Blatt 2 (Abgabe 8.11.)
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Universität des Saarlandes
Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät II
Physik und Mechatronik
Fachrichtung 7.1–Theoretische Physik
Dr. Harald O. Jeschke
Gebäude E 2 6, Zi. 4.21
Tel. (0681) 302 57409
Saarbrücken, 02.11.2007
Übungen zur Theoretischen Physik I, WS 2007/08
2.Übung
(Abgabe Donnerstag, 08.11.2007 in der Vorlesung)
Aufgabe 5 (10 Punkte)
Das Skalarprodukt zweier Vektoren a
~ und ~b aus R3 ist durch a
~ · ~b = δαβ aα bβ =
aα bα gegeben, wobei wir die Konvention verwenden, dass über doppelt vorkommende
Indizes zu summieren ist (Einsteinsche Summenkonvention). Das Vektorprodukt zweier
Vektoren a
~ und ~b aus R3 ist durch (~
a × ~b) = αβγ~eα aβ bγ gegeben. Hierbei sind die
~eα die Basiseinheitsvektoren und
falls (α, β, γ) gerade Permutation von (1, 2, 3)
1
αβγ := −1 falls (α, β, γ) ungerade Permutation von (1, 2, 3)
0
sonst
a) Es gilt αβγ µνγ = δαµ δβν −δαν δβµ . Rechnen Sie dies für den dreidimensionalen
Fall explizit nach.
b) Wie verhält sich bei der Vertauschung zweier Indizes?
c) Beweisen Sie unter Verwendung obiger Schreibweise die “BAC-CAB” Relation
(Graßmannscher Entwicklungssatz ): a
~ × (~b × ~c) = ~b · (~
a · ~c) − ~c · (~
a · ~b).
d) Zeigen Sie die Jacobi-Identität: a
~ × (~b ×~c) + ~b × (~c × a
~ ) +~c × (~
a × ~b) = 0.
Aufgabe 6 (10 Punkte)
Gegeben seien die beiden Matrizen
cos ϕ sin ϕ 0
R+ (ϕ) = − sin ϕ cos ϕ 0
0
0
1
cos ϕ sin ϕ 0
R− (ϕ) = − sin ϕ cos ϕ 0
0
0
−1
a) Zeigen Sie, dass R+ (ϕ) eine Rotation des Koordinatensystems um den Ursprung
darstellt. Welches ist die Drehachse?
b) Was wird durch R− (ϕ) beschrieben?
c) Überprüfen Sie durch explizites Nachrechnen, dass sich bei Hintereinanderausführung
zweier Drehungen R+ (ϕ) um die Winkel ϕ1 und ϕ2 bei fester Drehachse die Drehwinkel addieren.
Aufgabe 7 (15 Punkte)
Arbeit im Kraftfeld
a) Berechnen Sie für das ebene Kraftfeld
~F(~x) = (x1 x22 + 1)~e1 + kx21 x2~e2
R
die Arbeiten Wi = Ci ~F(~x) · d~x entlang
der Wege Ci in Abhängigkeit vom Parameter k. Für welchen Wert von k ist
das Kraftfeld konservativ und wie sieht
dann das zugehörige Potential aus?
1
0.8
C1
0.6
C2
C3
C4
x2
0.4
• C1 : Gerade
• C2 : Parabelbogen x21 + x2 = 1
• C3 : Viertelkreis
• C4 : Polygonzug (0, 1) → (1, 1) →
(1, 0)
b) Gegeben sei ein Kraftfeld der Form
P
aik xk
Ki = k α ,
|~x|
0.2
0
0
0.2
0.4
x1
0.6
0.8
i ∈ {1, 2, 3}
mit (aik ) = const. und α = const.
~ des Kraftfeldes.
i) Berechnen sie die Rotation ∇ × K
ii) Zeigen Sie für den Fall α = 0, dass die Matrix (aij ) symmetrisch sein muss,
~ konservativ ist.
damit K
1
