Fünfundzwanzigste Fürther Mathematik

Fünfundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 5
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
Davidsterne (nach einer Idee von Theodor Höllerer, 6. Klasse)
Das Bild zeigt einen Davidstern. In diesen soll immer wieder ein
weiterer Davidstern so eingezeichnet werden, dass die Spitzen des
inneren Davidsterns mit den Ecken des Sechsecks (hier grau) im
äußeren Stern zusammenfallen.
a) Zeichne drei ineinander geschachtelte Davidsterne.
b) Wie viele Dreiecke, die nicht von einer Linie durchkreuzt werden,
entdeckst du in deiner Zeichnung? Finde durch Überlegen heraus, wie viele solche
Dreiecke entstehen, wenn man 25 Davidsterne ineinander schachtelt.
c) Wie viele Davidsterne müsste man ineinander zeichnen, um mindestens 2016 solcher
Dreiecke zu erhalten?
Aufgabe 2
Ziffernsummen von 2016
Die Zahl 2016 hat folgende Eigenschaft:
Bildet man alle Summen von jeweils zwei ihrer Ziffern, also 0+1, 0+2, 1+2, 0+6, 1+6, 2+6,
so erhält man die Zahlen 1, 2, 3, 6, 7 und 8.
a) Finde alle vierstelligen Zahlen außer 2016 mit dieser Eigenschaft.
b) Kannst du auch eine 25-stellige Zahl mit dieser Eigenschaft angeben?
Aufgabe 3
FüMO wird 25
Anja hat sich das folgende Buchstabenrätsel ausgedacht:
(FÜ + MO) – (WI + RD) = 25
(F < M, Ü < O, W < R und I < D)
Dabei soll wie immer gelten: Jeder Buchstabe steht für eine bestimmte Ziffer, verschiedene
Buchstaben stehen für verschiedene Ziffern. Die 2 und die 5 sind in der 25 bereits vergeben.
Bestimme alle Lösungen mit F = 1.
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 29.11.2016
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 1. Runde der 25. Fürther Mathematik-Olympiade (2016/2017)
in Eichstätt für die 5. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: _______
Schule/Ort: ____________________________________________________________________
Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
Unterschrift(en):__________________________________________________________
Fünfundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 6
Die Aufgaben der 1. Runde
M
L
Aufgabe 1
Die Abbildung enthält nur Dreiecke mit
je drei gleich langen Seiten.
Dabei gilt: GH = 2 cm und IK = 6 cm .
K
I
F
E
G
a) Bestimme die Streckenlänge AL .
b) Wie oft passt das kleinste Dreieck
in das größte Dreieck?
C
A
Aufgabe 2
N
Gleichseitige Dreiecke
Jubelzahlen
H
D
B
Zum 25. Jubiläum der FüMO untersucht Zacharias Zahlenkenner die so genannten Jubelzahlen.
Das sind Zahlen, deren Ziffernfolgen ausschließlich aus Aneinanderreihungen des Ziffernpaars
25 bestehen. Die kleinste Jubelzahl ist 25, danach kommt 2525, dann 252525 usw.
a) Bestimme die Primfaktorzerlegungen der ersten drei Jubelzahlen.
b) Zeige, dass in der Primfaktorzerlegung einer Jubelzahl der Faktor 5 genau zweimal auftritt.
c) Prüfe, welche einstelligen Zahlen außer 5 noch Teiler der Jubelzahl aus 2016 Ziffern sind.
Aufgabe 3
Die Zeit läuft
Anna spielt Zeitmessung im Mittelalter. Nur mit Hilfe zweier Sanduhren, eine für 7 Minuten und
eine für 5 Minuten, versucht sie andere Zeiten zu messen.
Wie könnte sie durch geschicktes Umdrehen
a) 16 Minuten
und
b) 13 Minuten bestimmen?
(Zu Beginn sollten beide Sanduhren voll bzw. abgelaufen sein!)
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 29.11.2016
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 1. Runde der 25. Fürther Mathematik-Olympiade (2016/2017)
in Eichstätt für die 6. Klasse teil:
Vorname(n), Name(n): ______________________________________________ Klasse: ________
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Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
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Fünfundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 7
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
FÜMO ist überall
Auf wie viele verschiedene Arten kann
man „FÜMO 25“ lesen, wenn man von
dem zentralen „F“ über benachbarte
(oben, unten, rechts oder links)
Zeichen bis zu einer „5“ wechselt?
Aufgabe 2
Flippige Zahlen
Elias nennt eine mindestens zweistellige natürliche Zahl
flippig, wenn sich alle benachbarten Ziffern der Zahl um
genau 1 unterscheiden. Beispiele: 12, 101 und 2101232.
Keine flippigen Zahlen sind z.B. 6, 25, 344 und 2016.
a) Bestimme die kleinste und die größte flippige Zahl mit der Quersumme 25.
b) Elias möchte herausfinden, welche kleinste flippige Zahl die Quersumme 2016 hat.
Kannst du ihm sagen, wie viele Stellen diese Zahl hat und wie sie aussieht?
Aufgabe 3
Viel Glück beim Spiel!
Alfred, Bertram und Chris spielen um Geld aus ihrer Gemeinschaftskasse. Sie tragen mehrere
Runden aus. In jeder Runde werden je nach Platzierung feste, positive, ganzzahlige Beträge
ausgezahlt, die paarweise verschieden sind. Am Ende haben die drei Freunde 20, 10 bzw.
9 Euro gewonnen.
a) Wie viele Runden haben sie gespielt?
b) Welcher Betrag ist in jeder Runde jeweils für die drei Plätze ausgezahlt worden?
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 29.11.2016
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ich nehme / Wir nehmen an der 1. Runde der 25. Fürther Mathematik-Olympiade (2016/2017)
in Eichstätt für die 7. Klasse teil:
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Fünfundzwanzigste Fürther
Mathematik-Olympiade
in Eichstätt
Klassenstufe 8
Die Aufgaben der 1. Runde
Aufgabe 1
Viereck im Rechteck
In einem Rechteck wird jede Ecke mit dem Mittelpunkt einer
der gegenüberliegenden Seiten so verbunden, dass im Inneren
des Rechtecks ein Viereck entsteht (grau hinterlegt, vgl. Abb.).
a) Zeige: Das entstandene Viereck ist ein Parallelogramm.
b) Wie viel Prozent der Rechtecksfläche entfallen auf das
Parallelogramm?
Aufgabe 2
Einer weg und doppelt dazu
Bertram baut sich eine Zahlenfolge. Er wählt zufällig eine natürliche Zahl als Startzahl, dann streicht er die
Einerziffer und addiert zur Restzahl die doppelte Einerziffer. Falls die Zahl einstellig wird, arbeitet er mit der
doppelten Zahl weiter. Er stellt fest, dass sehr schnell zwei aufeinander folgende Zahlen gleich sind und
damit seine Zahlenfolge „stecken bleibt“. Bei einer anderen Startzahl bemerkt er, dass dies nicht so ist.
Untersuche, bei welchen Startzahlen die Folge „stecken bleibt“ und was bei anderen Zahlen geschieht.
y
Aufgabe 3
Riesenweg
In einem Koordinatensystem werden die Winkelhalbierenden
der vier Quadranten gezeichnet. Zusammen mit den
Koordinatenachsen erhält man so acht Strahlen s1 bis s8.
Ausgehend vom Punkt P0(1;0) auf der x-Achse bewegt man
sich wie in der Abbildung angegeben bis man in P8 auf der
P4
s4
x-Achse ankommt.
a) Dieser Weg umschließt mit der positiven x-Achse eine
Fläche. Wie groß ist sie?
b) In welchem Punkt endet der Weg nach 25 vollständigen
Umläufen?
c) Wie groß ist die Fläche, die nach 25 vollständigen Umläufen
P5
von diesem und der positiven x-Achse umschlossen wird?
s2
s3
s1
P3
P2
P1
s8
P0(1;0)
s5
s7
s6
Letzter Abgabetermin für die 1. Runde ist der 29.11.2016
Für jede Aufgabe muss ein gesondertes Blatt DIN A4 verwendet werden, das jeweils mit Namen, Klasse und
Schule zu beschriften ist. Bitte heftet die Lösungsblätter mit einer Büroklammer zusammen. Zu einer vollständigen
Lösung gehören die Angabe aller wesentlichen Zwischenschritte und vor allem ausführliche Begründungen.
Den Lösungen ist folgender Abschnitt unterschrieben beizulegen:
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in Eichstätt für die 8. Klasse teil:
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Ich bestätige/ Wir bestätigen hiermit, alle Aufgaben selbstständig gelöst zu haben.
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