Aufgabenblatt 2: Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 5

Aufgabenblatt 2: Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung
Auf diesem Aufgabenblatt wird in einfachster Form ein Thema behandelt, welches Sie in
der gesamten Vorlesung begleiten wird: algebraische Strukturen und strukturverträgliche
Abbildungen.
Die Vorlesung behandelt im wesentlichen die algebraische Struktur Vektorräume und
streift dabei die Strukturen Gruppen und Körper. All diese Strukturen (und viele andere
wie Ringe, Moduln und Algebren, die höchstens einmal kurz Erwähnung finden werden)
haben ein gemeinsames Grundthema, welches hier nur schematisch dargestellt werden
soll (konkret wird es in der Vorlesung):
• Eine algebraische Struktur ist eine Menge (oder mehrere Mengen) mit einer
(oder mehreren) Verknüpfungen (Operatoren), die sich noch in innere und
äußere Verknüpfungen aufteilen. Ein Beispiel für eine Struktur auf einer Menge
mit einer inneren Verknüpfung wurde mit der Struktur Gruppe in der Vorlesung
schon vorgestellt. Ein Beispiel einer Menge mit einer inneren Verknüpfung,
welches keine Gruppe ist, wäre die Menge der natürliche Zahlen N = {1, 2, . . .}
mit der inneren Verknüpfung Plus: +“.
”
Eine innere Verknüpfung ist immer eine Vorschrift, die auf nur einer Menge
definiert ist und zwei Elementen dieser Menge ein weiteres Element dieser
Menge zuordnet.
Eine Verknüpfung heißt äußere, wenn sie zwischen Elementen verschiedener
Mengen definiert ist und diesen ein Element in einer weiteren Menge zuordnet. Ein Beispiel dafür wäre die aus der Schule bekannte Multiplikation eines
Vektors mit einem skalaren Faktor, welches wieder einen Vektor ergibt.
• Eine strukturverträgliche Abbildunge ist eine Abbildung zwischen zwei Strukturen gleichen Typs (Gruppe zu Gruppe oder Vektorraum zu Vektorraum),
welche im wesentlichen pro auf der Struktur definierter Verknüpfung folgendes Grundprinzip erfüllt:
Das Bild einer Verknüpfung ist gleich der Verknüpfung der Bilder.“
”
Beispiel: Für Mengen G und H mit inneren Verknüpfungen ∗ und • ist eine
Abbildung f : G −→ H strukturverträglich, wenn für alle Elemente g1 , g2 ∈ G
gilt:
f (g1 ∗ g2 ) = f (g1 ) • f (g2 ).
Auf diesem Zettel werden nur Mengen mit einer inneren Verknüpfung betrachtet.
Aufgabe 5. Es seien die beiden Mengen N und Z betrachtet, zusätzlich
die bekannten Rechenoperationen für Zahlen
Plus: +“,
Minus: −“
Mal: ·“, und
Geteilt: ÷“.
”
”
”
”
Weiter sei noch die Verknüpfung Hoch: ˆ“ betrachtet, die definiert sei
”
durch aˆb := ab .
Eine der obigen Rechenoperationen heißt innere Verknüpfung auf einer
der beiden Mengen, wenn das Ergebnis der Rechenoperation mit zwei
Elementen einer Menge wieder in derselben Menge liegt (z.B. ist ÷“
”
2
Aufgabenblatt 2: Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung
keine innere Verknüpfung von N, da für 1, 2 ∈ N das Ergebnis der
Rechnung 1 ÷ 2 nicht mehr in der Menge N liegt).
a.) (2P) Zählen Sie alle Tupel (M, ◦) auf, für die ◦ eine innere Verknüpfung auf M ist, wobei gelten soll:
M ∈ {N, Z}
und
◦ ∈ {+, −, ·, ÷, ˆ}.
Für die Tupel (M, ◦), bei denen ◦ keine innere Verknüpfung auf M
ist, geben Sie ein Beispiel mit a, b ∈ M und a ◦ b ∈
/ M an.
b.) (2P) Eine innere Verknüpfung ◦ auf einer Menge M heißt kommutativ, wenn für alle Elemente a, b ∈ M gilt: a ◦ b = b ◦ a. Zählen
Sie alle in Teil a.) gefundenen Mengen mit kommutativer innerer
Verknüpfung auf. Für die Mengen mit nicht-kommutativer innerer
Verknüpfung geben Sie jeweils ein Beispiel mit a ◦ b 6= b ◦ a an.
Aufgabe 6. (4P) Eine Verknüpfung bzw. ein Operator ◦ auf einer
Menge M heißt innere Verknüpfung, wenn für zwei Elemente a, b ∈ M
gilt: a ◦ b ∈ M .
Die Verknüpfungen Plus: +“ und Mal: ·“ sind innere Verknüpfungen
”
”
auf R, d.h. es gilt für alle a, b ∈ R sowohl a + b ∈ R als auch a · b ∈ R.
Sind (M, ◦) und (N, ∗) Mengen mit jeweils inneren Verknüpfungen,
so heißt eine Abbildung f : M −→ N verknüpfungs- oder strukturverträglich, wenn für alle a, b ∈ M gilt:
f (a ◦ b) = f (a) ∗ f (b).
Zeigen Sie für die folgenden Abbildungen, ob sie strukturverträglich
sind oder nicht:
f1 : (R, +) −→ (R, +) mit f1 (x) := 3x + 4
f2 : (R, +) −→ (R, +) mit f2 (x) := x2
f3 : (R, +) −→ (R, ·)
mit f3 (x) := 2x
f4 : (R, +) −→ (R, +) mit f4 (x) := cos(x)
f5 : (R, +) −→ (R, +) mit f5 (x) := 2x
f6 : (R, ·) −→ (R, ·)
mit f6 (x) := x2
f7 : (R, +) −→ (R, +) mit f7 (x) := 0
Des weiteren sei auf der Gruppe S(M ) aller Bijektionen einer nichtleeren Menge M mit der Komposition von Abbildungen ◦“ als Ver”
knüpfung folgende Abbildung mit Hilfe eines f ∈ S(M ) definiert:
φf : S(M ) −→ S(M ) mit φf (g) := f ◦ g ◦ f −1
für g ∈ S(M ).
Aufgabenblatt 2: Abgabe am 24.09.09 vor der Vorlesung
3
(Dabei ist f −1 die Inverse Abbildung zu f .)
Zeigen Sie, daß φf strukturverträglich ist.
Bemerkung: Eine strukturverträgliche Abbildung zwischen zwei Gruppen hat den Namen
Gruppenhomomorphismus (aus dem Griechischen übersetzt bedeutet Homomorphismus
gleiche Form“), so daß unter anderem die Abbildung φf in der obigen Aufgabe ein
”
Gruppenhomomorphismus ist (Achtung: (R, ·) ist keine Gruppe! Somit sind die Abbildungen der Aufgabe, in denen (R, ·) vorkommt, evt. strukturverträglich, aber keine
Gruppenhomomorphismen.).
Das Beispiel φg ist noch aus einem anderen Grund hervorzuheben: Allgemein kann für
eine Gruppe (G, ∗) mit Hilfe eines g ∈ G eine Abbildung
φg : G −→ G durch φg (h) := g ∗ h ∗ g −1
definiert werden, wobei g −1 das Inverse zu g sei. φg ist für alle g ∈ G immer ein bijektiver
Gruppenhomomorphismus von G in sich und heißt Konjugation“. Diese Abbildungen
”
spielen eine große Rolle bei der Analyse der Struktur einer Gruppe.
Aufgabe 7. Nach Beispiel 2.2.iv der Vorlesung ist die Menge Sn (siehe
Aufgabe 2) zusammen mit der (inneren) Verknüpfung Komposition
”
von Abbildungen“ eine Gruppe.
a.) (3P) Geben Sie die Gruppentafel von S3 an und zeigen Sie, daß S3
keine abelsche Gruppe ist.
b.) (1P) Zeigen Sie, daß S2 eine abelsche Gruppe ist, und für n ≥ 3
die Gruppe Sn jeweils eine nicht-abelsche.
Aufgabe 8. (4P) Seien N , M Mengen und f : M −→ N eine Abbildung. Beweisen Sie:
f bijektiv
⇐⇒
Es gibt eine Abbildung g : N −→ M mit
f ◦ g = idN und g ◦ f = idM .
Bemerkung: Diese Aufgabe liefert ein schönes Hilfsmittel, um die Bijektivität einer
Abbildung f : M −→ N zu beweisen: anstatt die Eigenschaften injektiv und surjektiv
explizit (und oft aufwendig) nachzurechnen, kann bei Kenntnis der Umkehrabbildung g
mit dieser (oft viel einfacher) gezeigt werden: f ◦ g = idN und g ◦ f = idM .
Viel Erfolg!!!