Punkte, Geraden und Ebenen im IR

Punkte, Geraden und Ebenen im IR3
1.
Punkte
x
y
z
A = ( a x, a y, a z ) ist ein beliebiger aber fester Punkt, r =
ist der Ortsvektor und x, y, z sind seine
Komponenten. Die Komponenten des Ortsvektors werden auch als Koordinaten bezeichnet.
2.
Geraden
2.1
Parameterdarstellungen:
2-Punkte-Form/Punkt-Richtungs-Form: r ( λ ) = A + λ ( B – A ) = A + λu, λ ∈ R, u ≠ 0 .
2.2
Parameterfreie Darstellung (Koordinatenform):
Auflösen der drei Komponenten der Parameterdarstellung nach λ und Gleichsetzen ergibt zwei
Gleichungen der Form ax + by + cz = d .
parameterfreie Ebenengleichung
3.
Ebenen
3.1
Parameterdarstellungen: 3-Punkte-Form/Punkt-Richtungs-Form:
E: r ( λ, κ ) = A + λ ( B – A ) + κ ( C – A ) = A + λu + κv ; λ, κ ∈ R, u × v ≠ 0 .
3.2
Parameterfreie Darstellung (Koordinatenform):
Def: eine parameterfreie Darstellung einer Ebene ist eine lineare Gleichung für die Koordinaten x, y, z, also
von der Form
ax + by + cz = d
. Durch die reellen Zahlen a, b, c und d ist die Ebene festgelegt.
n
o
Sei n = u × v ein Normalenvektor von E, und n = ----- der (bis auf ein Vorzeichen eindeutige)
n
Normaleneinheitsvektor..
a) Jeder Ortsvektor r , der ( r – A ) ⋅ n = 0
o
erfüllt, liegt in der Ebene.
o
o
b) Hessesche Normalform: r ⋅ n = d , mit d = A ⋅ n und n so gewählt, dass d ≥ 0 .
Eigenschaften der HNF:
d ist der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung (Nullpunkt).
Die Normale zeigt immer vom Nullpunkt weg.
Die Hesse’sche Normalform ist eindeutig.
Ausführen der Skalarprodukte unter a) und b) führt auf die Koordinatenform.
Punkte, Geraden und Ebenen im IR3
(1/2)
A. Kilian
4.
Beziehungen
4.1
Abstand Punkt-Gerade: Punkt: P , Gerade G: r ( λ ) = A + λu .
(P – A) × u
o
Abstand: d = ------------------------------ = ( P – A ) × u .
u
4.2
Abstand Gerade-Gerade: G1: r ( λ ) = A + λu , G2: r ( κ ) = B + κv .
a) Geraden sind parallel
(B – A ) × u
(B – A) × v
⇔ ( u × v = 0 ) : Abstand d = ------------------------------- = ------------------------------- .
u
v
b) Geraden sind windschief
4.3
(B – A) ⋅ (u × v)
⇔ ( u × v ≠ 0 ) : Abstand d = ------------------------------------------- .
u×v
Abstand Punkt-Ebene Punkt: P , Ebene E: r ( λ, κ ) = A + λu + κv .
(P – A) ⋅ n
o
Abstand: d = ---------------------------- = ( P – A ) ⋅ n .
n
4.4
Schnittgerade zweier Ebenen E1: r ( λ, κ ) = A + λu + κv , E2: r ( µ, ν ) = B + µw + νs :
Methode 1: A + λu + κv = B + µw + νs . Mit Hilfe dieser drei skalaren Gleichungen für die
Komponenten drei der Parameter µ, ν, λ, κ durch den vierten ausdrücken und in E1 oder E2 einsetzen.
Methode 2: die Ebenengleichungen in parameterfreier Form bilden und vereinfachen. Dann geeigneten
Parmeter wählen (z.B. x, y oder z) und damit die gesuchte Geradengleichung bilden.
4.5
Winkel zweier Ebenen E1: r ( λ, κ ) = A + λu + κv , E2: r ( µ, ν ) = B + µw + νs :
Der Winkel ist der Winkel zwischen den Normalen n 1 = u × v und n 2 = w × s . Da deren Richtungen bis
auf ein Vorzeichen bestimmt sind, gibt es (außer bei Orthogonalität) zwei mögliche Winkel. Man wählt
üblicherweise, indem man den Betrag des Skalarprodukts nimmt, den kleineren:
n 1 ⋅ n2
o
o
α = arc cos ------------------ = arc cos n 1 ⋅ n 2 :
n1 n 2
4.6
Durchstoßpunkt Gerade-Ebene: G: r ( λ ) = A + λu , E: r ( κ, µ ) = B + κv + µw .
Methode 1: Gleichsetzen von E und G führt auf drei Gleichungen für κ, µ, ν. Lösung ist eindeutig, wenn
u ⋅ ( v × w ) ≠ 0 , sonst keine oder unendlich viele Lösungen. Der oder die Punkte ergeben sich durch
einsetzen der Lösung in G oder E.
n ⋅ (B – A)
Methode 2: Durchstoßpunkt s = A + -------------------------- u .
n⋅u
Punkte, Geraden und Ebenen im IR3
(2/2)
A. Kilian