Vierundzwanzigste Fürther Mathematik

Vierundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 6
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
Mastermind
Beim Spiel Mastermind legt ein Spieler eine Ziffernfolge fest, die
der andere Spieler ermitteln soll. Der zweite Spieler tippt dann
eine Ziffernfolge und der erste meldet, wie viele richtige Ziffern
an richtiger Stelle sind (Anzahl gefüllter Kreise) und wie viele
andere Ziffern richtig, aber an falscher Stelle sind (Anzahl leerer
Kreise). Dann wird das Tippen und Bewerten wiederholt, bis der
zweite Spieler die richtige Folge entdeckt hat.
a) Bestimme mit Begründung die fünf richtigen Ziffern im
Beispiel.
b) Wie muss die richtige Reihenfolge der Ziffern lauten?
Aufgabe 2
Beispiel:
Vermutung Bewertung
34709
18260
76182
62358
Wer vor wem?
Karl und Carola nehmen an einem Halbmarathon teil. Am Ende kommen vor Karl doppelt so
viele Teilnehmer ins Ziel wie hinter Carola und vor Carola liegen dreimal so viele Teilnehmer
wie hinter Karl, der Platz 21 belegt.
Welchen Platz hat Carola belegt?
Aufgabe 3
Kleines Einmaleins
Ermittle mit allen Ziffern 1, 2, 3, …, 9 eine neunstellige Zahl, bei der immer die Zahl aus zwei
benachbarten Ziffern von links nach rechts ein Ergebnis aus dem kleinen Einmaleins ergibt.
Beispiel: 324981567 ist keine Lösung, obwohl 32 = 8·4, 24 = 6·4, 49 = 7·7 Ergebnisse im
kleinen Einmaleins sind, aber 98 = 14·7 nicht.
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 1.12.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 1. Runde der 24. Fürther Mathematik-Olympiade (2015/2016)
in Eichstätt für die 6. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
Schule/Ort: ______________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
Unterschrift(en):____________________________________________________________
Vierundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 5
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
Das magische T
Anja möchte sechs aufeinander folgende Zahlen in die
Kreise einsetzen. Dabei soll der Summenwert der Zahlen,
die auf einer geraden Linie liegen, jeweils gleich sein.
a) Zeige: Für die Zahlen 3 bis 8 gibt es eine Lösung.
b) Finde weitere fünf Lösungen mit mindestens einer anderen Zahl.
c) Begründe genau, warum es keine weiteren Lösungen geben kann.
Aufgabe 2
Bootspartie
Die Klassen 5a und 5b mit 27 bzw. 29 Schülern machen eine Bootstour. An der Anlegestelle
„entern“ die Schüler alle vier Boote. Die Lehrer stellen fest, dass die Boote ungleichmäßig
besetzt sind. Deshalb müssen sieben Kinder vom 1. Boot ins 2. und ein Kind vom 2. ins 4.
Boot umsteigen. Vom 3. Boot gehen zwei Kinder ins 1. und zwei Kinder ins 4. Boot.
Wie viele Kinder saßen ursprünglich in jedem Boot? Überprüfe dein Ergebnis.
Aufgabe 3
Ähnliche Zahlen
Lutz nennt zwei verschiedene natürliche Zahlen ähnlich, wenn beide Zahlen von jeder Ziffer
dieselbe Anzahl enthalten. Beispiel: 1020 und 2010 sind ähnlich, da beide die 0 genau
zweimal, die 1 und die 2 genau einmal, alle anderen keinmal enthalten.
Übrigens: Eine mehrstellige Zahl beginnt nie mit der Ziffer 0.
a) Wie viele Zahlen sind zu 2015 ähnlich?
b) Zu welchen vierstelligen Zahlen gibt es keine ähnlichen Zahlen?
c) Die Zahl 343 hat die Eigenschaft, dass genau zwei weitere Zahlen zu ihr ähnlich sind.
Wie viele Zahlen haben außer 343 noch diese Eigenschaft?
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 1.12.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 1. Runde der 24. Fürther Mathematik-Olympiade (2015/2016)
in Eichstätt für die 5. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
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Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
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Vierundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 7
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
Mathetag
Die Organisatoren des Mathetages haben die bereits anwesenden FüMO-Sieger gezählt und
festgestellt, dass die Zahl der Anwesenden durch 9 teilbar ist. „Käme jetzt noch der Bus mit den
19 Teilnehmern aus Weitweg, hätten wir mehr als 50, aber weniger als 80 Teilnehmer!“, bemerkt
Paul. Alfred antwortet: „Schicken wir 17 der Anwesenden ins Mathelabor, dann wären es noch
mehr als 20, aber weniger als 40 Teilnehmer.“ Nach Ankunft des Busses aus Weitweg entscheidet
Eike, nur 13 Schüler ins Mathelabor zu schicken, damit die sechs Workshops gleich groß sind.
Wie viele FüMO-Sieger sind jeweils in einem Workshop?
Aufgabe 2
Dreieck im Dreieck
Im Innern eines Dreiecks ABC liegen die Punkte
E, F und G so, dass gilt:
E ist der Mittelpunkt der Strecke [AF], F der Mittelpunkt der Stecke [BG] und G der Mittelpunkt der
Strecke [CE].
Welchen Anteil an der Fläche des Dreiecks ABC
hat das Dreieck EFG?
Aufgabe 3
Gedankenspiel
Simon denkt sich eine vierstellige Zahl, streicht eine Ziffer und addiert diese dreistellige Zahl zu
seiner gedachten Zahl. Als Ergebnis erhält er 2015.
Welche Ziffer hat er gestrichen und wie lautet seine ursprüngliche Zahl?
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 1.12.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 1. Runde der 24. Fürther Mathematik-Olympiade (2015/2016)
in Eichstätt für die 7. Klasse teil:
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Vierundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 8
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
Dreieck im Achteck
In einem regelmäßigen Achteck ist ein Dreieck eingefärbt.
Untersuche, ob dieses Dreieck gleichschenklig ist.
Hinweis Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten
gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind.
Aufgabe 2
Ein-Weg-Sterne
Ein Ein-Weg-Stern mit n Spitzen entsteht, wenn man in einem regelmäßigen n-Eck von einem
beliebigen Startpunkt aus alle Diagonalen gleicher Länge so aneinander zeichnen kann, dass
der Endpunkt der letzten Diagonale mit dem Startpunkt zusammenfällt.
a) Untersuche, wie viele verschiedene Ein-Weg-Sterne mit 24 Spitzen in einem 24-Eck
erzeugt werden können. Dabei zählen nur solche Ein-Weg-Sterne als verschieden, bei
denen sich die Winkel in den Sternenspitzen unterscheiden.
b) Beschreibe ein Verfahren, mit dem man die Anzahl der Ein-Weg-Sterne mit n Spitzen
für ein beliebiges n-Eck mit n>6 bestimmen kann.
Aufgabe 3
Platz für Schafe
Bauer Bählamm besitzt ein Weideland in Dreiecksform und
will es zur Haltung von Schafen nutzen. Die Weide ist dabei
in vier Pferche unterteilt. Teil W bietet fünf Schafen genug
zum Fressen. Teil S reicht für zehn Schafe und acht Tiere
finden genug Futter im Ostteil. Wir nehmen an, dass jedes
Schaf die gleiche Menge Gras frisst.
Wie viele Schafe kann Bauer Bählamm im Nordteil halten?
N
W
O
S
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 1.12.2015
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
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in Eichstätt für die 8. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
Schule/Ort: ______________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
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