¨Ubungen zu Fana1 SS16, 2. ¨Ubung

Übungen zu Fana1 SS16, 2. Übung
1. Sei (X, T ) ein topologischer Vektorraum, sei M ⊆ X konvex, und seien x, y ∈ X
mit y , 0. Bezeichne φ : R → X die Abbildung φ(t) = x + ty. Zeigen Sie, dass
φ−1 (M) als Teilmenge von R ein Intervall ist, und dass φ−1 (M ◦ ) als Teilmenge
von R ein offenes Intervall ist. Schließliche zeigen Sie, dass im Falle φ−1 (M ◦ ) ,
∅ für λ ∈ φ−1 (M ◦ ) entweder [λ, +∞) ⊆ φ−1 (M ◦ ) oder es ein µ > λ gibt, sodass
[λ, µ) ⊆ φ−1 (M ◦ ), φ(µ) ∈ ∂(M ◦ ) und (µ, +∞) ⊆ φ−1 (X \ M).
2. Sei X ein normierter Raum. Zeige: Ist dim X = ∞, dann existiert ein unstetiges lineares Funktional auf X. Gibt es ein unstetiges lineares Funktional, wenn
dim X < ∞ ist?
Hinweis: Man baue mit Hilfe einer (algebraischen Basis) eine unbeschränkte
lineare Abbildung nach C.
3. Mit der Notation aus Beispiel 2 aus der ersten Übung zeige man, dass (X, d)
genau dann vollständig ist, wenn (X, d̂) vollständig ist.
Weiters: Mit der Notation aus Beispiel 3 aus der ersten Übung Weiters zeige
Q
man, dass X = n∈N Xn bzgl. d vollständig ist, wenn alle (Xn , dn ), n ∈ N, es sind.
Schließlich zeige man, dass auch
max
n∈N
die Produkttopologie of X =
Q
dn ( fn , gn ) n 1 + dn ( fn , gn )
1
n∈N
Xn erzeugt.
◦
4. Sei G ⊆ R p offen und ∅ , Kn ⊆ G, n ∈ N kompakt, sodass Kn ⊆ Kn+1
⊆ Kn+1
für alle n ∈ N. Man zeige:
Q
(i) X := n∈N C(Kn , C), versehen mit der Produkttopologie T der von k.k∞ auf
C(Kn , C) erzeugten Topologien, ist ein topologischer Vektorraum, wobei T
eine metrische Topologie ist, dh. T = T (d) für eine geeignete Metrik d.
Man gebe eine derartige Metrik an, sodass d sogar vollständig ist.
Q
(ii) Die Abbildung Ψ : C(G, C) →
n∈N C(Kn , C) definiert durch Ψ( f ) =
( f |Kn )n∈N ist linear, injektiv und hat ein bzgl. T abgeschlossenes Bild.
Hinweis: Die lineare Abbildung g 7→ g|Kn von C(Km , C) nach C(Kn , C) ist
beschränkt für jedes m > n.
(iii) Die initiale Topologie O auf C(G, C) bzgl. Ψ stimmt überein mit der initialen Topologie auf C(G, C) bzgl. der Abbildungen pKn : f 7→ f |Kn , n ∈ N.
(iv) Die Topologie O auf C(G, C) stimmt stimmt überein mit der initialen Topologie auf C(G, C) bzgl. aller Abbildungen pK : f 7→ f |K , wobei K alle
nichtleeren kompakten Teilmengen von G durchläuft.
Hinweis: Für die Stetigkeit von pK verwende man die Tatsache, dass K ⊆
S
G = n Kn◦ .....
(v) Ein Netz ( fi )i∈I aus C(G, C) konvergiert genau dann gegen f ∈ C(G, C)
bzgl. O, wenn fi |K → f |K gleichmäßig für alle kompakten ∅ , K ⊆ G.
Anmerkung: Deshalb heißt O Topologie der lokal gleichmäßigen Konvergenz.
1
Anmerkung: Ähnlich lässt sich Lloc
(G, C) mit einer vollständigen Metrik versehen, sodass dieser zu einem topologischen Vektorraum wird. Auch den Raum
C ∞ (G, C) kann man mit einer vollständigen Metrik versehen, sodass dieser zu
einem topologischen Vektorraum wird, und sodass fn → f bzgl. dieser Metrik
genau dann, wenn fn |K → f |K für alle kompakten K ⊆ G und das entsprechende
für alle höheren partiellen Ableitungen gilt.
5. Mit der Notation aus dem vorherigen Beispiel beweise man folgende Version des
Satzes von Arsela-Ascoli:
Für F ⊆ C(G, C) sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) F ist relativ kompakt, dh. F ⊆ C(G, C) ist kompakt bezüglich T .
(ii) F |K ist relativ kompakte Teilmenge des Banachraumes C(K, C) für alle
kompakten ∅ , K ⊆ G.
(iii) F |Kn ist relativ kompakte Teilmenge des Banachraumes C(Kn , C) für alle
n ∈ N.
(iv) F ⊆ C(G, C) ist punktweise beschränkt und gleichgradig stetig, also
sup f ∈F | f (x)| < +∞ für alle x ∈ G und
∀x ∈ G∀ > 0∃δ > 0 : ∀y ∈ G∀ f ∈ F : kx − yk < δ ⇒ | f (x) − f (y)| < .
6. Sei (X, T ) ein topologischer Vektorraum. Eine Menge B ⊆ X heißt beschränkt
(im Sinne von topologischer Vektorraum), falls es zu jeder Nullumgebung U ein
positive Zahl λU gibt, sodass B ⊆ λU U. Man zeige:
(a) B ist beschränkt genau dann, wenn es zu jeder Nullumgebung U eine positive
Zahl µU gibt, sodass B ⊆ λU, für alle λ > µU .
Hinweis: Stetigkeit der skalaren Multiplikation bei (0, 0) ∈ C × X.
(b) Ist B beschränkt, so auch B.
(c) Jede kompakte Menge ist beschränkt.
(d) Ist T von einer Norm induziert, so gibt es eine Null-Umgebungsbasis bestehend aus beschränkten Mengen.
7. Sei (Xi , Ti ), i ∈ I eine Familie von topologischen Vektorräumen mit unendliQ
chem I und sodass Xi , {0} für alle i ∈ I. Sei X = i∈I Xi versehen mit der
Produkttopologie T .
Man zeige, dass (X, T ) auch ein topologischer Vektorraum ist. Weiters zeige
man, dass keine Nullumgebung bzgl. T beschränkt im Sinne eines topologischen
Vektorraums ist. Kann es auf X eine Norm geben, die auch T induziert?