektoren.
v. Neumann bewies aber auch folgenden Satz: Zu jeder Familie von selbstadjungierten Operatoren
{Ak ∈ D(H )}k∈I , die alle paarweise kommutieren, gibt es einen selbstadjungierten Operator A ∈
D(H ) und eine Familie von borelmessbaren reellen Funktionen { fk ∈ RR }k∈I , sodass für alle k ∈ I
gilt Ak = fk (Ak ).
Jeder normale Operator A ∈ D(H ) kann daher als Funktion eines selbstadjungierten Operators
X ∈ D(H ) verstanden werden: A = f (X) + i g(X) mit reellen, borelmessbaren Funktionen f , g. v.
Neumanns Satz gilt daher auch für Familien von normalen Operatoren.
2.11
Spur und statistische Operatoren
2.11.1
Spur und Spurklasse
Bei Matrizen ist die Spur (engl. Trace) die Summe der Diagonalelemente. Man definiert daher für
lineare Operatoren A ∈ L (H ) in der Matrixdarstellung analog
ID
tr(A) :=
∑
βk , Aβk
(141)
k=1
mit einer beliebigen Orthonormalbasis {βk ∈ H }k∈ID und geeigneter Indexmenge ID mit ID =
dimH . In einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum muss die Spur nicht für jeden Operator existieren, da die Summe nicht notwendig konvergiert. Die beschränkten Operatoren mit endlicher Spur
werden manchmal als nuklear bezeichnet und bilden die Spurklasse (engl. trace class) N (H ) ⊆
L (H ). Operatoren der Spurklasse haben (bis auf die mögliche Ausnahme 0) ein reines Eigenwertspektrum d.h. für alle A ∈ N (H ) gilt
a ∈ σ (A), a 6= 0 ⇒ ∃ϕ ∈ H : Aϕ = aϕ
(142)
Der Wert der Spur ist unabhängig von der jeweiligen Orthonormalbasis.
Für einen selbstadjungierten
Operator A ∈ N (H ) ist die Spur reell, da die Skalarprodukte βk , Aβk für alle k ∈ ID reell sind. Für
alle Operatoren der Spurklasse S, T ∈ N (H ), alle beschränkten Operatoren A ∈ L (H ) und alle
a, b ∈ C gilt
tr(a S + b T ) = a tr(S) + b tr(T )
(143)
SA, AS ∈ N (H )
(144)
tr(SA) = tr(AS)
(145)
Für einen positiven Operator A ∈ N (H ) gilt tr(A) > 0.
Beim Tensorprodukt H = H1 ⊗ H2 zweier separabler Hilberträume gilt für alle S ∈ N (H1 ), T ∈
N (H2 ) mit der Orthonormalbasis von Produktvektoren mit {α j ⊗ βk ∈ H }
tr(S ⊗ T ) :=
dim H1 dim H2 ∑ ∑
j=1
j=1
(146)
k=1
dim H1 dim H2 ∑ ∑
α j ⊗ βk , S ⊗ T, α j ⊗ βk =
α j Sα j
βk , T βk = tr(S)tr(T )
k=1
19
(147)
Für alle unitären Transformationen U ∈ U (H ) und alle linearen Operatoren S ∈ N (H ) gilt:
tr(S) = tr(U S U −1 )
(148)
denn tr((U S)U −1 ) = tr(U −1 (U S)) = tr(S). Daraus folgt die Invarianz der Spur bzgl. der Basisdarstellung.
Für Projektionsoperatoren P ∈ P(H ) liefert die Spur die Dimension des zugehörigen abgeschlossenen Teilraums TP ∈ T (H )
tr(P) = dimTP
(149)
Ist tr(P) = dimTP = 1, gilt für jeden Einheitsvektor ϕ ∈ TP und jeden Operator A ∈ L (H )
tr(PA) = ϕ, Aϕ
2.11.2
(150)
Dichteoperatoren
Ein linearer Operator W ∈ L (H ) ist ein Dichteoperator (statistischer Operator, Zustandsoperator)
genau dann, wenn er positiv ist und die Spur 1 hat:
W = W†
(151)
W ≥0
(152)
tr(W ) = 1
(153)
Wir bezeichnen die Menge der Dichteoperatoren mit S (H ). Es gilt S (H ) ⊆ N (H ) und für alle
W ∈ S (H )
0 ≤ W ≤ 1
(154)
σ (W ) ⊆ [0, 1]
W = 1 ⇔ W 2 = W
(155)
(156)
Letzteres bedeutet: Ein Dichteoperator hat genau dann die Norm 1, wenn er ein Projektionsoperator ist. Es handelt sich dann um einen Projektionsoperator auf einen eindimensionalen Teilraum TW
wegen 1 = tr(W ) = dim TW .
Konvexe Linearkombinationen von Dichteoperatoren ergeben wieder einen Dichteoperator, mit Wk ∈
S (H ) und pk ∈ [0, 1] ist auch ∑k pkWk ∈ S (H ). Die Dichteoperatoren bilden daher eine konvexe
Menge, deren extremale Elemente, die nicht als nichttriviale konvexe Linearkombination anderer Elemente dargestellt werden können, gerade die Projektionsoperatoren auf eindimensionale Teilräume
sind.
Da ein Dichteoperator zur Spurklasse gehört, hat er (bis auf die mögliche Ausnahme 0) ein reines
Eigenwertspektrum. In der Spektraldarstellung
W = ∑ pk Pk
(157)
k
können für pk > 0 keine Projektoren auf unendlich-dimensionale Teilräume auftauchen da tr(W ) =
1 = ∑ pk tr(Pk ) = ∑ pk dim TPk .
k
k
20
Bei einer C∗ -Algebra mit Einselement (A , +, 0, ·, K, ◦, 1, k k , ∗ ) heißt eine Abbildung e : A → K
Erwartungswertfunktional (oder auch Zustand), wenn für alle a, b ∈ K und alle X,Y, Xk ∈ A gilt
e(aX + bY ) = ae(X) + be(Y )
(158)
lim Xk = X ⇒ lim e(Xk ) = e(X)
(159)
X ≥ 0 ⇒ e(X) ∈ R+
0
(160)
e(1) = 1
(161)
k→∞
k→∞
Man bezeichnet e daher auch als normiertes, positives, stetiges, lineares Funktional. Solche Erwartungswertfunktionale stehen in engem Zusammenhang mit verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Projektoren der Algebra.
Wie schon v. Neumann zeigte, definiert jedes Erwartungswertfunktional
e auf der C∗ -Algebra der
†
beschränkten linearen Operatoren L (H ), +, 0, ·, C, ◦, 1, ., umkehrbar eindeutig einen Dichteoperator We , sodass für alle X ∈ L (H ) gilt
e(X) = tr(We X)
(162)
Weiterhin definiert jedes Erwartungswertfunktional e auf L (H ) bzw. jeder Dichteoperator W ∈
L (H ) für einen selbstadjungierten Operator X = X † ∈ D(H ) über das zugehörige PVM PX :
B(R) → P(H ) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Ereignisraum (R, B(R))
pX,W : B(R) → [0, 1], B 7→ pX,W (B) = e(PX (B)) = tr(W PX (B))
2.11.3
(163)
Partielle Spur
Betrachtet man das Tensorprodukt zweier Hilberträume H = H1 ⊗H2 mit der Orthonormalbasis
von Produktvektoren mit {α j ⊗ βk ∈ H }, so gilt für die Spur des Tensorprodukts zweier Operatoren
S ∈ N (H1 ), T ∈ N (H2 )
tr(S ⊗ T ) :=
dim H1 dim H2 ∑ ∑
j=1
α j Sα j
βk , T βk
(164)
k=1
Bildet man die Spur nur teilweise, über die Basisvektoren in H1 , so erhält man dadurch einen linearen
Operator auf H2
dim H1 trH1 (S ⊗ T ) = ∑ α j , Sα j T = tr(S)T
(165)
j=1
wobei tr(S) sich auf den Hilbertraum H1 bezieht. Da alle linearen Operatoren X ∈ L (H1 ⊗ H2 ) als
Linearkombinationen von Tensorprodukten geschrieben werden können (103), kann man damit eine
lineare Abbildungen der Operatoren der Spurklasse
trH1 : N (H1 ⊗ H2 ) → L (H2 )
in die linearen Operatoren auf H2 definieren, die man als partielle Spurbildung bzw. Verkürzung
bezeichnet.
Definiert man entsprechend trH2 : N (H1 ⊗ H2 ) → L (H1 ), so folgt für alle X ∈ N (H1 ⊗ H2 ), S ∈
N (H1 ), T ∈ N (H2 )
tr(trH1 (S ⊗ T )) = tr(trH2 (S ⊗ T ))) = tr(S ⊗ T ) = tr(S)tr(T )
21
(166)
tr(trH1 (X)) = tr(trH2 (X))) = tr(X)
(167)
Dabei ist natürlich zu beachten, in welchem Hilbertraum die Spurbildung jeweils erfolgt.
Für jeden Dichteoperator W ∈ S (H1 ⊗ H2 ) ergibt die partielle Spurbildung wieder einen Dichteoperator W2 = trH1 (W ) ∈ S (H2 ) bzw. W1 = trH2 (W ) ∈ S (H1 ).
(Purification) Für jeden Dichteoperator W ∈ S (H ) gibt es einen Hilbertraum H 0 und einen Vektor
ψ ∈ H ⊗ H 0 , sodass gilt
W = trH 0 (P[ψ] )
2.11.4
Schmidt-Zerlegung (biorthogonale Zerlegung)
Die Darstellung eines Vektors ψ ∈ H1 ⊗ H2 in der Produktbasis {α j ⊗ βk ∈ H } ist gegeben durch
dimH1 dimH2
ψ=
∑ ∑
j=1
c j,k · α j ⊗ βk
k=1
Es gibt aber zu jedem ψ ∈ H1 ⊗ H2 Orthonormalbasen {ϕk ∈ H1 }, {χk ∈ H2 }, sodass man ψ auch
folgendermaßen schreiben kann:
min(dimH1 ,dimH2 )
ψ=
ak · ϕk ⊗ χk
∑
k=1
Dies ist die sogenannte Schmidt-Zerlegung (biorthogonale Zerlegung). Man sieht leicht, dass für die
reduzierten Dichteoperatoren gilt
min(dimH1 ,dimH2 )
W1 = trH2 (P[ψ] ) =
∑
|ak |2 · P[ϕk ] ∈ S(H1 )
k=1
min(dimH1 ,dimH2 )
W2 = trH1 (P[ψ] ) =
∑
|ak |2 · P[χk ] ∈ S(H2 )
k=1
.
Literatur
R. V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, AMS, 1997
M. Reed, B. Simon: Functional Analysis, Academic Press, 1980
G. Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics, AMS, 2009
J. v. Neumann: Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, 1932
D. Werner: Funktionalanalysis, Springer, 6. Auflage 2007
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