Lösungen

Gunter Ochs
29. August 2016
Mathematik 3 für Informatik
Probeaufgaben zur Klausur, Teil 4
Lösungshinweise (ohne Garantie auf Fehlerfrieheit)
1.
Teil 1:
Gegeben sei die Stichprobe mit den Werten 1, 2, 4, 5, 5 und 7.
(a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, den Median und die beiden Quartile.
1
6
· (1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7) =
24
6
= 4.
Da die Zahl der Stichprobenwerte n = 6 gerade ist, ist
x̃ = 12 xn/2 + xn/2+1 = 21 (x3 + x4 ) = 21 (4 + 5) = 4, 5.
x=
Weiter ist
1
4n
= 1, 5 ⇒ x̃0,25 = x2 = 2
und
3
4n
der Median
= 4, 5 ⇒ x̃0,75 = x5 = 5.
(b) Berechnen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Interquartilsabstand.
s2 = 15 · (1−4)2 +(2−4)2 +(4−4)2 +(5−4)2 +(5−4)2 +(7−4)2 + = 51 ·(9+4+0+1+1+9) =
√
√
⇒ s = s2 = 4, 8 ≈ 2, 19.
Die Spannweite ist 7 − 1 = 6 und der Interquartilsabstand mit dem Ergebnis aus (a)
dIQ = x̃0,75 − x̃0,25 = 5 − 2 = 3.
Teil 2:
24
5
= 4, 8
Ein Würfel sei (nichtstandardmäÿig) beschriftet mit den Augenzahlen 1, 2, 4, 5, 5 und 7.
(c) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Augenzahl.
1
6
· (1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7) = 4,
V (X) = 16 · (1 − 4)2 + (2 − 4)2 + (4 − 4)2 + (5 − 4)2 + (5 − 4)2 + (7 − 4)2
p
√
= 61 · (9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 9) = 24
V (X) = 4 = 2.
6 = 4 ⇒ σX =
EX =
(d) Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Augensumme bei 12
maligem Würfeln.
Xk diePAugenzahl des k ten Wurfs, so ist nach (c) EX
k = 4 und V (Xk ) = 4. Für die AugensumP12
12
me Y =
k=1 X
pk folgt EY√ = 12 · 4√= 4 und Y (Y ) = k=1 V (Xk ) = 48. Die Standardabweichung
ist dann σY =
V (Y ) = 48 = 4 3.
Ist
(e) Bei einem Glücksspiel beträgt der Gewinn die 12fache Augenzahl. Bestimmen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns bei einmaligem Würfeln.
G√= 12X mit X
σG = 576 = 24.
In diesem Fall ist der Gewinn durch
V (G) = 122 · V (X) = 576
und
aus (c) gegeben. Es folgt
EG = 12EX = 48,
(f ) Wie hoch wäre bei dem Spiel aus (e) ein fairer Einsatz, bei dem im langfristigen Durchschnitt
tendenziell weder ein Gewinn noch ein Verlust zu erwarten wäre?
Dieser müsste gleich dem Erwartungswert, also
40
Euro sein.
2. Gegeben sei die Stichprobe vom Umfang
n=7
mit den Werten
9, 4, 5, 8, 1, 10 und 5.
(a) Geben Sie eine geordnete Urliste an.
1, 4, 5, 5, 8, 9, 10
(b) Bestimmen Sie das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel der Stichprobe.
Das arithmetische Mittel ist
das geometrische Mittel
xgeom
1
7
· (1 + 4 + 5 + 5 + 8 + 9 + 10) = 42
7 = 6 und
√
7
1/7
= (1 · 4 · 5 · 5 · 8 · 9 · 10)
= 72 000 =≈ 4, 94.
x=
Zur Bestimmung des harmonischen Mittel bverechnet man zunächst das arithmetische Mittel der
Kehrwerte:
1
7
· 1+
Es folgt
1
4
1
1
+ 15 + 81 + 19 + 10
=7·
504
=
≈
3,
52.
xharm = 1/ 143
504
143
+
1
5
715
360
=
143
504 .
(c) Bestimmen Sie den Median, den Modalwert, die Quartile sowie das
Der Modalwert ist
60 %Quantil
der Stichprobe.
5.
Mit dem Stichprobenumfang
n=7
und
n · 0, 25 = 1, 75, n · 0, 5 = 3, 5
und
n · 0, 75 = 5, 25
ist der
Median der 4. und die beiden Quartile der 2. und der 6. Eintrag der geordneten Urliste, also
x̃ = x̃0,5 = 5, x̃0,25 = 4 und x̃0,75 = 9.
Mit 7 · 0, 6 = 4, 2 ist das 60 %Quantil
der 5. Listeneintrag:
x̃0,6 = 8.
(d) Berechnen Sie die empirische Varianz, die Standardabweichung, die Spannweite und den Interquartilsabstand.
Die empirische Varianz ist
· (1 − 6)2 + ... + (10 − 6)2 = 61 (25 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9 + 16) = 16 · 60 = 10
√
√
und die Standardabweichung s =
s2 = 10 ≈ 3, 16.
Die Spannweite ist 10 − 1 = 9 und der Interquartilsabstand x̃0,75 − x̃0,25 = 9 − 4 = 5.
Bemerkung: In der Aufgabe war noch nach dem Variationskoezienten v = s/x ≈ 0, 527
s2 =
1
6
gefragt,
der allerdings in der Vorlesung (und damit auch in der Klausur) nicht behandelt wurde.
(e) Welche der in (b), (c) und (d) berechneten Gröÿen ändern sich nicht, wenn stattdessen die Stichprobe 9, 4, 5, 8, 1, 12 und 5 (unterscheidet sich nur beim sechsten Wert
x6 = 12
von der ur-
sprünglichen Stichprobe) betrachtet wird ?
Modalwert, Median, Quartile,
Begründung:
60 %Quantil
und Interquartilsabstand
Der Modalwert bleicht gleich, da 5 der einzige mehrfach vorkommende Stichproben-
wert bleicht, die anderen genannten Gröÿen hängen nur vom 2., 4., 5. und 6. Wert der geordneten
Urliste ab, die gleich bleiben, wenn sich der gröÿte Stichprobenwert ändert.
Mittelwert, Varianz und Standardabweichung dagegen werden aus allen Stichprobenwerten berechnet und ändern sich somit, die Spannwerte hängt neben dem kleinsten auch vom gröÿten
Wert ab und ändert sich somit auch.
(xk , yk ) mit den Wertepaaren (−1; 0), (3; 2), (4; 1), (5; 2),
3. Gegeben sei die zweidimensionale Stichprobe
(6; 3)
und
Für die
(7; 4).
xWerte
gilt
x=4
und
s2x = 8
(braucht nicht berechnet zu werden).
(a) Geben Sie eine geordnete Urliste für die
y Werte
an.
0, 1, 2, 2, 3, 4
(b) Berechnen Sie das arithmetischen Mittel
y,
die empirischen Varianzen
s2y ,
y Werte.
1
y = 6 (0 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4) = 12
6 = 2 und
1
2
2
2
sy = 5 (0 − 2) + (1 − 2) + (2 − 2)2 + (2 − 2)2 + (3 − 2)2 + (4 − 2)2 =
den Median und die
Quartile der
4+1+0+0+1+4
5
= 2.
n
2 = 3 Stichprobenwerten ist der Median das Mittel zwischen dem 3. Wert
1
2+2
dem 4. Wert x4 der geordneten Urliste: x̃ = (x3 + x4 ) =
2
2 = 2.
1
3
Weiter ist n ·
4 = 1, 5 ⇒ x̃0,25 = x2 = 1 und n · 4 = 4, 5 ⇒ x̃0,75 = x5 = 3.
Bei
n=6⇒
x3
und
(c) Zeichnen Sie ein Streudiagramm für die zweidimensionale Stichprobe.
sxy und den Korrelationskoezienten rxy .
P
sxy = 15 6k=1 (xk − x) · (yk − y)
= 51 (−1−4)·(0−2)+(3−4)·(2−2)+(4−4)·(1−2)+(5−4)·(2−2)+(6−4)·(3−2)+(7−4)·(4−2)
(d) Berechnen Sie die empirische Kovarianz
= 15 (10 + 0 + 0 + 0 + 2 + 6) = 3, 6
sxy
3,6
und rxy = √ 2 2 = √
= 3,6
4 = 0, 9.
8·2
sx ·sy
(e) Bestimmen Sie eine Regressionsgerade für die Stichprobe und zeichnen Sie diese in das Streudiagramm ein.
s
y = ax + b mit a = sxy
2 =
x
b = y − ax = 2 − 0, 45 · 4 = 2 − 1, 8 = 0, 2, also y = 0, 45x + 0, 2.
Die Gleichung für die Regressionsgerade ist
3,6
8
= 0, 45
und
4. Eine Zufallsstichprobe liefert die Urliste 4, 2, 1, 6, 4, 1.
(a) Schätzen Sie Erwartungswert und Varianz der zugrundeliegenden Grundgesamtheit.
Als Schätzung für den Erwartungswert dient das arithmetische Mitte
x = 16 (4 + 2 + 1 + 6 + 4 + 1) =
18
6
= 3.
Die Varianz wird durch die empirische Varianz
s2 =
1
5
(4 − 3)2 + (2 − 3)2 + (1 − 3)2 + (6 − 3)2 + (4 − 3)2 + (1 − 3)2 =
20
5
= 4.
(b') Testen Sie unter der Annahme, dass die Grundgesamtheit normalverteilt und die Varianz unbe-
α=5%
kannt ist, zum Signikanzniveau
die Alternative
H1 : µ > 2
gegen die Nullhypothese
H0 : µ = 2.
Dazu muss ein einseitiger
t=
pn
s2
· (x − µ0 ) =
q
6
4
tTest
durchgeführt werden, wozu die Teststatistik
· (3 − 2) =
q
3
2
≈ 1, 22
1 − αQuantil t5; 0,95 = 2, 015 der tVerteilung
n − 1 = 5 Freiheitsgraden aus einer Tabelle bestimmt.
Wegen t = 1, 22 < t5; 0,95 = 2, 015 wird die Alternative H1 abgelehnt und H0 beibehalten.
berechnet wird. Als Vergleichswert wird das
(c') Testen Sie in der Situation von Teil (b') zum Signikanzniveau
H1 :
σ2
Hier ist
α = 10 %
mit
die Alternative
σ2
6= 2 gegen die Nullhypothese H0 :
= 2.
2
ein χ Test (Test auf Varianz) durchzuführen.
Die zugehörige Teststatistik ist
2
y = (n − 1) σs 2 = 5 ·
0
4
2
= 10.
σ 6= σ0 hat, muss ein zweiseitiger Test durchgeführt werden,
χ2 Verteilung mit n − 1 = 5 Freiheitsgraden zu vergleichen ist:
α
α
2
2
dem
2 Quantil χ5; 0,05 = 1, 15 und dem 1 − 2 Quantil χ5; 0,95 = 11, 07.
Wegen 1, 15 < y = 10 < 11, 07 wird H1 abgelehnt und H0 beibehalten.
Da die Alternative
wobei
y
H1
die Form
mit zwei Quantilen der
5. Bei einem normalverteilten Merkmal mit unbekannter Varianz ergibt eine Stichprobe vom Umfang
n = 20
ein arithmetisches Mittel
(a) Testen Sie die Alternative
x=9
und eine empirische Varianz
s2 = 5.
H1 : µ < 10 gegen die Nullhypothese H0 : µ = 10 zum Signikanzniveau
α = 5 %.
Da die Varianz unbekannt ist, ist ein (einseitiger)
t=
q
s2
n (x
5
20 (9
− µ0 ) =
tTest
durchzuführen mit der Teststatistik
− 10) = − 21 .
(1 − α)Quantil der tVerteilung mit n − 1 = 19 Freiheitsgraden
t19; 0,95 = 1, 729 aus der Tabelle abgelesen. Für die Alternative H1 der Form µ < µ0 ist die
1
Vergleichsregel t < −t19; 0,95 zu prüfen. Da − < −1, 729 nicht zutrit, wird H1 abgelehnt und
2
H0 beibehalten.
Zum Vergleich wird das
(b) Würde sich das Ergebnis in (a) ändern, wenn als Alternative
1−
In diesem Fall wird das
α
2 Quantil
t19; 0,975 = 2, 093
H10 : µ 6= 10
betrachtet würde?
und zu prüfen ist die Ungleichung
|t| > t19; 0,975 .
Auch hier ist
1
2
> 2, 093
nicht erfüllt, so dass auch hier
H0
beibehalten und
(c') Lösen Sie Teil (a) und (b) unter der Annahme, dass die Varianz
σ2 = 5
H1
abgelehnt wird.
bekannt ist.
Dann ist jeweils ein GauÿTest durchzuführen mit der Teststatistik
z=
q
σ2
n (x
Die
− µ0 ) =
5
20 (9
− 10) = − 12 .
Vergleichswerte
z0,95 = 1, 645
und
sind
die
Quantile
der
Standardnormalverteilung
z0,975 = 1, 960.
Auch hier sind in beiden Fällen die Ungleichungen für eine Annahme von
z < −z0,95
bei (a) und
|z| > z0,975
H1
nicht erfüllt,
bei (b), nicht erfüllt, so dass in beiden Fällen
H0
beibehalten
wird.
(d) Testen Sie zum Niveau
H0 :
σ2
= 4.
Da
es
um
y = (n −
2
1) σs 2
0
die
χ219; 0,9
Varianz
= 19 ·
Mit der Alternative
= 27, 20
5
4
die Alternative
geht,
wird
ein
H1 : σ 2 > 4
χ2 Test
gegen die Nullhypothese
durchgeführt
mit
der
Teststatistik
= 22, 8.
H1 : σ 2 > 4 wird ein einseitiger Test durchgeführt, bei dem das (1−α)Quantil
betrachtet wird.
Da die Ungleichung
beibehalten.
α = 10%
y > χ219; 0,9 ⇔ 22, 8 > 27, 2
nicht erfüllt ist, wird
H1
abgelehnt und
H0