Algorithmische Zahlentheorie 8

Aufgaben zur Vorlesung
Algorithmische Zahlentheorie
PD Dr. Jörg Jahnel
Blatt 8
Wintersemester 2014/15
1. Schreibe eine aribas-Funktion cyclen(x0,N: integer): integer; die die genaue Periodenlänge der rekursiv definierten Folge (xi )i in Z/N Z, gegeben durch
x0 := x0 mod N,
xi+1 := f (xi )
berechnet. Dabei sei f : Z/N Z → Z/N Z durch eine extern definierte aribas-Funktion
foo(x,N: integer): integer gegeben.
Bestimme die Periodenlänge für f (x) := x2 + 2 in folgenden Fällen:
i) N = 41 und x0 = 0, . . . , 40.
ii) N = 79 und x0 = 0, . . . , 78.
iii) N = 68111 und x0 = 975, . . . , 978 und 50 weitere zufällige Werte.
iv) N = 93629 und 100 zufällige Werte für x0 .
v) weitere zufällige Zahlen N (prim und nicht prim) und Anfangswerte x0 .
2. Es seien N eine Primzahl, a ∈ Z und f : Z/N Z → Z/N Z definiert durch f (x) := x2 + a.
a) Bestimme in Abhängigkeit von a die Anzahl der Zykel der Länge 1 bei der durch f definierten Rekursion.
b) Zeige: Einen Zykel der Länge 2 gibt es genau dann, wenn
−3 − 4a
= 1.
N
c) Zeige, daß ein Zykel höchstens die Länge
Realität meistens keine gute Abschätzung.)
N +1
2
haben kann. (Dies ist im Vergleich zur
3. Es seien N ≥ 7 eine Primzahl und f : Z/N Z → Z/N Z die durch f (x) := x2 definierte Abbildung.
a) Mache mit der Funktion cyclen numerische Experimente über die Zykellängen bei der
durch f definierten Rekursion. Bahandle dabei insbesondere die Fälle N = 107, 109, 1019
und 1021.
b) Zeige, daß die auftretenden Zykel höchstens die Länge N 2−3 haben können.
c) Sei jetzt N eine Primzahl der Gestalt N = 2q + 1 für eine Primzahl q. (q heißt dann
Sophie-Germain-Primzahl.) Wir nehmen weiterhin an, daß 2 Primitivwurzel modulo q ist.
Zeige:
i) Es gibt dann einen Zykel C der Länge N 2−3 .
ii) Ist x 6= 0, ±1 beliebig, so gehört x oder f (x) dem Zykel C an.
iii) Gehört f (x) dem Zykel C an, x aber nicht, so hat die Folge
x0 := x,
xi+1 := x2i
eine Vorperiode“, die genau aus x0 besteht.
”
4. Für eine natürliche Zahl N sei
CN := {x ∈ (Z/N Z)∗ | x
N−1
2
= ( Nx )}
gesetzt. Des weiteren seien q eine Primzahl derart, daß p := 2q − 1 ebenfalls prim ist
und N := pq.
a) Zeige #CN = 14 ϕ(N).
b) Ein Beispiel ist N := 100129 · 200257. Experimentiere mit den Funktionen ss test und
rab test aus der Vorlesung bzw. Otto Forsters Buch. Mache statistische Tests, wie oft diese
nicht entdecken, daß N nicht prim ist.
Besprechung in der Übung am: Montag, dem 8. Dezember 2014