1. GRUNDLAgEN 1.1. Topologische Räume. (a) Es sei X ̸= ∅ eine

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1. Grundlagen
1.1. Topologische Räume.
(a)
(b)
(c)
(d)
Es sei X ̸= ∅ eine Menge und O eine Familie von Teilmengen von X mit folgenden
Eigenschaften:
(i)
X ∈ O, ∅ ∈ O;
!
(ii) Ui ∈ O, i ∈ I ⇒ i∈I Ui ∈ O;
"
(iii) Ui ∈ O, i = 1, . . . , m ⇒ m
i=1 Ui ∈ O.
Dann heißt (X, O) topologischer Raum; die Elemente von O nennt man die offenen (Teil-)mengen
von X und O die Topologie von X.
Eine Menge heißt abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist.
Ein topologischer Raum heißt unzusammenhängend, falls offene Mengen U, V ̸= ∅ existieren mit X = U ∪ V und U ∩ V = ∅. Anderenfalls heißt X zusammenhängend.
X, Y seien topologische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig, falls das Urbild
jeder offenen Menge offen ist.
X heißt wegzusammenhängend, falls es zu x, y ∈ X eine stetige Abbildung γ : [0, 1] → X
gibt mit γ(0) = x, γ(1) = y.
1.2. Bemerkung. Die Axiome sind gerade so gemacht, dass sie die Eigenschaften der offenen
Mengen in einem metrischen/normierten Raum haben.
1.3. Lemma. Es sei (X, O) ein topologischer Raum und ∅ =
̸ M ⊆ X. Setzt man OM =
{M ∩ U : U ∈ O}, so ist (M, OM ) ebenfalls ein topologischer Raum.
Beweis. Klar.
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1.4. Lemma. Es ist äquivalent
(1)
(2)
(3)
X ist zusammenhängend;
Ist ∅ =
̸ A ⊆ X offen und abgeschlossen, so ist A = X.
Ist f : X → C lokal konstant, so ist f konstant.
Beweis. (1) ⇒ (2): Schreibe X = A ∪˙ (X \ A). (Zerlegung in offene Mengen!)
(2) ⇒ (3): f ist stetig, da lokal konstant. Für jedes x ∈ X ist f −1 (f (x)) abgeschlossen (da f (x)
als einzelner Punkt in C abgeschlossen ist) und ̸= ∅.
Ferner ist f −1 (f (x)) auch offen, da f lokal konstant ist. Nach Annahme ist daher f −1 (f (x)) = X,
somit ist f konstant.
˙ . Betrachte die charakteristische Funktion χU
(3) ⇒ (1): Es seien U, V ⊆ X offen und X = U ∪V
von U . Sie ist lokal konstant, also nach Annahme konstant. Somit ist V = ∅.
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1.5. Lemma. Es seien X, Y topologische Räume und f : X → Y stetig. Ist X zusammenhängend, so auch f (X).
˙ . Dann ist
Beweis. Angenommen, es gibt offene Mengen U, V mit f (X) = U ∪V
X = f −1 (f (X)) = f −1 (U ∪˙ V ) = f −1 (U ) ∪˙ f −1 (V ).
Da X zusammenhängt, ist eine der beiden Mengen leer.
1.6. Lemma. Die zusammenhängenden Mengen in R sind die Intervalle.
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Beweis. (1) Ann. X ist kein Intervall. Dann existiert ein a ∈ R \ X mit X ∩ ] − ∞, a[ ̸= ∅ and
X ∩ ]a, ∞[ ̸= ∅, denn X = X ∩ (R \ {a}) und X hat mindestens zwei Punkte. Da
X = (X ∩ ] − ∞, a[) ∪ (X ∩ ]a, ∞[) (disjunkt)
ist, ist dann X nicht zusammenhängend.
(2) Umgekehrt sei X unzusammenhängend; es sei X = (U ∩ X) ∪ (V ∩ X) disjunkte Vereinigung
offener Mengen. Wähle x ∈ U ∩ X und y ∈ V ∩ X. O.B.d.A. sei x < y. Wähle s = sup{U ∩ X ∩
[x, y]}. Falls s ∈
/ X ist, so kann X kein Intervall sein, da x ≤ s ≤ y. Ist andererseits s ∈ X, so ist
s in einer der offenen Mengen enthalten.
Fall 1: s ∈ X ∩ U . Dann ist s < y, und es existiert ein ε > 0 mit s + ε < y und s + ε ∈ U . Ist
s+ε∈
/ X, so ist X kein Intervall; ist s + ε ∈ X, so ist s kein supremum (Widerspruch).
Fall 2: s ∈ V ∩ X. Dann ist s > x, und es existiert ein ε > 0 mit s − ε > x. Dann analog.
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1.7. Lemma. Ist X wegzusammenhängend, so ist X zusammenhängend.
Achtung Die Umkehrung ist im allgemeinen falsch; s. aber 1.8.
Beweis. Annahme, X ist nicht zusammenhängend; X = U ∪˙ V . Wähle x ∈ U , y ∈ V . Dann
existiert ein stetiger Weg γ : [0, 1] → X mit γ(0) = x, γ(1) = y. Als Bild der zusammenhängenden
Menge [0, 1] ist γ([0, 1]) zusammenhängend im Widerspruch dazu, dass wir schreiben können
γ([0, 1]) = (γ([0, 1]) ∩ U ) ∪˙ (γ([0, 1]) ∩ V ).
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1.8. Satz. In
Rn
oder
Cn
ist jede zusammenhängende offene Menge auch wegzusammenhängend.
Beweis. Es sei X ̸= ∅ offen und zusammenhängend. Wähle a ∈ X beliebig. Setze
Xa = {x ∈ X : ∃γ ∈ C([0, 1], X) mit γ(0) = a, γ(1) = x}.
Dann ist Xa offen, da X offen ist. Xa ist auch abgeschlossen: Ist x ∈ X so, dass jede offene
Umgebung von x die Menge Xa schneidet, so gibt es einen stetigen Weg nach X: Man wählt
dazu etwa einen kleinen Kreis um x der in X enthalten ist (X offen).
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1.9. Definition. Eine Teilmenge Z von X heißt Zusammenhangskomponente, falls gilt
• Z ist zusammenhängend.
• Z ist maximal bezüglich dieser Eigenschaft, d. h. ist Z ⊆ Z ′ , Z ′ zusammenhängend, so
ist Z = Z ′ .
1.10. Lemma. X sei topologischer Raum.
(a)
(b)
(c)
Zu jedem x ∈ X gibt es genau eine Zusammenhangskomponente Z mit x ∈ Z.
Zu jedem zusammenhängenden M ⊆ X gibt es genau eine Zusammenhangskomponente Z
mit M ⊆ Z.
Jede Zusammenhangskomponente ist abgeschlossen.
Beweis. Selbst probieren.
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